最新人教版高一数学必修1第一章《分段函数》教案

分段函数教案分段函数教案一、引言在数学学科中，分段函数是一个重要的概念。

它在实际问题的建模和解决中起着重要的作用。

本教案将介绍分段函数的概念、性质以及解题方法，帮助学生更好地理解和应用分段函数。

二、概念解释1. 分段函数的定义分段函数是由两个或多个函数组成的函数，每个函数在某个区间内有效。

函数的定义域可以分成多个不相交的区间，每个区间内有一个函数与之对应。

2. 分段函数的表示方式分段函数可以用符号表示，也可以用图像表示。

符号表示通常采用条件表达式，例如：f(x) = { x, x < 0{ x^2, x ≥ 0图像表示则是将每个函数的图像绘制在同一坐标系中，形成一个整体的图像。

三、性质探究1. 连续性分段函数在每个定义域内都是连续的，但在定义域之间可能存在间断点。

学生可以通过观察图像来判断分段函数的连续性。

2. 极值点分段函数的极值点可能出现在每个定义域内的端点，也可能出现在定义域之间的间断点。

学生需要通过求导或观察图像来确定极值点的位置。

3. 零点分段函数的零点是指函数取值为0的点。

学生可以通过求解方程或观察图像来确定分段函数的零点。

四、解题方法1. 确定定义域学生需要根据题目中给出的条件来确定每个函数的定义域，并将定义域整合成一个整体的定义域。

2. 绘制图像学生可以根据每个函数的表达式和定义域来绘制图像。

通过观察图像，学生可以更好地理解分段函数的性质。

3. 求解问题学生需要根据题目中的要求，利用分段函数的性质来解决问题。

例如，求函数的极值、零点和特定取值等。

五、案例分析以下是一个案例分析，帮助学生更好地理解和应用分段函数。

案例：某公司的销售业绩奖金制度如下：- 当销售额不超过100万时，奖金为销售额的5%；- 当销售额超过100万但不超过200万时，奖金为100万的5%加上超出部分的3%；- 当销售额超过200万时，奖金为100万的5%加上100万到200万的3%，再加上超出200万部分的1%。

高中数学讲解分段函数教案
一、教学目标：
1. 理解分段函数的概念；
2. 能够根据图像和定义求分段函数的值；
3. 能够解决实际问题中涉及到分段函数的计算和应用。

