2018届高三数学每天一练半小时第9练 函数性质的应用

训练目标 函数的单调性、最值、奇偶性、周期性．

训练题型 (1)判定函数的性质；(2)求函数值或解析式；(3)求参数或参数范围；(4)和函数性质有关的不等式问题．

解题策略 (1)利用奇偶性或周期性求函数值(或解析式)，要根据自变量之间的关系合理转换；(2)和单调性有关的函数值大小问题，先化到同一单调区间；(3)解题时可以根据函数性质作函数的草图，充分利用数形结合思想.

一、选择题

1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( )

A．y＝log3x B．y＝3|x|

C．y＝x12 D．y＝x3

2．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 014)的值为( )

A．2 B．0

C．－2 D．±2

3．(2017·西安质检)设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2－x)＝f(x)，若当x≥1时，f(x)＝

lnx，则有( )

A．f13

C．f12

4．已知函数f(x)＝13log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，2] B．[2，＋∞)

C.－12，2 D.－12，2

5．(2016·威海模拟)已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则

f(2－x)>0的解集为( )

A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－24} D．{x|0

6．设函数f(x)是奇函数，对任意的实数x，y，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)在区间[a，b]上( )

A．有最小值f(a) B．有最大值f(a)

C．有最大值f(a＋b2) D．有最小值f(a＋b2)

7．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2<0且x1x2<0，则f(x1)＋f(x2)的值( )

A．可能为0 B．恒大于0

C．恒小于0 D．可正可负

8．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：

①若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(3＋x)，则f(x)的一个周期为T＝2；②若函数y＝f(x)满足

f(x＋1)＝f(3－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；③函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(3－x)的图象关于直线x＝2对称；④若函数y＝1x＋1与函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)＝1x－1.其中正确的个数是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

二、填空题

9．(2016·孝感模拟)已知y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f(x)＝x2－2x，则当10≤x≤12时，f(x)＝________________.

10．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：

①f(2)＝0；②直线x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若关于x的方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－8.

其中所有正确命题的序号为________．

11．(2016·济宁期中)已知函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠2}，且y＝f(x＋2)是偶函数，当x<2时，f(x)＝|2x－1|，那么当x>2时，函数f(x)的递减区间是__________．

12．(2016·武汉调研)已知函数f(x)＝alog2|x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝ f(x)，x>0，－f(x)，x<0，给出下列命题： ①F(x)＝|f(x)|；

②函数F(x)是奇函数；

③当a>0时，若x1x2<0，x1＋x2>0，则F(x1)＋F(x2)>0成立；

④当a<0时，函数y＝F(x2－2x－3)存在最大值，不存在最小值．

其中所有正确命题的序号是________.

答案精析

1．D [根据对数函数的图象知y＝log3x是非奇非偶函数；y＝3|x|是偶函数；y＝12x是非奇非偶函数；y＝x3是奇函数，且在定义域R上是单调函数，所以D正确．]

2．A [∵g(－x)＝f(－x－1)，

∴－g(x)＝f(x＋1)．

又g(x)＝f(x－1)，

∴f(x＋1)＝－f(x－1)，

∴f(x＋2)＝－f(x)，

f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴f(x)是以4为周期的周期函数，

∴f(2 014)＝f(2)＝2.]

3．C [由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以f12＝f32，f13＝f53，又当x≥1时，f(x)＝lnx，单调递增，

所以f32

4．D [令t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知f(t)＝13logt在其定义域上单调递减，要使f(x)＝13log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞)上单调递增，

且t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即 －－a2≤1，g1>0，

所以 a≤2，a>－12，即－12

5．C [由题意可知f(－x)＝f(x)，

则(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，

即(2a－b)x＝0恒成立，故2a－b＝0，

即b＝2a.则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．

又函数在(0，＋∞)上单调递增，

所以a>0.

f(2－x)>0，即ax(x－4)>0， 解得x<0或x>4.故选C.]

6．B [不妨设a≤x10⇒f(x1)>f(x2)⇒f(x)在区间[a，b]上为减函数⇒f(x)在区间[a，b]上有最大值f(a)，故选B.]

7．C [由x1x2<0，不妨设x1<0，x2>0.

∵x1＋x2<0，∴x1<－x2<0.

