活页作业(九) 分段函数、映射知识点及角度难易度及题号基础中档稍难分段函数4、67、912分段函数的图象38 11映射的概念及应用1、2、5 101．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中，不能构成M到P 的映射的是( )A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝x D．f：x→y＝16x解析：由映射定义判断，选项C中，x＝6时，y＝6∉P.答案：C2．在给定映射f：A→B即f：(x，y)→(2x＋y，xy)(x，y∈R)的条件下，与B中元素⎝⎛⎭⎪⎫16，－16对应的A中元素是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫16，－136B．⎝⎛⎭⎪⎫13，－12或⎝⎛⎭⎪⎫－14，23C.⎝⎛⎭⎪⎫136，－16D．.⎝⎛⎭⎪⎫12，－13或⎝⎛⎭⎪⎫－23，14解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y＝16，xy＝－16，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝13，y＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x＝－14，y＝23.故选B.答案：B3．下列图象是函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x＜0x－1，x≥0的图象的是( )解析：由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x＜0时，y＝x2，则函数是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分．因此只有图象C符合．答案：C4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5，x ≥6，f x ＋2，x <6，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：f (3)＝f (5)＝f (7)＝7－5＝2. 答案：A5．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是________．解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x ＜0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，∴f (x )＝x ＋1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1，∴f (x )＝－x .综上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，-1≤x <0－x ，0≤x ≤1答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－x ， 0≤x ≤1.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1x 2＋x －2，x ＞1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2的值为________．解析：f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f 2＝14， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.答案：15167．如图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数解析式． (2)求f (－3)，f (1)的值． (3)若f (x )＝16，求x 的值．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22，x ≥1，x 2＋2，x ＜1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16， 解得x ＝2或x ＝－6(舍去) 若x ＜1，则x 2＋2＝16， 解得x＝14(舍去)或x ＝－14. 综上，可得x ＝2或x ＝－14.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2 －1＜x ＜0，－12x 0≤x ＜2，3 x ≥2.则f (x )的值域是( )A ．(－1,2)B ．(－1,3]C ．(－1,2]D ．(－1,2)∪{3}解析：对f (x )来说，当－1＜x ＜0时，f (x )＝2x ＋2∈(0,2)；当0≤x ＜2时，f (x )＝－12x ∈(－1,0]；当≥2时，f (x )＝3.故函数y ＝f (x )的值域为(－1,2)∪{3}．故选D. 答案：D9．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a ＜b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＜1，2－x ，x ≥1画函数f (x )的图象，得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]10．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x2＋1)，求A中元素2在B中的对应元素和B中元素⎝⎛⎭⎪⎫32，54在A中的对应元素．解：将x＝2代入对应关系，可求出其在B中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋1＝32，x2＋1＝54，得x＝12.所以2在B中的对应元素为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎪⎫32，54在A中的对应元素为12.11．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分钟)的关系，试写出y＝f(x)的函数解析式．解：当∈[0,30]时，设y＝k1x＋b1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝0，30k1＋b1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k1＝115，b1＝0，∴y＝115x.当x∈(30,40)时，y＝2；当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k2＋b2＝2，60k2＋b2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k2＝110，b2＝－2，∴y＝110x－2.综上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧115x，x∈[0，30]，2，x∈30，40，110x－2，x∈[40，60].12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x ＞1或x ＜－1，(1)画出f (x )的图象．(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围．(3)求f (x )的值域． 解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫±12＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1. 所以f (x )的值域为[0,1]．1．对分段函数的三点认识(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应关系不一样． (2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．(3)分段函数的图象应分段来作，它可以是一条平滑的曲线，也可以是一些点、一段曲线、一些线段或曲线段等．作图时，要特别注意各段两端点是用实点还是用空心圈表示．2．对映射概念的三点认识(1)映射包括非空集合A ，B 以及对应关系f ，其中集合A ，B 可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何非空的集合．(关键词：非空集合)(2)集合A ，B 是有先后顺序的，即A 到B 的映射与B 到A 的映射是不同的．(关键词：顺序)(3)集合A 中每一个元素在集合B 中必有唯一的元素和它对应(有，且唯一)，但允许B中元素在A中无元素与之相对应．(关键词：唯一)。