二、教学重点与难点：
重点：掌握分段函数的概念及应用方法；
难点：理解分段函数的图像和定义。

三、教学过程：
1. 概念引入
示意图展示，引导学生思考分段函数的概念，并举例说明分段函数的应用场景。

2. 分段函数的定义
通过简单的例题，引导学生理解分段函数的定义，并让学生学会根据定义求分段函数的值。

3. 分段函数的图像
通过绘制分段函数的图像，让学生直观感受分段函数的特点，掌握函数图像的变化规律。

4. 分段函数的计算与应用
练习题目，让学生熟练掌握分段函数的求解方法，并能够灵活运用于实际问题中。

四、教学总结：
总结分段函数的概念和应用方法，强调分段函数在解决实际问题中的重要性和实用性。

五、课后作业：
1. 完成练习题目，并总结解题方法；
2. 梳理课堂知识点，做好笔记。

六、扩展拓展：
扩展分段函数的应用领域，如金融、经济等领域中的分段函数应用案例，激发学生对分段函数的兴趣和学习积极性。

高中数学分段函数总结教案教学内容分析：分段函数是高中数学中的一个重要内容，通过本课的学习，学生将能够掌握分段函数的定义、性质、图像及求解等知识。

本节课将对分段函数进行总结，让学生加深对分段函数的理解，同时通过解题训练提高学生的分析和解决问题的能力。

教学目标：1. 知识与技能：掌握分段函数的定义、性质及图像等知识，能够准确解析和应用分段函数进行实际问题的求解。

2. 过程与方法：培养学生分析问题的能力，引导学生探索问题解决的方法和思路。

3. 情感态度与价值观：培养学生勤奋学习、积极思考、团结合作的学习态度，促进学生的创新意识和实践能力的提升。

教学重点和难点：重点：分段函数的定义，性质及图像。

难点：分段函数的解析与应用。

教学过程设计：一、导入环节（5分钟）教师引导学生回顾分段函数的定义和性质，提出本节课的学习内容和目标。

二、知识讲解（15分钟）1. 分段函数的定义及性质；2. 分段函数的图像特点；3. 分段函数的求解方法。

三、示例讲解（15分钟）教师通过具体的例题，演示如何解析和应用分段函数进行求解。

四、练习环节（15分钟）学生进行课堂练习，巩固所学知识，提高解题能力。

五、反馈与讨论（10分钟）教师与学生一起总结学习内容，讨论学习中的问题及解题思路。

六、拓展延伸（5分钟）教师引导学生进行延伸思考，拓展分段函数的应用领域，提高学生的分析与解决问题的能力。

七、作业布置（5分钟）布置课后作业，巩固所学知识。

教学反思：通过本节课的教学，学生对分段函数的定义、性质及图像等知识有了更深入的理解，能够运用所学知识解答实际问题。

同时，学生在课堂练习中也提高了解题的能力。

在以后的教学中，需要引导学生多进行实际问题的应用，提高学生的解决问题的能力及创新思维。

分段函数的教学设计分段函数是高中数学中的一个重要概念，它是由不同的函数组成的，每个函数在定义域的不同区间上有不同的表达式。

学生在学习分段函数时，需要理解函数的定义、定义域、值域以及函数图像的特点。

本教学设计将通过引入实际问题、图像分析和解决实际问题的应用等多种教学方法，帮助学生深入理解分段函数的概念和性质。

一、教学目标：1. 理解分段函数的定义和性质；2. 能够根据实际问题建立分段函数的模型；3. 能够绘制分段函数的图像，并分析其特点；4. 能够解决实际问题，运用分段函数进行计算。

二、教学内容：1. 分段函数的定义和性质；2. 分段函数的图像分析；3. 分段函数的应用。

三、教学过程：1. 导入新知识（5分钟）通过一个实际问题引入分段函数的概念，例如：小明去超市买水果，苹果的单价为2元/斤，当购买的重量小于5斤时，每斤的价格为2元；当购买的重量大于等于5斤时，每斤的价格为1.5元。

请问小明购买6斤苹果需要多少钱？2. 概念解释与讲解（15分钟）解释分段函数的定义和性质，引导学生理解分段函数的概念。

讲解分段函数的定义域、值域以及函数图像的特点。

3. 分组讨论与总结（15分钟）将学生分成小组，让每个小组选择一个实际问题，建立相应的分段函数模型，并解决问题。

每个小组选择一个代表，向全班汇报他们的问题和解决方法。

全班共同讨论，总结分段函数的建模方法和解决问题的思路。

4. 图像分析与绘制（20分钟）通过绘制分段函数的图像，让学生观察和分析图像的特点。

引导学生发现分段函数在不同区间上的函数表达式和图像的关系。

让学生观察函数图像的连续性和不连续性，并解释其原因。

5. 实际问题的应用（20分钟）通过一些实际问题的应用，让学生运用分段函数进行计算。

例如：小明去超市买水果，苹果的单价为2元/斤，当购买的重量小于5斤时，每斤的价格为2元；当购买的重量大于等于5斤时，每斤的价格为1.5元。

请问小明购买6斤苹果需要多少钱？请问购买10斤苹果需要多少钱？6. 拓展应用（15分钟）通过一些拓展应用，让学生进一步巩固和应用所学的知识。

分段函数教案一、教学目标1. 知识与技能：了解和理解分段函数的概念和性质，掌握绘制分段函数图像的方法。

2. 过程与方法：通过讲解、示例和练习，帮助学生从实际问题中抽象出分段函数，并正确绘制其图像。

3. 情感态度价值观：培养学生对数学思维的兴趣和探索精神，增进对分段函数在实际问题中应用的认识和理解。

二、教学重难点1. 教学重点：分段函数的概念和性质，分段函数图像的绘制方法。

2. 教学难点：从实际问题中抽象分段函数，正确绘制分段函数图像。

三、教学过程1. 导入新知识：通过一个实际问题引入分段函数的概念。

例如：小明买东西总共花费了60元，如果货物单价小于等于10元，他要支付的运费是5元；如果货物单价大于10元，他要支付的运费是2元。

那么买货物的单价x和小明支付的总费用y之间的关系可以用一个分段函数来表示。

2. 介绍分段函数的定义和表示方法。

例如：一个分段函数可以写成f(x) = {x^2, x ≥ 0； 1/x, x < 0}。

3. 结合具体的实例，让学生通过思考和讨论，从实际问题中抽象出分段函数的定义和表示方法。

例如：一个池塘里有鱼，如果鱼的数量小于等于50条，鸟儿每天吃10条鱼；如果鱼的数量大于50条，鸟儿每天吃20条鱼。

那么鱼的数量x和鸟儿每天吃的鱼的数量y之间的关系可以用一个分段函数来表示。

4. 讲解分段函数图像的绘制方法。

例如：对于一个分段函数f(x) = {2x + 1, x ≥ 0；-x + 1, x < 0}，可以先分别绘制两个子函数的图像，然后将两个子函数的图像连接起来，形成整个分段函数的图像。

