不等式专题练习

1 不等式专题

（-）不等式的概念及性质

1. 如果0,0dcba,则下列不等式中不．正确的是 （ ）

A.cbda B.cbda C. cbda D.bdac

2．设ba,为非零实数，若ba，则下列不等式成立的是 （ ）

A．22ba B．baab22 C．baab2211 D．baab

3.若21210,0bbaa，且,12121bbaa则下列代数式中值最大的是（ ）

A．2211baba B．2121bbaa C．1221baba D．21

4．若01yx,则x1，y1，2x，2y的大小关系为 .

5．设角、β满足9090，则－β的取值范围为 .

6. 若24,31，则||的取值范围是 .

7．已知cba，且0cba,则acb42的值的符号为 .

8．给出下列命题：

①若ba，则ba11； ②若ba，且Nk，则kkba；

③若22bcac，则ba； ④若0bac，则acbaca.

其中假命题是________(只需填序号)．

13. 函数bxaxxf2)(满足：4)1(2,2)1(1ff，求)2(f的取值范围．

（二）不等式的解法

类型梳理

1.二次不等式（略）

2.高次不等式（数轴穿根法）

3.分式不等式 （1）_____________0)()(____;__________0)()(xgxfxgxf

（2）__________________________)()(;__________________________0)()(xgxfxgxf

32(1)2150;xxx 23(2)(4)(5)(2)0xxx

32(3)1;22xx 2241(4)1372xxxx

2 ★4.无理不等式

（1）()()fxgx （2）()()fxgx

（3）()()fxgx (4)()()fxgx

★5.绝对值不等式的解法

①axf)( ； axf)( ；

)()(xgxf ； )()(xgxf _ .

②对于类似)(|)(||)(|xhxgbxfa的不等式，则应找出 ，以此划分区间进行讨论求解．

1.若不等式axx34对一切实数x都成立，则实 数a的取值范围是（ ）

A．1a B．1a C．1a D．1a

2.解下列不等式

（1）xxxx11 （2）0322xx （3）1325xx

★★6.含参数不等式的解法

（1）)1(12xaxa （2）0)(322axaax

（3）)1(12)1(axxa　　 (4))(01)1(2Rmxmmx　　

3 （三）与二次不等式有关的问题

题型：逆用，恒成立问题

1.解不等式022bxax得到解集3121xx，那么ba的值等于（ ）

A．10 B．-10 C．14 D．-14

2.若关于x的不等式0)(322axaax的解集为}|{2axaxx或，则实数a的取值范围是（ ）

A．0a B． 1a C．10a D．10a

3.不等式0)1(2aaxax的解集是全体实数，则a的取值范围是（ ）

A．0, B．，340, C．0, D．，340,

4.ab10,若关于x 的不等式2()xb＞2()ax的解集中的整数恰有3个，则（ ）

A．01a B．10a C．31a D．63a

5.已知不等式20axbxc的解集为{|24}xx，则不等式20cxbxa的解集为__________________

7.若不等式yyaxx2222对一切实数yx,都成立，则实数a的取值范围是_____________

8.设21,xx为方程02442mmxx的两个实根，当m____________时，2221xx有最小值____________

9.已知a是实数，函数axaxxf322)(2，如果函数)(xfy在区间1,1上有零点，求a的取值范围。

10.已知：22|320,|(1)0AxxxBxxaxa，

(1)若AB，求a的取值范围；(2)若BA，求a的取值范围；

4 （四）均值不等式

知识梳理

1. 基本不等式：

（1）对任意*,Rba，有abba___2成立，当且仅当________时取等号.

我们称______为ba,的算术平均，______为ba,的几何平均.

上面的基本不等式可以表述为_________________________________________

（2）对任意*,Rcba，，有3___3abccba成立，当且仅当________时取等号.

上面的基本不等式可以表述为_________________________________________

（3）对任意*21,,Raaan，，有__________________成立，当且仅当_______时取等号.

2. 关于基本不等式的重要结论

（1），那么当定值且)(),,0(,pxyyx_____ 时，____________值有最yx

（2），那么当定值且)(),,0(,,pxyzzyx______时,_______值有最zyx

（3），那么当定值且)(),,0(,Syxyx_____ 时，____________值有最xy

（4），那么当定值且，)(),,0(,Szyxzyx____时，值有最___xyz______

3.基本不等式的常见变形及有关结论

(1)；),(2__22Rbaabba ),(2__22Rbabaab

),()2___(),(2)(__2222RbabaabRbababa；

),(2____)2(222Rbababa以上等号在________时成立

),,(3___333Rcbaabccba,当且仅当_________时，等号成立.

（2）若0ab，则2____abba (当且仅当ba__时取“=”）

特别地),0(2____1aaa)0(2____1aaa

4.误区警示

（1）在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各个项中字母取某个值时，能够使得各项的值相等．

（2）其中，通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．

（3）多次使用均值不等式时，要保持每次等号成立条件的一致性．

综上可知：),(112______2___222Rbabaabbaba

5 典型习题

1.已知1a那么11aa的最小值是

2.已知30x，则29yxx的最小值为

3.下列函数中，y的最小值为4的是( )

A.4yxx B.222(3)2xyx C.4xxyee D.4sin(0)sinyxxx

4.函数2710(1)1xxyxx在_____x时，有最____值______.

5.已知正实数ab、满足2ab，则使得21ab取得最小值的实数对(,)ab为 .

6.已知32100baba，，，ba2的最小值为

7.已知：x、yR，280xyxy，xy的最小值为

8.函数2212sincosy))2,0((的最小值为

9.函数yxx225的最大值

10.函数yxxx21521252()的最大值

11.当0x时,xxy362的最小值为 ．

12.已知实数yx,满足2x,12y则xyxy11的最小值和最大值分别为

13.若0,0ab，且21ab，则2224sabab的最大值是

14.已知Rcba,,且)2(681292acbcaba.则cba23的最小值为

15．(1)当0x时，求函数xxy82的最小值；

(2)若0ba,求bbaa)2(4的最小值；

(3)正数ba，,满足1ba，求2ab的最大值．

16．1,abcRcba且，，，求证：27)2)(2)(2(cba