第2课时分段函数［目标］1. 了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象，培 养数学运算核心素养；2.能在实际问题中列出分段函数， 并能解决有关问题，培养数学建模核心素养.［重点］分段函数求值、分段函数的图象及应用. ［难点］对分段函数的理解.分段函数［填一填］如果函数y = f (x ) ,x € A 根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系, 则称这样的函数为分段函数.［答一答］1. 分段函数的定义域部分可以相交吗？提示：分段函数的定义域部分是不可以相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的. 2. 分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的呢？提示：(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数，它只不过是在定义域的 不同子集内解析式不一样而已.(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各 段函数自变量的取值范围.3. 已知函数f (x )的图象如图所示，则 f (x )的值域为［—4,3］.“要点整合夯基础横mum ■■主学儿 整介知讯・Am*知识点解析：由题图可知，当 x € ［ — 2,4］时，f (x ) € ［ — 2,3］;当 x € ［5,8］时，f (x ) €［—4,2.7］.故函数f (x )的值域为［—4,3］.B. (0，+m)D. ( —s, 0) U (0 ,+口的定义域为 ，值域为 .［分析］分段函数的定义域、值域 ？各段函数的定义域、值域. ［答案］(1)D(2)( — 1,1)( — 1,1) |x |1, x >0, ［解析］ ⑴ 由于f (x )= =故定义域为(一s, 0) U (0，+s ).x — 1, x <0,(2)由已知定义域为{x |0<x <1} U {0} U {x | — 1<x <0} = {x | — 1<x <1}，即(一1,1)，又2 20<x <1 时，0<— x + 1<1, — 1<x <0 时，一1<x — 1<0, x = 0 时，f (x ) = 0，故值域为(一1,0)U {0} U (0,1) = ( — 1,1).1. 分段函数定义域、值域的求法1分段函数的定义域是各段函数定义域的并集 .2分段函数的值域是各段函数值域的并集.2. 绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决x , — 1 w x W 1, ［变式训练1］已知函数f (x )= ’ 亠|1, x >1 或 x <— 1 ,7典例讲练破题型 ............ 术栏口曲过漏童眇缭兀訪*制析鞘点.全潮^类型一分段函数的定义域、值域|x |A. RC. (—s, 0)”-X? + , 0<x <1,⑵函数 f (x ) = 0, x = 0,x 2 — 1，1<x <0则其定义域为［例1］ (1)已知函数f (x ) x，则函数的定义域为R,值域为［0,1］.2 解析：由已知定义域为［—1,1］U (1 ,+^) U ( —0, — 1) = R,又x€ ［—1,1］时，x€ ［0,1］，故函数的值域为［0,1］.类型分段函数求值［例2］已知函数f(x) = { X(°w x<2》(1) 求f(f(f( —2)))的值.(2) 若f(x) = 2,求x的值.［分析］分段考虑求值即可.1 1(1) 先求f( —2)，再求f(f( —R)，最后求f(f(f( —2)))；2 1(2) 分别令x + 2= 2, x = 2, ^x= 2,分段验证求x.” 1 1 3［解］(1) f(—2)=(—2)+ 1 1=2(2)当f(x) = x+ 2= 2 时，x= 0,不符合x<0.当f (x) = x2= 2 时，x=±2,其中x= 2符合0W x<2.1当f (x) = 2x = 2 时，x = 4,符合x>2.综上，x的值是〔2或4.1分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得•2多层“ f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理• 3已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解•-f(f( —p) = f(p =(2)= 4,f{X — 1 , x >0, [变式训练2] (1)已知函数f (x )=八 x , x <0,则f (1)的值为(D ) A. 1B. 2C. 3D. 0A.— 4 或一2 C.— 2 或 4解析：⑴因为1>0,所以f (1) = f (1 — 1) = f (0) = 0,故选D. (2)当 a <0 时,由 f (a ) =— a = 4，得 a = — 4； 当 a >0 时，由 f (a ) = a = 4, 得a = 2或a = — 2(舍去).a =— 4 或 a = 2.类型三 分段函数的图象［例3］画出下列函数的图象，并写出它们的值域.I 1, 0<x <1(1) y = xi2x , x > 1(2) y = |x + 1| + |x — 3|.［分析］先化简函数式，再画图象，在画分段函数的图象时， 要注意对应关系与自变量范围的对应.卩，0<x <1,［解］(1)函数y = x的图象如图所示，观察图象，得函数的值域为(1 ,〔2x , x >1+ ).⑵用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y =—x , x < 0,⑵设函数f (x ) = 2x , x >0,若f (a ) = 4,则实数a = ( B )B.— 4 或 2 D.— 2 或 2它的图象如图所示•观察图象，得函数的值域为 [4 ,+^).作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数的取值情况决定着图象在分界点 关键点 处的断开或连接，断开时要分清断开点处是虚还是实f 2小x ， x <0,[变式训练3](1)下列图形是函数 yx - 1, x >0的图象的是(C )解析：因为f (o )= 0-1 = - 1,所以函数图象过点(0，- 1)；当x <0时，y = x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在 y 轴左侧的部分.因此只有选项 C中的图象符合.(2)已知函数 f (x ) = |x -2|( x + 1). ① 作出函数f (x )的图象.② 判断直线y = a 与y = I x — 2|( x +1)的交点的个数. 解：①函数 f (x ) = |x -2|( x + 1),-2x + 2, x w- 1,4,— 1<x w 3, 2x - 2, x >3,x — x — 2, x 》2,去绝对值符号得f (x )=2-x 2+ x + 2, x <2.可得f (x )的图象如图所示.②直线y = a 与y = | x — 2|( x + 1)的图象的交点的个数.作出图象如图:由图象可知.当a <0时，有一个交点； 当a = 0时，有两个交点； 9 、当0<a <4时，有二个交点； 9 、当a = 4时，有两个交点；9 当a>-时，有一个交点. 