2012年金版新学案新编高三总复习第四章 第4课时

第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
4．数量积的坐标运算 ． 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 ＝ ， ＝ ， (1)a·b＝______________. ＝ a1b1＋a2b2 (2)a⊥b⇔______________. ⊥ ⇔ a1b1＋a2b2＝0
a2＋a2 1 2 (3)|a|＝_________ ＝_________.
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
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3．数量积的运算律 ． (1)交换律 交换律a·b＝_______. ＝ b·a 交换律 · ＋ · (2)分配律(a＋b)·c＝___________. (2)分配律 分配律(a＋b)·c＝ a·c＋b·c ( )· ＝ a·(λb) ． ·( ) (λa)·b (3)对λ∈R，λ（a·b）＝_______＝_______． 对 ∈ ， （ ）
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
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解析： AB＝ ， 解析： (1)在△ABC 中， C＝90°， ＝5， 在 ∠ ＝ ， AC＝4， ＝ ， 3 故 BC＝3，且 cos∠ABC＝5， ＝ ， ∠ ＝ → → AB与BC的夹角 θ＝π－∠ABC， ＝ － ， → → → → ∴ AB · BC ＝ － | AB || BC |cos ∠ ABC ＝ － 3 5×3× ＝－ ×引入
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(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0 ∵ ＋ ⊥ － ， ＋ － ＝ 即 2a2＋3a·b－2b2＝0.∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0 － ∴ － 5 5 ∴2×5＋3a·b－2×4＝0，∴a·b＝－2， × ＋ － × ， ＝－ a·b ＝－1， ∴cos θ＝|a||b|＝－ ，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π. ＝ ∈ ， ， ＝

又 C1(3,0)，C2(0,3)，C1C2 的方程为 x＋ y－3 ， ， ＋ － ＝0. 答案： 答案：
x＋y－3＝0 ＋ － ＝
第八章
解析几何
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直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系，常用两种方法： 判断直线与圆的位置关系，常用两种方法： 一是判断直线与圆的方程组成的方程组有 无实数解， 无实数解，根据解的情况研究直线与圆的 位置关系； 位置关系；二是依据圆心到直线的距离与 半径长的关系判断直线与圆的位置关系． 半径长的关系判断直线与圆的位置关系．
第八章 解析几何
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3．圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和圆 O2：x2＋y2 ． ＝ ) －4y＝0 的位置关系是 ＝ 的位置关系是( A．相离 B．相交 ． ． C．外切 ． D．内切 ．
解析： (x－ 解析： 圆 O1： －1)2＋ y2＝ 1， ， 圆心 O1(1,0)， ， x 半径 r＝1， O2： 2＋ (y－2)2＝ 4， ＝ ， 圆 － ， 圆心 O2(0,2) 半径 R＝2， ＝ ， |O1O2|＝ (1－0)2＋(0－ 2)2＝ 5<R＋ r， ＝ － ) － ) ＋ ， 可知 R－ r<|O1O2|<R＋ r，即两圆相交． － ＋ ，即两圆相交． 答案： 答案： B
第八章
解析几何
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若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线 －2)2＋y2＝1 的直线 与曲线(x－ 有公共点， 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为 ( ) A．[－ 3， 3] B．(－ 3， 3) ．－ ， ．－ ，
C.－
3 3 ， 3 3
D.－
第八章
解析几何
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变式训练】 【变式训练】 2.已知圆 C：x ＋y ＋2x－4y＋ 已知圆 ： － ＋ 3＝0. ＝ (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等， 轴上的截距相等， 若圆 求此切线的方程； 求此切线的方程； (2)从圆 C 外一点 P(x1，y1)向该圆引一条切线， 从圆 向该圆引一条切线， 向该圆引一条切线 切点为 M，O 为坐标原点，且有 ， 为坐标原点，且有|PM|＝|PO|， ＝ ， 求使得|PM|取得最小值的点 P 的坐标． 取得最小值的点 的坐标． 求使得

答案：
4π
1 4π
10
12t－π4
－π4
5．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如 图所示，则 f(x)的解析式为________．
解析： 由图知：T＝8， ∴2ωπ＝8.∴ω＝π4，A＝2. ∴f(x)＝2sinπ4x＋φ，令 x＝2， ∴2＝2sinπ2＋φ. ∴sin2π＋φ＝1. ∵|φ|＜π2， ∴φ＝0，∴f(x)＝2sinπ4x.
(1)求 f(x)的表达式； (2)试写出 f(x)的对称轴方程．
解析： (1)由图象可知，函数的最大值 M＝3，最小值 m＝－1， 则 A＝3－2－1＝2，b＝3－2 1＝1， 又 T＝223π－π6＝π，∴ω＝2Tπ＝2ππ＝2， ∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1， 将 x＝π6，y＝3 代入上式，得 sinπ3＋φ＝1，
∴π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，即 φ＝π6＋2kπ，k∈Z，∴φ＝π6， ∴f(x)＝2sin2x＋π6＋1. (2)由 2x＋π6＝π2＋kπ 得 x＝π6＋12kπ，k∈Z， ∴f(x)＝2sin2x＋π6＋1 的对称轴方程为 x＝π6＋12kπ，k∈Z.
• 形如y＝asin x＋bcos x，y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等函数可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，进而可解决三角函数的图象和性 质等问题．
2．图象变换法 (1)平移变换 ①沿 x 轴平移，按“左加右减”法则； ②沿 y 轴平移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换 ①沿 x 轴伸缩时，横坐标 x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的ω1倍(纵 坐标 y 不变)； ②沿 y 轴伸缩时，纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的 A 倍(横坐 标 x 不变)．

