上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研(一模)数学(文)试卷

上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）

数学（文）试卷

2014年1月

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．

2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题纸不能折叠．

3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．函数)2(log2xy的定义域是_____________．

2．已知i是虚数单位，复数z满足1)31(iz，则||z_______．

3．已知函数)(xfy存在反函数)(1xfy，若函数)1(xfy的图像经过点)1,3(，则)1(1f的值是___________．

4．已知数列}{na的前n项和2nSn（*Nn），则8a的值是__________．

5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为202cm，则此圆锥的体积为________3cm．

6．已知为第二象限角，54sin，则4tan____________．

7．已知双曲线12222byax（0a，0b）满足021ba，且双曲线的右焦点与抛物线xy342的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．

8．分别从集合}4,3,2,1{A和集合}8,7,6,5{B中各任取一个数，则这两数之积为偶数的概率是_________．

9．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EMEC的最大值为___________．

10．函数xay（0a,1a）的图像经过点41,2P，则)(lim2nnaaa______．

11．设等比数列}{na的前n项和为nS，且55Sa，则2014S________．

12．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线03yx与03yx的距离之积等于4，则P到原点距离的最小值为_________．

13．设集合}1)4(),{(22yxyxA，}1)2()(),{(22atytxyxB，若存在实数t，使得BA，则实数a的取值范围是___________． 14．已知函数0,,0,2)(22xbxxxxaxxf是偶函数，直线ty与函数)(xf的图像自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若||||BCAB，则实数t的值为_______．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

15．设向量)1,1(xa，)1,3(xb，则“a∥b”是“2x”的„„„„„（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

16．若nxx22展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）

A．180 B．120 C．90 D．45

17．若将函数xxycos3sin（Rx）的图像向左平移m（0m）个单位后，所

得图像关于原点对称，则m的最小值是„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）

A．6 B．3 C．32 D．65

18．设函数)(xf的定义域为D，若存在闭区间Dba],[，使得函数)(xf满足：①)(xf

在],[ba上是单调函数；②)(xf在],[ba上的值域是]2,2[ba，则称区间],[ba是函

数)(xf的“和谐区间”．下列结论错误的是„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）

A．函数2)(xxf（0x）存在“和谐区间”

B．函数xxf2)(（Rx）不存在“和谐区间”

C．函数14)(2xxxf(0x）存在“和谐区间”

D．函数xxf2log)(（0x）不存在“和谐区间”

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图，正三棱锥BCDA的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC的中点．

（1）求该三棱锥的表面积S；

（2）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

B A

C E D 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

设Rx，函数xxxfsincos)(，xxxgsincos)(．

（1）求函数)()()()(2xfxgxfxF的最小正周期和单调递增区间；

（2）若)(2)(xgxf，求xxxxcossincossin122的值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点23,1在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量)1,2(d的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：22||||PBPA为定值．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数)(xf和)(xg的图像关于原点对称，且xxxg2)(2．

（1）求函数)(xf的解析式；

（2）解不等式|1|)()(xxgxf；

（3）若函数1)()()(xgxfxh在区间]1,1[上是增函数，求实数的取值范围．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知数列}{na满足121naann（*Nn）．

（1）若数列}{na是等差数列，求它的首项和公差；

（2）证明：数列}{na不可能是等比数列；

（3）若11a，bknacnn（*Nn），试求实数k和b的值，使得数列}{nc为等比数列；并求此时数列}{na的通项公式．

上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研

（文）

参考答案与评分标准

一．填空题（每小题4分，满分56分）

1．),2( 2．21 3．2 4．15 5．16 6．71 7．1222yx 8．43 9．23

10．1 11．0 12．22 13．34,0 14．43

二．选择题（每小题5分，满分20分）

15．B 16．A 17．C 18．B

三．解答题

19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

（1）正三棱锥的斜高221322h， „„„„„„„„（2分）

所以，2632222132432S． „„„„„„„„（4分）

（2）取BD中点F，连结AF、EF，因为EF∥CD，所以AEF就是异面直线AE与CD所成的角（或其补角）． „„„„„„„„„„„„„„（2分）

在△AEF中，22AFAE，1EF， „„„„„„（1分）

所以822221cosAEF． „„„„„„„„„„„„（2分）

所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为82arccos． „„„„„„（1分）

20．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

（1）2)sin(cos)sin)(cossin(cos)(xxxxxxxF „„„„（1分）

142sin212cos2sincossin21sincos22xxxxxxx，„（2分）

所以，函数)(xF的最小正周期为． „„„„„„„„（2分）

由224222kxk（Zk），得883kxk（Zk），（2分）

所以函数)(xF的单调递增区间是8,83kk（Zk）． „„„„„„（1分）

（2）由题意，)sin(cos2sincosxxxx，xxcossin3，„„„„（1分） 所以，31tanx． „„„„„„„„„„„„（1分）

所以，xxxxcossincossin122611tan1tan21cossincossin2cos2222xxxxxxx． „„（4分）

（中间步骤每步1分，答案2分）

21．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1） 因为C的焦点在x轴上且长轴为4，

故可设椭圆C的方程为14222byx（0ba）， „„„„„„„„（1分）

因为点23,1在椭圆C上，所以143412b， „„„„„„（2分）

解得12b， „„„„（1分）

所以，椭圆C的方程为1422yx． „„„„„„（2分）

（2）设)0,(mP（22m），由已知，直线l的方程是2mxy， „„（1分）

由,14,)(2122yxmxy 042222mmxx （*） „„„„„„（2分）

设),(11yxA，),(22yxB，则1x、2x是方程（*）的两个根，

所以有，,22mxx24221mxx， „„„„„„„„（1分）

所以，2222212122)()(||||ymxymxPBPA

])()[(45)(41)()(41)(222122222121mxmxmxmxmxmx

]22)(2)[(45]2)(2[45221212212212221mxxxxmxxmxxmxx

5]2)4(2[452222mmmm（定值）． „„„„„„（3分）

所以，22||||PBPA为定值． „„„„（1分）

（写到倒数第2行，最后1分可不扣）