由f(x)＋f(－x)＝0，知f(x)为奇函数，

又由f(x)在(－∞，0)上单调递增，得

f(x1)

所以f(x1)＋f(x2)<0.故选C.]

8．C [在f(x＋1)＝f(3＋x)中，以x－1代换x，得f(x)＝f(2＋x)，所以①正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是y＝f(x)上的两点，且x1＝x＋1，x2＝3－x，有x1＋x22＝2，由f(x1)＝f(x2)，得y1＝y2，即P，Q关于直线x＝2对称，所以②正确；函数y＝f(x＋1)的图象由y＝f(x)的图象向左平移1个单位得到，而y＝f(3－x)的图象由y＝f(x)的图象关于y轴对称得y＝f(－x)，再向右平移3个单位得到，即y＝f[－(x－3)]＝f(3－x)，于是y＝f(x＋1)与函数y＝f(3－x)的图象关于直线x＝－1＋32＝1对称，所以③错误；设P(x，y)是函数f(x)图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′(－x，－y)必在y＝1x＋1的图象上，有－y＝1－x＋1，即y＝1x－1，于是f(x)＝1x－1，所以④正确．]

9．－x2＋22x－120

解析 ∵f(x)在R上是周期为4的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．由f(x＋4)＝f(x)，可得f(x－12)＝f(x)．设－2≤x≤0，则0≤－x≤2，f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，当10≤x≤12时，－2≤x－12≤0，f(x)＝f(x－12)＝－(x－12)2－2(x－12)＝－x2＋22x－120.

10．①②④

解析 对于①，∵f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，∴当x＝－2时，f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，∴f(－2)＝0，又f(x)是偶函数，∴f(2)＝0，∴①正确；对于②，∵f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，f(2)＝0，

∴f(x＋4)＝f(x)，∴函数y＝f(x)的周期T＝4，又直线x＝0是函数y＝f(x)图象的对称轴，

∴直线x＝－4也为函数y＝f(x)图象的一条对称轴，

∴②正确；对于③，∵函数f(x)的周期是4， ∴y＝f(x)在[8,10]上的单调性与在[0,2]上的单调性相同，∴y＝f(x)在[8,10]上单调递减，

∴③错误；对于④，∵直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的对称轴，∴x1＋x22＝－4，x1＋x2＝－8，∴④正确．

11．(2,4]

解析 ∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，则函数f(x)关于直线x＝2对称，则f(x)＝f(4－x)．若x>2，则4－x<2，∵当x<2时，f(x)＝|2x－1|，

∴当x>2时，f(x)＝f(4－x)＝|24－x－1|，则当x≥4时，4－x≤0,24－x－1≤0，此时f(x)＝|24－x－1|＝1－24－x＝1－16·12x，此时函数递增，当20,24－x－1>0，

此时f(x)＝|24－x－1|＝24－x－1＝16·12x－1，此时函数递减，∴函数的递减区间为(2,4]．

12．②③

解析 ①因为|f(x)|＝11(),||2,(),0||2,aafxxfxx而F(x)＝ f(x)，x>0，－f(x)，x<0，这两个函数的定义域不同，不是同一函数，即F(x)＝|f(x)|不成立，①错误．②当x>0时，F(x)＝f(x)＝alog2|x|＋1，－x<0，F(－x)＝－f(－x)＝－(alog2|－x|＋1)＝－(alog2|x|＋1)＝－F(x)；当x<0时，F(x)＝－f(x)＝－(alog2|x|＋1)，－x>0，F(－x)＝f(－x)＝alog2|－x|＋1＝alog2|x|＋1＝－F(x)，所以函数F(x)是奇函数，②正确．③当a>0时，F(x)＝f(x)＝alog2|x|＋1在(0，＋∞)上是单调增函数．若x1x2<0，x1＋x2>0，不妨设x1>0，则x2<0，x1>－x2>0，所以F(x1)>F(－x2)>0，又因为函数F(x)是奇函数，－F(x2)＝F(－x2)，所以F(x1)＋F(x2)>0，③正确．④函数y＝F(x2－2x－3)＝

 alog2(x2－2x－3)＋1，x>3或x<－1，－alog2(－x2＋2x＋3)－1，－1

当x>3或x<－1时，因为a<0，

所以y＝F(x2－2x－3)既没有最大值，也没有最小值．