5. 示例演练：给出一个分段函数的例子，让学生根据定义和绘图方法，绘制出该函数的图像。

例如：f(x) = {2x + 1, x ≥ 0；-x + 1, x < 0}。

6. 课堂练习：让学生根据实际问题，抽象出分段函数，并正确绘制出该函数的图像。

7. 总结与拓展：对学生进行总结回顾，巩固已学知识。

《分段函数》教学设计一、学情分析学生前面已经学习了函数的概念，对函数有了一定的了解，但是高一学生刚从初中进入高中，数学基础薄弱，逻辑思维欠缺，举一反三的能力差。

所以教学内容和选题上注重基础培养，由浅入深。

本节课内容是分段函数，教学上从学生的认知水平出发，由具体的函数图像让学生直观感知分段函数的定义，从而归纳出分段函数的定义。

题目选题上注重层次训练，循序渐进，从而让学生掌握分段函数的相关应用。

二、教学目标（一）知识与技能1、理解分段函数的定义、定义域和值域；2、分段函数的应用：懂得求分段函数的函数值和自变量值；会作分段函数的图象，并掌握其简单应用。

（二）过程与方法1、通过具体函数图象让学生感知、总结、体会分段函数的概念；2、让学生自主学习，自主作图，了解作图的基本要求并培养学生动手操作和自主学习的能力。

（三）情感与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生辩证地看待事物的观念、分类讨论和数形结合的数学思想。

三、教学重点难点教学重点：1、理解分段函数的定义、定义域和值域；2、懂得求分段函数的函数值和自变量值；3、会作分段函数的图象，并掌握其简单应用。

教学难点：1、由分段函数的函数值求自变量值；2、分段函数的图象和应用。

四、教法学法：讲练结合，自主学习五、教学工具：多媒体辅助教学六、教学流程（一）问题引入观察下列函数图象，指出它们分别是哪些函数的图象？问题1：图④是哪类函数的图象？引出分段函数的定义（二）新课讲授 1、分段函数的定义：一般地，在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫做分段函数。

⎩⎨⎧≥<≤-+=0,202,1)(x x x x x f 例如： ①分段函数定义域：各段定义域的并集②分段函数值域：各段值域的并集2、分段函数的应用一：分段函数求值类型一：求函数值)()1(.1,1,1,1)(.1A f x x x x x f =⎩⎨⎧<+-≥-=则设函数例A.0B.1C.2D.3变式1.例1条件不变，则（ B ）方法归纳：①分段函数求值，要注意自变量范围，代入相应的解析式求得 =)]1([f f②遇到多层“f ”的问题，按照“由里到外”原则，层层处理类型二：由分段函数的函数值求自变量值3、分段函数的应用二：分段函数的图象和应用（三）课堂小结分段函数的定义：同一个函数的量不同，解析式不同分段函数的应用：1、分段函数求值：对号入座2、分段函数的图象和应用：描点法作图，图像变换作图3、数学思想：分类讨论，数形结合.（四）课后作业课本：P49 习题9 第2，3题（五）板书设计§1.2.6分段函数1、定义2、应用一：类型一：类型二：3、应用二：多媒体演示例1、例2、例3、。