1.已知N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则N 2＝________.解析： N 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －12．(2010·福建福州)函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 变换作用下的结果为________．解析： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 14y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′，y ＝4y ′， 代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2.答案： y ＝14x 23．(2010·江苏徐州)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 2k 7，若AB ＝BA ，则k ＝________. 解析： AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2k 1612＋4k 34，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 16k ＋21 2k ＋28，由AB ＝BA ，∴k ＝3. 答案： 34．(2010·江苏南通)设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b 把直线l ：x ＋y －1＝0变成为直线m ：x －y －2＝0，则a ＝______，b ＝______.解析： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋y ，y ′＝by ， 代入x ′－y ′－2＝0，得a ＝2，b ＝－1. 答案： 2 －15．(2010·江苏南京)设数列{a n }、{b n }满足a n ＋1＝2a n ＋3b n ，b n ＋1＝2b n ，且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋4b n ＋4＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ，二阶矩阵M 为______． 解析： 依题设有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2，则M ＝A 4，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4. M ＝A 4＝(A 2)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16 960 16.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16 960 16 6．设△OAB 的三个点坐标为O (0,0)，A (A 1，A 2)，B (B 1，B 2)，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1对应的变换下形成△OA ′B ′，则△OAB 与△OA ′B ′的面积之比________．解析： 由题意知T M 为切变变换，故变换前后的图形面积大小不变，∴面积之比为1∶1.答案： 1∶17．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8 45 5，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1.求AB 和AC . 解析： AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤8 45 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －7－2 14，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14.8．求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M . 解析： 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n p q ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m 2n p q ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2－2n ＝4p ＝3－q ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝－2p ＝3q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.9．运用旋转矩阵，求直线2x ＋y －1＝0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程．解析： 旋转矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1.直线2x ＋y －1＝0上任意一点(x 0，y 0)旋转变换后为(x 0′，y 0′)，得22⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0′y 0′， ∴⎩⎨⎧x 0′＝22x 0－22y 0，y 0′＝22x 0＋22y 0.即⎩⎨⎧x 0＝22x 0′＋22y 0′，y 0＝－22x 0′＋22y 0′.直线2x ＋y －1＝0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程是2x ＋2y －22x ＋22y －1＝0，即22x ＋322y －1＝0. 10．(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值．解析： 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |， 由题设知|k |＝2×1＝2，所以k 的值为－2或2.11．已知二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 b c 1，矩阵M 对应的变换将点(2,1)变换成点(4，－1)．求矩阵M 将圆x 2＋y 2＝1变换后的曲线方程. 【解析方法代码108001163】解析： 由已知得M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 b c 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋b ＝4，2c ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－1.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 1.设点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，变换后的点为P ′(x ′，y ′)，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝－x ＋y ，从而⎩⎨⎧x ＝13(x ′－2y ′)，y ＝13(x ′＋y ′).则变换后的曲线方程为(x ′－2y ′)2＋(x ′＋y ′)2＝9， 即2x ′2－2x ′y ′＋5y ′2＝9. 12．(2010·江苏南通)在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O (0,0)，A (2,0)，B (1，2)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12222. 解析： MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1220 －22，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1. 可知O ，A ，B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O ′(0,0)′，A ′(2,0)，B ′(2，－1)．可知△O ′A ′B ′的面积为1.13．已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A (1,2)变成了点A ′(4,5)，点B (3，－1)变成了点B ′(5,1)．(1)求矩阵M ；(2)若在矩阵M 的变换作用下，点C (x,0)变成了点C ′(4，y )，求x ，y .解析： (1)设该二阶矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，c ＋2d ＝5，3a －b ＝5，3c －d ＝1，解得a ＝2，b ＝1，c ＝1，d ＝2，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2. (2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y ， 解得x ＝2，y ＝2.14．设平面上一矩形ABCD ，A (0,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (0,1)．在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 211对应的变换作用下依次得到A ′，B ′，C ′，D ′.(1)求A ′，B ′，C ′，D ′的坐标．(2)判断四边形A ′B ′C ′D ′的形状，并求其面积．解析： (1)∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21. ∴A ′(0,0)，B ′(2,2)，C ′(4,3)，D ′(2,1)． (2)∵ k A ′B ′＝1，k C ′D ′＝1，|A ′B ′|＝|C ′D ′|＝2 2. ∴四边形A ′B ′C ′D ′是平行四边形． 又∵直线A ′B ′的方程是x －y ＝0.∴D ′到A ′B ′的距离为22.∴S 四边形A ′B ′C ′D ′＝22×22＝2.15．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：x －y ＝4.求直线l 的方程. 【解析方法代码108001164】解析： (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2c ＝3d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4， 所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即x ＋y ＋2＝0为直线l 的方程．16．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.(1)计算AB ；(2)若矩阵B 把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l ′，求直线l ′的方程．解析： (1)∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×1＋1×0 2×(－2)＋1×1－1×1＋2×0 (－1)×(－2)＋2×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 4 (2)任取直线l 上一点P (x ，y )，P 经矩阵B 变换后为P ′(x ′，y ′)． 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －2y ，y ′＝y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′y ＝y ′. 由于P (x ，y )在直线l 上，所以代入x ＋y ＋2＝0得x ′＋2y ′＋y ′＋2＝0. ∴x ′＋3y ′＋2＝0，∴直线l ′的方程为x ＋3y ＋2＝0.。