减肥计划
摘要本文基于大多减肥产品并不能达到预期减肥效果这一事实，鉴于只有通过控制饮食和适当运动才能健康有效减肥的医生和专家的意见，通过饮食与运动对体重变化情况的讨论，建立一个简单的体重变化规律的数学模型，并由此通过控制饮食与适度运动制定合理有效的减肥计划。
关键词：控制饮食合理运动数学模型减肥计划
一、问题重述
目前不少自感肥胖的人纷纷成为了减肥产品的试验品，可是大量事实说明，多数减肥产品达不到减肥目的。对此，许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。
根据BMI指数，(BMI)=体重(kg)/身高m2 (m)。中国成年人身体质量指数：18.529为肥胖。我们要通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下来的目标。
二、模型分析
1.体重的变化是由于摄入量和消耗量共同引起的。
2.饮食导致体重的增加。
3.代谢和运动导致体重的减少。
三、模型假设
1.以一周为考查周期。
2.体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg。
3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关，正常代谢引起的
体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal至
320kcal之间，且因人而异。
4.为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不要小于
10000千卡；
四、符号说明
五、模型建立
1.减肥计划
1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。
第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）。
第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。
2）在运动情况下安排一个计划。
每周吸收热量保持下限（10000千卡），运动量保持不变
2.基本模型
记第k周末体重为w(k),第k周吸收的热量c(k)，热量转换系数a=1/8000(kg/kcal)，代谢消耗系数b(因人而异)，在不考虑运动情况下体重变化的基本模型为
w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k)，k=0,1,2,3……（不运动）
w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-（b+a t）w(k) （运动）
六、模型求解
1、不运动情况下两阶段的减肥计划
1）确定甲的代谢系数,设目前甲每周吸收c（0）千卡热量，体重为w(0)千克，此时体重维持不变，所以令w(k+1)=w(k)= w(0)，代谢系数，b=ac(0)/w(0) 2）第一阶段要求体重每周减少m=1kg，吸收热量减至下限min c=10000千卡,即
w(k) –w(k+1)=m=1, w(k)=w(0)-mk=w(0)-k，
又
w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k)
化简得
c(k+1)=b(w(0))/a-(1+bk)/a
使得，c（k+1）≥10000,解得k≤（ b(w(0))-10000a-1）/b
吸收热量为
c(k+1)=b(w(0))/a-(1+bk)/a
3）第二阶段要求每周吸收热量保持下限min c, w(k)减至正常范围,设此时体重为w（e）千克。由基本模型
w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k)
可得
W(k+1)=(1-b)w(k)+a min c
逐步递推可得
W（k+n）=(1-b)n w(k)+a(min c)[1+(1-b)+…+(1-b)n-1]
=(1-b)n[w(k)-(a(min c))/b]+(a(min c))/b
代入具体数据可解出 n。
2、在增加运动时的减肥计划
设每小时每千克体重消耗的热量r（千卡） t为每周运动时间w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-(b+art)w(k)
取art=0.003即rt=24 b=(0.025) b’=b+art(=0.028)
得 W(k+n)=(1-b’)n[w(k)-a(minc)/b‘]+a(minc)/b‘
3、达到目标体重70千克后维持不变的方案：
每周吸收热量c（k）保持某常数c，使体重w不变
w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k)
解得c=（b+art）w/a
七、减肥计划
假设甲身高170cm，体重100kg，其BMI值为34.60，属于肥胖人群。假设甲目前每周摄入热量20000千卡，体重长期不变，现安排减肥计划使其体重减至70千克，且维持长期不变。
1、不运动情况下安排减肥计划如下：
第一阶段：
（1）确定甲的代谢消耗系数b
带入公式 b=ac(0)/w(0)
得 b=0.025
(2) 要求每周体重减少1千克，吸收热量减至下限minc=10000 kcal
即带入公式 k≤（ b(w(0))-10000a-1）/b
解得 k≤10
减肥第一阶段共10周，每周减1千克，期间吸收热量控制在10000千卡。第二阶段：
要求每周吸收热量保持下限min c, w(k)减至正常范围,即70千克。
带入公式 W(k+n)=(1-b)n[w(k)-(a(min c))/b]+(a(min c))/b
解得 n=28
减肥第二阶段共28周，每周吸收热量保持下限10000千卡，体重减至70千克。
2、运动情况下减肥计划如下：
据资料每小时每千克体重消耗热量r（千卡）：