第2课时 分段函数与映射学习 目 标核 心 素 养1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)1．通过分段函数求值问题提升数学运算素养．2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养.1．分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数． 2．映射设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )A B C DC [选项C 中不但b 元素没有对应的元素，而且元素a 所对应的元素不唯一确定，不符合映射的定义，故选C.]2．下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1. ②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1. ④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1，则f (f (4))＝________.0 [∵f (4)＝－4＋3＝－1，f (－1)＝－1＋1＝0， ∴f (f (4))＝f (－1)＝0.]分段函数的求值问题【例1】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－52的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值．[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3. ∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝－52＋1＝－32， 而－2<－32<2，∴f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝⎝⎛⎭⎫－322＋2×⎝⎛⎭⎫－32＝94－3＝－34. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3， 即a ＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. ∴(a －1)(a ＋3)＝0，解得a ＝1或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意． 当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.1．分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2.已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．[跟进训练]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4(x ≥6)，f (x ＋3)(x ＜6)，则f (2)等于( )A ．2B ．3C ．5D ．4D [因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4(x ≥6)，f (x ＋3)(x ＜6)，所以f (2)＝f (5)＝f (8)＝8－4＝4.]分段函数的解析式【例2】 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．思路点拨：可按点E 所在的位置分E 在线段AB ，E 在线段AD 及E 在线段CD 三类分别求解．[解] 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ， 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. (1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y ＝⎩⎨⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].图象如图所示．1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．[跟进训练]2．下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米)．阶梯户年用水量 (立方米) 水价其中自来 水费水资 源费污水处 理费第一阶梯 0～180(含) 5.00 2.07 1.571.36第二阶梯 180～260(含) 7.00 4.07 第三阶梯260以上9.006.07(2)若某户居民一年交水费1 040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少． [解] (1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，0≤x ≤180，7(x －180)＋900，180＜x ≤260，9(x －260)＋1 460，x ＞260，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，0≤x ≤180，7x －360，180＜x ≤260，9x －880，x ＞260.(2)依题意得y ＝1 040，若x ∈[0,180]，则5x ＝1 040，解得x ＝208，不合题意，舍去； 若x ∈(180,260]，则7x －360＝1 040，解得x ＝200，符合题意； 若x ＞260，则9x －880＞1 040，不合题意． 故该用户当年用水量为200立方米．因此，自来水费为2.07×180＋4.07×20＝454(元)，水资源费为1.57×200＝314(元)，污水处理费为1.36×200＝272(元)．分段函数的图象及应用1．函数f (x )＝|x －2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.函数f (x )的图象如图所示．2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例3】 (教材改编题)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．思路点拨：(1)分－2<x <0和0≤x ≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f (x )写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域． [解] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.1．在本例条件不变的情况下，试讨论直线y ＝a 与函数y ＝f (x )图象的交点个数． [解] ①当a ≥3或a <1时，y ＝a 与y ＝f (x )的图象无交点； ②当1<a <3时，y ＝a 与y ＝f (x )的图象有且只有一个交点； ③当a ＝1时，y ＝a 与y ＝f (x )的图象有无数个交点． 2．把本例条件改为“f (x )＝|x |－2”，再求本例的3个问题．[解] (1)f (x )＝|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥0，－x －2，x <0.(2)函数的图象如图所示．(3)由图可知，f (x )的值域为[－2，＋∞)．映射的概念①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1－xx ＋1； ②A ＝{2018年俄罗斯世界杯足球赛的运动员}，B ＝{2018年俄罗期世界杯足球赛的运动员的体重)，f ：每个运动员对应自己的体重；③A ＝{非负实数}，B ＝R ，f ：x →y ＝3x . A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个C [①中，对于A 中的元素－1，在B 中没有与之对应的元素，则①不是映射；②中，由于每个运动员都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A 中的任一元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，则③是映射．]判断一个对应是不是映射的2个关键(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素与之对应. (2)B 中的对应元素是不是唯一的.提醒：“一对一”或“多对一”的对应都是映射.[跟进训练]3．已知A ＝{1,2,3，…，9)，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →x2x ＋1.(1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？[解] (1)A 中元素1，即x ＝1，代入对应关系得x 2x ＋1＝12×1＋1＝13，即与A 中元素1相对应的B 中的元素是13.(2)B 中元素49，即x 2x ＋1＝49，解得x ＝4，因此与B 中元素49相对应的A 中的元素是4.1．核心要点：(1)分段函数的概念．(2)分段函数求值要先找准自变量所在的区间，分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．数学思想：已知分段函数的函数值，求自变量的值时，多用到分类讨论的思想．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)映射中的两个非空集合并不一定是数集． ( ) (2)分段函数由几个函数构成．( ) (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( ) (4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B.3 C.23D.139D [∵f (3)＝23≤1，∴f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139.] 3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2 [当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，又过点(1,2)，故k ＝2，∴f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2； 当x ≥2时，f (x )＝3. 综上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.]4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．[解] (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．。