49 、综上，当a <0或a >4时，有一个交点; 9 、当a = 0或a =;时，有两个交点；4则f (x )的定义域为(C )A. C. "丄「 4484411224 十解析:f (3)= 2X 3 = 3, f ( — 3) = f ( — 3 + 1) = f ( — 3) = f ( — - + 1) = f (3)= 3X 2= 3,所“课堂达标练经典梯目ilil 漏童H ⑴町乩圻・BMft ・ WUfA.B. (—m , 1]C. (—R, 2)D. (1 , +m )2. 已知f (x )= 2x , x >0,f x + 1 , x < 0,4则 f (3)+f (1. B. D.「、— 4 上 48 4以 f (3)+f(_3)=3+ 3= 4.3x + 2, x <1,3.已知函数f (x ) = i 2 若f (f (O)) = 4a ,则实数a =2.x + ax , x > 1,一解析：由题意知 f (0) = 2.又 f (2) = 22+ 2a ,所以 22+ 2a = 4a ,即 a = 2.卩,x >1,54. 设函数f (x ) = S x则f [f (2)] =-，函数f (x )的值域是[—3,+「x — 2, x w 1,8 ).5. 如图所示，函数f (x )的图象是折线段 ABC 其中A 、B C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、 (6,4)(1) 求 f [ f (0)]的值； (2) 求函数f (x )的解析式.解：⑴ 直接由图中观察，可得 f [f (0)] = f (4) = 2. (2)设线段AB 所对应的函数解析式为y = kx + b ,x = 0,x = 2,将与代入，y =4y = 0 4= b ,0 = 2k + b .同理，线段BC 所对应的函数解析式为y = x — 2(2< x w 6).—2x + 4, 0w x w 2,x — 2, 2<x w 6.――本课须掌握的问题(1) 分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域” 的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.(2) 求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.(3) 研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先 将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.b = 4, k= — 2.y =— 2x + 4(0 w x w 2).学习至此，请完成课时作业9学科素养培优精品微课堂分段函数在实际中的应用开讲啦对于此类问题，要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示.用解析法表示时，首先找出自变量x和函数y,然后利用题干条件用x表示y,最后写出定义域•注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑使函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.［典例］如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD底边BC长为7 cm,腰长为2 2 cm当垂直于底边BQ垂足为F）的直线I从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线I 把梯形分成两部分，令BF= x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象.[解]如图，过点A, D分别作AGL BC DH L BC垂足分别是G H因为ABCD1等腰梯形，底角为45°, AB= 2,2 cm,所以BG= AG= DH= HC= 2 cm.又BC= 7 cm，所以AD= GH= 3 cm.1 2⑴当点F在BG上时，即x € [0,2]时，y = ^x ;⑵当点F在GH上时，即x € (2,5]时，y= x+ ；-2 x 2= 2x—2;⑶当点F在HC上时，即x € (5,7]时，y= S 五边形ABFED= S 梯形ABCD—S Rd CEF1 12 1 2 =2(7 + 3) x 2—2(7 —x) = —2(x —7) + 10.综合(1)(2)(3)得函数解析式为1 2* , x € [0 , 2],y= 2x —2, x€ 2, 5],1 2I —2(x—7 2 + 10, x € (5, 7].函数图象如图所示.[对应训练]在函数y = |x|(x € [ —1,1])的图象上有一点P(t ,t|)，此函数的图象与x轴、直线x=—1及x= t围成的图形(如图阴影部分)的面积为S,贝U S关于t的函数图象为(B )i t解：当一1< t <0时，S= 2 —-，所以函数图象是开口向下的抛物线的一段，顶点坐标f n i t2(为o, 2 ;当o<t <1时，s= 2+ ，函数图象是开口向上的抛物线的一段，顶点坐标为o，所以选项B满足题意.9 、当0<a<：时，有二个交点.4已知f(x) = F —: x；9 1,x, 1<x<2,。
第2课时 分段函数及映射[学习目标] 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系．[知识链接]1．函数的定义：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .2．作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线． [预习导引] 1．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 2．映射的概念映射的定义：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．要点一 分段函数求值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－52)]的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．解 (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)， －52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4， f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2， ∴f [f (－52)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－3＝－34.(2)当a ≤－2时，a ＋1＝3， 即a ＝2＞－2，不合题意，舍去．当－2＜a ＜2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. 所以(a －1)(a ＋3)＝0，得a ＝1，或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意． 当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1，或a ＝2.规律方法 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．跟踪演练1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0 B.13 C ．1 D ．2答案 C解析 f (2)＝2－1＝1. 要点二 分段函数的图象及应用例2 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 －1≤x ≤1 ，1 x ＞1或x ＜－1 ，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．