一元二次方程解法例子
一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c分别为常数，且a≠0。解一元二次方程的一般方法是使用求根公式，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。下面将列举10个关于一元二次方程解法的例子。
例子1：
已知一元二次方程2x^2+3x-4=0，求解该方程。
解法：根据一元二次方程的求根公式，代入a=2，b=3，c=-4，可以得到x=(-3±√(3^2-4×2×(-4)))/(2×2)。进一步计算可得x=(-3±√(9+32))/4，即x=(-3±√41)/4。因此，该方程的解为x=(-3+√41)/4和x=(-3-√41)/4。
例子2：
已知一元二次方程x^2-5x+6=0，求解该方程。
解法：根据一元二次方程的求根公式，代入a=1，b=-5，c=6，可以得到x=(-(-5)±√((-5)^2-4×1×6))/(2×1)。进一步计算可得x=(5±√(25-24))/2，即x=(5±√1)/2。因此，该方程的解为x=(5+√1)/2和x=(5-√1)/2。
例子3：
已知一元二次方程3x^2+5x+2=0，求解该方程。
解法：根据一元二次方程的求根公式，代入a=3，b=5，c=2，可以得到x=(-5±√(5^2-4×3×2))/(2×3)。进一步计算可得x=(-5±√(25-24))/6，即x=(-5±√1)/6。因此，该方程的解为x=(-5+√1)/6和x=(-5-√1)/6。
例子4：
已知一元二次方程2x^2-7x+3=0，求解该方程。
解法：根据一元二次方程的求根公式，代入a=2，b=-7，c=3，可以得到x=(-(-7)±√((-7)^2-4×2×3))/(2×2)。进一步计算可得x=(7±√(49-24))/4，即x=(7±√25)/4。因此，该方程的解为x=(7+√25)/4和x=(7-√25)/4。
例子5：
已知一元二次方程x^2+4x+4=0，求解该方程。
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课题：解法综合
【学习目标】：
知识点、考点：
1、一元二次方程的含义
2、一元二次方程的解法
重点、难点：
1、掌握配方法、因式分解法的解方程
【知识网络详解】
考点1（配方法解一元二次方程）
1．通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的___________，若右边是一个__________常数， 则可以运用__________求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
2．用配方法解方程的一般步骤：
(1)将常数项移至方程的___________；
(2)把二次项系数化为1；
(3)将方程左边配成一个含有未知数的_________；
(4)运用____________求
3注意：选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．当二系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”是配方的关键．
考点2（用公式法解一元二次方程）
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是_________________，用公式法解一元二次方程必须满足的条件是_________________
2．用公式法解一元二次方程的一般步骤：
(1)把一元二次方程化为______________；
(2)确定_______________的值；
(3)计算_______________的值；
(4)当____________________时，把a，b，c的值代入求根公式，求得方程的两个实数根；当______时，方程无实数根．
3．(1)在确定a，b，c的值时，一定要注意______________；
(2)当一元二次方程有两个相等的实数根时，方程的解应写成______________而不能写成_________.
【经典例题解析】
配方法解方程
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．
（1）当a=﹣11时，解这个方程；
（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；
（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．
【答案】（1）123,4xx（2）54a≤（3）-4
【解析】
分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；
（2）根据判别式即可求出a的范围；
（3）根据根与系数的关系即可求出答案．
详解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；
（2）∵方程有两个实数根12xx，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得54a：；
（3）∵12xx，是方程的两个实数根，222211221122101011xxaxxaxxaxxa，，，．
∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴221122229xxxx，把22112211xxaxxa， 代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得：a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣4．
点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．
2．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．
【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．
3．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】（1）5；（2）180
习题课 一元二次方程的解法
类型1 直接开平方法
1.用直接开平方法解下列方程：
(1)3x2－27＝0.
(2)2(x＋1)2－8＝0.
类型2 配方法
2.用配方法解下列方程：
(1)x2－23 x＋1＝0.
(2)14 x2－6x＋3＝0.
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类型3 因式分解法
3.用因式分解法解下列方程：
(1)x2－3x＝0.
(2)(x－3)2－9＝0.
(3)2(t－1)2＋8t＝0.
(4)5x(x－3)＝6－2x.
.
(5)(2020·徐州)2x2－5x＋3＝0.
类型4 公式法
4.用公式法解下列方程：
(1)3x2＋x－5＝0.
(2)x2－23 x＋2＝0.
类型5 选择合适的方法解一元二次方程
5.用适当的方法解下列方程：
(1)(x＋1)2－81＝0.
(2)x2－4x－95＝0.
(3)3(x－2)2＝4－2x.
(4)(2x－5)2＝(x－2)2.
.
(5)(x－3)2＝2x－3.
类型6 换元法
6.阅读下面的材料：
解方程x4－7x2＋12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，则x4＝y2.
∴原方程可化为y2－7y＋12＝0. ∴a＝1，b＝－7，c＝12.
∴Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×12＝1.
∴y＝－b±b2－4ac2a ＝－（－7）±12 .
解得y1＝3，y2＝4.
当y＝3时，x2＝3，x＝±3 .
当y＝4时，x2＝4，x＝±2.
∴原方程有四个根是：x1＝3 ，x2＝－3 ，x3＝2，x4＝－2.
以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想.请你运用上述方法解答下列问题.
(1)解方程：(x2＋x)2－5(x2＋x)＋4＝0.
(2)已知实数a，b满足(a2＋b2)2－3(a2＋b2)－10＝0，试求a2＋b2的值.