第2课时分段函数[目标] 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象，培养数学运算核心素养；2.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题，培养数学建模核心素养．[重点] 分段函数求值、分段函数的图象及应用．[难点] 对分段函数的理解．知识点分段函数[填一填]如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．[答一答]1．分段函数的定义域部分可以相交吗？提示：分段函数的定义域部分是不可以相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．2．分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的呢？提示：(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数，它只不过是在定义域的不同子集内解析式不一样而已．(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．3．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为[－4,3]．解析：由题图可知，当x ∈[－2,4]时，f (x )∈[－2,3]；当x ∈[5,8]时，f (x )∈[－4,2.7]．故函数f (x )的值域为[－4,3].类型一 分段函数的定义域、值域[例1] (1)已知函数f (x )＝|x |x，则其定义域为( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0<x <1，0，x ＝0，x 2－1，－1<x <0的定义域为________，值域为________．[分析] 分段函数的定义域、值域⇒各段函数的定义域、值域． [答案] (1)D (2)(－1,1) (－1,1)[解析] (1)由于f (x )＝|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由已知定义域为{x |0<x <1}∪{0}∪{x |－1<x <0}＝{x |－1<x <1}，即(－1,1)，又0<x <1时，0<－x 2＋1<1，－1<x <0时，－1<x 2－1<0，x ＝0时，f (x )＝0，故值域为(－1,0)∪{0}∪(0,1)＝(－1,1)．1.分段函数定义域、值域的求法(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集.2.绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.[变式训练1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1，则函数的定义域为R ，值域为[0,1]．解析：由已知定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R ，又x ∈[－1,1]时，x 2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1]．类型二 分段函数求值[例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x <0)，x 2(0≤x <2)，12x (x ≥2).(1)求f (f (f (－12)))的值．(2)若f (x )＝2，求x 的值． [分析] 分段考虑求值即可． (1)先求f (－12)，再求f (f (－12))，最后求f (f (f (－12)))；(2)分别令x ＋2＝2，x 2＝2，12x ＝2，分段验证求x .[解] (1)f (－12)＝(－12)＋2＝32.∴f (f (－12))＝f (32)＝(32)2＝94，∴f (f (f (－12)))＝f (94)＝12×94＝98.(2)当f (x )＝x ＋2＝2时，x ＝0，不符合x <0. 当f (x )＝x 2＝2时，x ＝±2， 其中x ＝2符合0≤x <2.当f (x )＝12x ＝2时，x ＝4，符合x ≥2.综上，x 的值是2或4.(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得.(2)多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理.(3)已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.[变式训练2] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －1)，x >0，x ，x ≤0，则f (1)的值为( D )A ．1B ．2C ．3D ．0(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (a )＝4，则实数a ＝( B )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析：(1)因为1>0，所以f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，故选D. (2)当a ≤0时，由f (a )＝－a ＝4，得a ＝－4； 当a >0时，由f (a )＝a 2＝4， 得a ＝2或a ＝－2(舍去)． ∴a ＝－4或a ＝2.类型三 分段函数的图象[例3] 画出下列函数的图象，并写出它们的值域． (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x <1，2x ，x ≥1；(2)y ＝|x ＋1|＋|x －3|.[分析] 先化简函数式，再画图象，在画分段函数的图象时，要注意对应关系与自变量范围的对应．[解] (1)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x <1，2x ，x ≥1的图象如图所示，观察图象，得函数的值域为(1，＋∞)．(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x ≤3，2x －2，x >3，它的图象如图所示．观察图象，得函数的值域为[4，＋∞)．作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数的取值情况决定着图象在分界点(关键点)处的断开或连接，断开时要分清断开点处是虚还是实.[变式训练3] (1)下列图形是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是( C )解析：因为f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有选项C 中的图象符合．(2)已知函数f (x )＝|x －2|(x ＋1)． ①作出函数f (x )的图象．②判断直线y ＝a 与y ＝|x －2|(x ＋1)的交点的个数． 解：①函数f (x )＝|x －2|(x ＋1)，去绝对值符号得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥2，－x 2＋x ＋2，x <2.可得f (x )的图象如图所示．②直线y ＝a 与y ＝|x －2|(x ＋1)的图象的交点的个数．作出图象如图：由图象可知．当a <0时，有一个交点； 当a ＝0时，有两个交点； 当0<a <94时，有三个交点；当a ＝94时，有两个交点；当a >94时，有一个交点．综上，当a <0或a >94时，有一个交点；当a ＝0或a ＝94时，有两个交点；当0<a <94时，有三个交点．1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤1，x ，1<x <2，则f (x )的定义域为( C )A ．RB ．(－∞，1]C ．(－∞，2)D ．(1，＋∞)2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f (43)＋f (－43)等于( B )A ．－2B ．4C ．2D ．－4解析：f (43)＝2×43＝83，f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝23×2＝43，所以f (43)＋f (－43)＝83＋43＝4.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝2.解析：由题意知f (0)＝2.又f (2)＝22＋2a ，所以22＋2a ＝4a ，即a ＝2. 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，－x －2，x ≤1，则f [f (2)]＝－52，函数f (x )的值域是[－3，＋∞)．5．如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)．(1)求f [f (0)]的值； (2)求函数f (x )的解析式．解：(1)直接由图中观察，可得f [f (0)]＝f (4)＝2. (2)设线段AB 所对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝b ，0＝2k ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，k ＝－2.∴y ＝－2x ＋4(0≤x ≤2)．同理，线段BC 所对应的函数解析式为y ＝x －2(2<x ≤6)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤6.——本课须掌握的问题(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．学习至此，请完成课时作业9 学科素养培优精品微课堂 分段函数在实际中的应用开讲啦对于此类问题，要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示．用解析法表示时，首先找出自变量x 和函数y ，然后利用题干条件用x 表示y ，最后写出定义域．注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑使函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．[典例] 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．[解] 如图，过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm.(1)当点F 在BG 上时，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上时， 即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋(x －2)2×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10. 综合(1)(2)(3)得函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].函数图象如图所示．[对应训练] 在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数的图象与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成的图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 关于t 的函数图象为( B )解：当－1≤t ≤0时，S ＝12－t22，所以函数图象是开口向下的抛物线的一段，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12；当0<t ≤1时，S ＝12＋t 22，函数图象是开口向上的抛物线的一段，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.所以选项B 满足题意.。

分段函数的优秀教学设计引言：分段函数是高中数学中的重要概念，也是学生学习数学的基础。

通过合理的教学设计和方法，可以有效地帮助学生理解并掌握分段函数的概念和运用。

本文将探讨如何设计一堂优秀的分段函数教学，以帮助学生更好地学习和应用分段函数。

一、教学目标的设定在设计教学过程之前，我们需要明确教学目标，以确保教学活动的有效性和指导性。

对于分段函数的教学，我们可以设定如下目标：1. 学生能够理解分段函数的定义，并能正确地用符号表示出来；2. 学生能够准确地根据给定条件写出分段函数的解析式；3. 学生能够运用分段函数解决实际问题；4. 学生能够在图像上理解和分析分段函数的特点。