规律方法 1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段或射线，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．3．画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”． 跟踪演练2 作出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－7，x ∈ －∞，－2]，2x －3，x ∈ －2，5]，7，x ∈ 5，＋∞ 的图象，并求y 的值域．解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－7，x ∈ －∞，－2]，2x －3，x ∈ －2，5]，7，x ∈ 5，＋∞ . 值域为y ∈[－7,7]．图象如下图．要点三 映射的概念例3 以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？(1)集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A ＝{x |x 是三角形}，集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A ＝{x |x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x |x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．解 (1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B的一个映射．(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f ：A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．规律方法 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的；(2)唯一性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一元素关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多． 跟踪演练3 下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B．②③ C．①④ D．②④ 答案 D解析 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.1．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )答案 D解析 在A 、B 选项中，由于集合A 中的元素2在集合B 中没有对应的元素，故构不成映射，在C 选项中，集合A 中的元素1在集合B 中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有选项D 符合映射的定义，故选D. 2．函数y ＝|x |的图象是( )答案 B解析 ∵y ＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，∴B 选项正确．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤12x，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D.139 答案 D解析 ∵f (3)＝23，∴f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0. 若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2 答案 B解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α＞0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2或－2(舍去)．5．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程x (千米)之间的函数关系式是________．答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤10010＋0.4x ，x >100解析 由题意得，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x >100时y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .1.对映射的定义，应注意以下几点：(1)集合A 和B 必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合． (2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达． 2．理解分段函数应注意的问题：(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．一、基础达标 1．以下几个论断①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射； ②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈(－3,3]的图象是一条线段；③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D 1，D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D 1∩D 2＝∅. 其中正确的论断有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 C解析 函数是特殊的映射，所以①正确；②中的定义域为{－2，－1,0,1,2,3}，它的图象是直线y ＝x －1上的六个孤立的点；因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100 答案 A解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0， ∴f (－7)＝10.f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100.3．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，画出f (x )的图象可知选C.4．已知集合A 中元素(x ，y )在映射f 下对应B 中元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素(4，－2)在A 中对应的元素为( ) A ．(1,3) B ．(1,6) C ．(2,4) D ．(2,6) 答案 A 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.5．设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________. 答案 5解析 由f (2)＝3，可知2a －1＝3，∴a ＝2， ∴f (3)＝3a －1＝3×2－1＝5.6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 x ≥0 ，2－x －2≤x ＜0 的值域是________．答案 [1，＋∞)解析 当x ≥0时，f (x )≥1， 当－2≤x ＜0时，2＜f (x )≤4，∴f (x )≥1或2＜f (x )≤4，即f (x )的值域为[1，＋∞)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x ＞2.(1)求f (2)，f [f (2)]的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值． 