二、教学步骤和方法为了实现上述教学目标，我们可以按照以下步骤和方法进行教学：1. 引入概念：通过引用例子或实际问题，将学生的注意力引导到分段函数的概念上。

例如，可以提出一个简单的问题：“如果购买不同数量的苹果，每个苹果的价格不同，如何表示这种关系？”通过这个问题，引导学生思考并尝试用分段函数来表示。

2. 概念讲解：在引入概念之后，对分段函数的定义进行详细的讲解，并通过具体的例子让学生进一步理解。

例如，可以给出一个简单的分段函数的例子，并要求学生计算给定条件下的函数值，以加深对分段函数的理解。

3. 解析式的写法：根据学生已经掌握的知识，引导他们思考如何根据给定条件写出分段函数的解析式。

可以通过提出不同的情境，让学生自己尝试并发现规律。

然后进行归纳总结，并进行系统的讲解。

4. 运用实际问题：将分段函数的概念和解析式与实际问题相结合，引导学生将抽象的数学概念应用到实际生活中。

例如，可以提出一个关于物流运输费用的问题，让学生利用分段函数解决问题。

通过这个过程，学生既能够感受到数学的实际应用，也能够加深对分段函数的理解和掌握。

5. 图像的分析：在学生已经掌握了分段函数的概念和运用之后，引导他们将分段函数的特点与图像相联系，并进行分析。

可以通过给出一些分段函数的图像，让学生观察和讨论图像的特点，并归纳总结。

xy80160240320400204060801001.2.2 函数的表示方法第二课时 分段函数【教学目标】1. 根据要求求函数的解析式2. 了解分段函数及其简单应用3．理解分段函数是一个函数, 而不是几个函数 【教学重难点】 函数解析式的求法 【教学过程】 1、 分段函数由实际生活中, 上海至港、澳、台地区信函部分资费表重量级别 资费（元）20克及20克以内 1.50 20克以上至100克 4.00 100克以上至250克 8.50 250克以上至500克16.70引出问题: 若设信函的重量 （克）应支付的资费为 元, 能否建立函数 的解析式？ 导出分段函数的概念。

通过分析课本第46页的例4.例5进一步巩固分段函数概念, 明确建立分段函数解析式的一般步骤, 学会分段函数图象的作法可选例: 1.动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动, 沿正方形ABCD 的运动路程为自变量 , 写出P 点与A 点距离 与 的函数关系式。

2、在矩形ABCD 中, AB ＝4m, BC ＝6m, 动点P 以每秒1m 的速度, 从A 点出发, 沿着矩形的边按A →D →C →B 的顺序运动到B, 设点P 从点A 处出发经过 秒后, 所构成的△ABP 面积为 m2, 求函数 的解析式。

3、以小组为单位构造一个分段函数, 并画出该函数的图象。

2.典题例1 国内投寄信函（外埠）, 每封信函不超过20g 付邮资80分, 超过20g 而不超过40g 付邮资160分, 依次类推, 每封x g(0<x 100)的信函应付邮资为（单位: 分）, 试写出以x 为自变量的函数y 的解析式, 并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是 , 函数的解析式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈=].100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80x x x x x yxy这个函数的图象是5条线段（不包括左端点）, 都平行于 x 轴, 如图所示. 这一种函数我们把它称为分段函数 变式练习1 作函数y=|x-2|(x ＋1)的图像分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难, 除去对其函数性质分析外, 我们还应想到对已知解析式进行等价变形.解：(1)当x ≥2时, 即x-2≥0时,49)21(2)1)(2(22--=--=+-=x x x x x y当x ＜2时, 即x-2＜0时,49)21(2)1)(2(22+--=++-=+--=x x x x x y .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4921492122x x y 22<≥x x 这是分段函数, 每段函数图象可根据二次函数图象作出例2画出函数y=|x|=⎩⎨⎧<-≥.0,0x x x x 的图象.解: 这个函数的图象是两条射线, 分 别是第一象限和第二象限的角平分线, 如图所示.说明: ①再次说明函数图象的多样性；②从例4和例5看 到, 有些函数在它的定义域中, 对于自变量x 的不同取值范围, 对应法则不同, 这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数, 而不是几个函数.③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象, 如狄利克雷（Dirichlet ）函数D(x)= ,我们就作不出它的图象.变式练习2 作出分段函数21++-=x x y 的图像解: 根据“零点分段法”去掉绝对值符号, 即:21++-=x x y =⎪⎩⎪⎨⎧++-123)12(x x1122>≤<--≤x x x 作出图像如下变式练习3. 作出函数 的函数图像 解: 步骤: （1）作出函数y= (2x(3的图象（2）将上述图象x 轴下方部分以x 轴为对称轴向上翻折（上方部分不变）, 即得y=| (2x(3|的图象3.小结：本节课学习了分段函数及其简单应用, 进一步学习了函数解析式的求法. 课后作业: （略） 【板书设计】 一、 分段函数 二、 典型例题例1 : 例2:小结:【作业布置】完成本节课学案预习下一节。

高中数学中分段函数教案1. 了解分段函数的定义和概念；2. 能够分析分段函数的图像，并理解其性质；3. 能够求解分段函数的定义域和值域；4. 能够应用分段函数解决实际问题。

【教学重点】1. 理解分段函数的定义和概念；2. 能够分析分段函数的图像；3. 能够求解分段函数的定义域和值域。

【教学难点】1. 解决包含多个分段的复杂函数的问题；2. 应用分段函数解决实际问题。

【教学准备】1. 教师准备：课件、讲义、分段函数的例题、练习题等；2. 学生准备：笔记本、笔、计算器等。

【教学过程】一、引入教师通过一个简单的例子引入分段函数的概念，如何根据不同的条件来定义不同的函数，引出分段函数的定义和概念。

二、讲解1. 分段函数的定义和表示方式；2. 分段函数的图像及性质；3. 分段函数的定义域和值域；4. 分段函数的应用举例。

三、练习1. 基础练习：让学生计算给定分段函数的特定值；2. 拓展练习：让学生分析给定的分段函数的图像，并求解定义域和值域；3. 实际问题练习：让学生应用分段函数解决实际问题。

四、总结总结本节课的重点、难点和要点，巩固学生对分段函数的理解。

【课堂小结】通过本节课的学习，学生应该能够理解分段函数的定义和概念，能够分析分段函数的图像，并求解定义域和值域，能够应用分段函数解决实际问题。

【作业布置】1. 完成课堂练习题和分段函数的作业；2. 思考如何将所学的知识应用到实际问题中。

【教学反思】通过分段函数的教学，学生能够提高对函数概念的理解，培养解决实际问题的能力。

需要多设置实际问题练习，提高学生的应用能力。

教学对象：高中一年级学生教学目标：1. 理解分段函数的概念，掌握分段函数的定义域和值域。

2. 学会分段函数的图像绘制，并能分析分段函数的性质。

3. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提高逻辑思维能力。

教学重点：1. 分段函数的定义域和值域。

2. 分段函数的图像绘制。

教学难点：1. 分段函数的图像绘制与性质分析。

2. 分段函数在实际问题中的应用。

教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题3. 小黑板教学过程：一、导入1. 回顾函数的定义，引出分段函数的概念。

2. 通过生活中的实例，如温度变化、路程计算等，让学生感受到分段函数的实际应用。

二、新课讲授1. 分段函数的定义：函数在某个区间内有不同的表达式，这些表达式通过某个条件（如自变量的取值）进行分段。

2. 分段函数的定义域：分段函数的定义域是各段定义域的并集。

3. 分段函数的值域：分段函数的值域是各段值域的并集。

4. 分段函数的图像绘制：a. 按照分段函数的定义，分别绘制各段函数的图像。

b. 将各段函数的图像在同一坐标系中拼接，形成分段函数的完整图像。

5. 分段函数的性质分析：a. 单调性：分段函数的单调性由各段函数的单调性决定。

b. 奇偶性：分段函数的奇偶性由各段函数的奇偶性决定。

c. 周期性：分段函数的周期性由各段函数的周期性决定。

三、课堂练习1. 练习绘制分段函数的图像，分析其性质。

2. 练习解决实际问题，如计算分段函数的定积分。

四、课堂小结1. 回顾分段函数的定义、定义域、值域和图像绘制。

2. 总结分段函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性。

五、课后作业1. 练习题：绘制分段函数的图像，分析其性质。

2. 实际问题：解决实际问题，如计算分段函数的定积分。

教学反思：1. 在教学过程中，注重引导学生理解分段函数的概念，掌握分段函数的定义域和值域。

2. 通过实例讲解分段函数的应用，提高学生的实际操作能力。

3. 在课堂练习和课后作业中，注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3、2 （3）分段函数【教学目标】1、知道分段函数的含义；会根据所给问题建立分段函数解析式；2、会画简单分段函数的图象。

3、培养学生阅读和理解题意的能力；全面分析问题的能力，解决问题的能力；作图能力。

4、培养学生重要数学思想方法----分类思想方法、数形结合思想【教学重点】分段函数解析式的建立及分段函数的图象【教学难点】分段函数解析式的建立【教学关键】 用分类的思想方法把定义域全域划分成若干个小区域，再在每一小区域上逐一解决问题。

【教学过程】（一）复习引入：复习建立函数解析式的一般步骤（二）新课讲解：〖例1〗向一个底面积为s 高为b 的圆柱形杯子不断地以每分钟a 厘米的速度匀速注水，则水面高度h 关于时间t 的函数关系式的大致图象为下列各图中的？ 1、图象法2、能否建立函数h=f(t)的函数关系式（解析法）？⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=a b t b a b t at h ,0,〖概念〗当一个函数在不同的区间段上的对应法则不同时，各段要分段表示。