解 (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4， ∴f (2)＝22－4＝0，f [f (2)]＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时， 由x 20－4＝8， 得x 0＝±23(舍去)；当x 0＞2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4. 二、能力提升 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5，x ≥6，f x ＋2 ， x ＜6，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 A解析 f (3)＝f (3＋2)＝f (5)，f (5)＝f (5＋2)＝f (7)，∴f (7)＝7－5＝2.故f (3)＝2.9．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13]等于( )A ．－13 B.13C ．－23 D.23答案 B解析 由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，∴f [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x ＞1， 则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 的值是________．答案1516解析 f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f 2 ＝14， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.11．已知函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|. (1)作出函数的图象； (2)写出函数的定义域和值域．解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x ＝1，第二个绝对值的分段点x ＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)， 所以已知函数可写为分段函数形式：y ＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1 x ≤－2 ，3 －2<x ≤1 ，2x ＋1 x >1 .在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象，如图．(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，＋∞)． 三、探究与创新12．“水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费，如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y (单位：元)．解 由题意知，当0＜x ≤5时，y ＝1.2x ， 当5＜x ≤6时，y ＝1.2×5＋(x －5)×1.2×2＝2.4x －6.当6＜x ≤7时，y ＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x －6)×1.2×4＝4.8x －20.4.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.2x ，0＜x ≤5，2.4x －6，5＜x ≤6，4.8x －20.4，6＜x ≤7.13．如图所示，在边长为4的正方形ABCD 边上有一点P ，由点B (起点)沿着折线BCDA ，向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式．解 当0≤x ≤4时，S △APB ＝12×4x ＝2x ；当4＜x ≤8时，S △APB ＝12×4×4＝8；当8＜x ≤12时，S △APB ＝12×4×(12－x )＝24－2x .∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 0≤x ≤4 ，8 4＜x ≤8 ，24－2x 8＜x ≤12 .。
1.2 函数及其表示1.2.2 函数的表示法第2课时式 分段函数及映射A 级 基础巩固一、选择题1．解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≥0，1，x <0，所以f [f (－1)]＝f (1)＝1＋2＝3.故选A. 答案：A2．解析：当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1，0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0，1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1，2)，B 错．故选A.答案：A3．解析：根据映射的概念可知选项A 正确．答案：A4．解析：当－2≤x ≤0时，函数f (x )的值域为[－8，0]；当0<x ≤3时，函数f (x )的值域为[－3，1]．故函数f (x )的值域为[－8，1]．答案：C5．解析：由题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3.答案：A二、填空题6．解析：因为f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，f (2)＝3，所以2a －1＝3，得a ＝2，所以f (3)＝2×3－1＝5.答案：57．解析：f (－2)＝(－2)2＝4，f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12.答案：－128．解析：当a ≤－2时，f (a )＝a <－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2<a <4时，f (a )＝a ＋1<－3，此时不等式无解；当a ≥4时，f (a )＝3a <－3，此时不等式无解．综上，a 的取值范围是(－∞，－3)．答案：(－∞，－3)三、解答题9．解：(1)由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12＋1＝2. (2)当0<a <2时，由f (a )＝2a ＋1＝4，得a ＝32，当a ≥2时，由f (a )＝a 2－1＝4，得a ＝5或a ＝－5(舍去)．综上所述，a ＝32或a ＝ 5.10．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R.由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0，1]．B 级 能力提升1．解析：f (5)＝f (f (5＋6))＝f (11－2)＝f (f (9＋6))＝f (13)＝13－2＝11.答案：B2．解析：当x <2－x ，即x <1时，f (x )＝x ；当x ≥2－x ，即x ≥1时，f (x )＝2－x .所以f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤1，2－x ，x ≥1. 答案：f (x )＝⎩⎨⎧x ，x <12－x ，x ≥1 3.解：当P 点从A 运动到B 时，P A ＝x ；当P 点从B 运动到C 时，P A ＝AB 2＋BP 2＝12＋（x －1）2＝x 2－2x ＋2； 当P 点从C 运动到D 时，P A ＝AD 2＋DP 2＝12＋（3－x ）2＝x 2－6x ＋10； 当P 点从D 运动到A 时，P A ＝4－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， 0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ， 3<x ≤4.。