这样的函数称为分段函数。

〖探讨〗建立分段函数的步骤（现实生活中实例的列举）D C〖例2〗体积等于3a 立方米的游泳池内设有进水管与出水管各一根。

进水的速度与出水的速度均为每小时a 立方米。

若开始时游泳池内无水，先开进水管2小时，再将进水官与出水管同时开放1小时，然后关闭进水管1小时，最后出水管也关闭。

设水池的体积为y ，则下列各图中能表示y 关于t 的函数关系的是（ ）(B)（1） 写出题中y 关于t 的函数解析式（2） 何时游泳池中有水a 立方米？（3） 上题中，若进水的速度为每小时a 立方米，出水管的速度为每小时b 立方米，且a>b ，试写出相应的y 关于t 的函数解析式，并画出所得函数的大致图象〖例3〗动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动，沿正方形ABCD 的运动路程为自变量，（1）写出P 点与A 点距离与的函数关系式（2）p 运动到何处时，AP 长为45？（两解） 〖练习〗 学生完成以下两个问题：1、在矩形ABCD 中，AB ＝4m ，BC ＝6m ，动点P 以每秒1m 的速度，从A 点出发，沿着矩形的边按A →D →C →B 的顺序运动到B ，设点P 从点A 处出发经过秒后，所构成的△ABP 面积为m 2，求函数的解析式。

高中数学分段函数教案
**教学目标：**
1. 了解分段函数的定义和特点
2. 能够画出分段函数的图像
3. 掌握如何求解分段函数的定义域和值域
**教学重点：**
1. 分段函数的定义
2. 分段函数的图像
3. 分段函数的定义域和值域
**教学过程：**
**导入：**（5分钟）
请学生回顾一下已学过的函数的知识，了解函数的概念及其性质，引入分段函数的概念。

**讲解：**（15分钟）
1. 引入分段函数的概念，说明分段函数在不同区间上有不同的表达式。

2. 讲解如何确定分段函数的定义域和值域。

3. 示范几个分段函数的例子，让学生理解分段函数的特点。

**练习：**（20分钟）
1. 让学生自己尝试画出几个分段函数的图像。

2. 给学生几个分段函数的练习题，让他们计算出定义域和值域。

**总结：**（5分钟）
总结分段函数的定义、特点和画图方法，强调如何确定定义域和值域。

**作业：**
1. 完成课堂练习题。

2. 画出一些分段函数的图像并计算其定义域和值域。

**教学反思：**
本节课的教学内容是分段函数，需要学生掌握函数概念的基础上再进行学习。

对于一些难点，需要多给学生一些练习机会，帮助他们更好地理解和掌握知识。

分段函数教案分段函数是数学中的一个重要概念，它在实际生活中的应用非常广泛。

为了帮助学生更好地理解和掌握分段函数，下面将介绍一种教学方法和教案设计。

一、教学目标1. 理解分段函数的定义和性质；2. 能够根据给定的函数图像确定其对应的分段函数；3. 能够利用分段函数解决实际问题。

二、教学准备1. 教师准备白板、黑板报告等教学工具；2. 学生准备笔记本和教科书。

三、教学过程步骤一：引入1. 教师先通过一个生活实例引入分段函数的概念。

比如讲述一个小车在行驶过程中的速度变化情况，引导学生思考速度是否一直保持不变。

2. 引入函数的概念，提醒学生函数是变量之间的一种对应关系。

3. 引入分段函数的概念，解释分段函数是函数的一种特殊形式。

步骤二：定义与示例1. 教师在黑板上写出分段函数的定义，并解释其中的符号和含义。

2. 通过举例来说明分段函数的特点和用法。

比如给出一个具体的函数图像，要求学生根据图像确定该函数的表达式。

步骤三：性质与图像1. 教师介绍分段函数的一些性质，如定义域、值域、奇偶性等。

2. 引导学生观察分段函数的图像特点，如函数曲线的分段断开点、拐点等。

步骤四：应用与解决问题1. 教师给出一些实际问题，要求学生利用分段函数解决。

2. 引导学生分析问题，确定变量与函数关系，并建立相应的分段函数。

3. 让学生根据分段函数求解问题，并向同学进行展示和讨论。

步骤五：总结与拓展1. 教师引导学生总结分段函数的特点和应用场景。

2. 提出一些拓展问题，让学生更深入地思考和应用分段函数。

四、教学反思本教案设计注重理论知识的引入与实际应用的结合，通过生动的示例和实际问题来激发学生的学习兴趣和思维能力。

同时，通过引导学生观察和分析函数图像的特点，进一步加深对分段函数的理解。

通过小组合作解决问题，可以促进学生之间的交流和合作能力发展。

总的来说，本教案设计旨在通过生动的教学方法和实际问题的应用，帮助学生掌握分段函数的基本概念和解决问题的方法，培养学生的数学思维能力和应用能力。