三角形四心与向量

三角形的四心与平面向量知识点总结

三角形的四心与平面向量是一个关于平面几何的较为深奥的概念，它的概念要求学生具备一定的几何知识，掌握这一概念对于学习几何领域的深入学习是十分有用的。

三角形的四心指的是在特定三角形ABC内构成特殊位置

三个点I（三角形BC边AB中点），J（三角形AC边BC中点），K（三角形AB边AC中点），四点ABCIK组成的四边形，四边形的面积等于三角形的三分之一，此四边形称为BCIK三角形的四心．

此外，三角形的四心还有一个与平面向量密切相关的概念， 在三角形的四心中，任意三个角的夹角均为60°，在三角形四心ABCIK任意三点构成的三角形内构成平行四边形，平行四边形内两条边构成的三角形含有相同的角，平行四边形内两条边所在平面垂直于BCIK三角形的两条边，BCIK三角形的两条边构成的平面是BCIK三角形的平面向量．

三角形的四心与平面向量让学生熟悉一些它不同于其他几何图形所具有的形态特征，有助于更深入地了解几何相关的知识，学习者不仅可以学习三角形的四心，还可以将其结合实际的问题，学习如何用四心确定三角形的面积等相关的实际问题．

1 高考专题之三角形“四心”的向量性质

四心的概念

（1）重心：中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

（2）垂心：高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

一、三角形的重心的向量表示及应用

命题一 已知ABC，，是不共线的三点，G是ABC△内一点，若GAGBGC0．则G是ABC△的重心．

证明：如图1所示，因为GAGBGC0，

所以 ()GAGBGC．

以GB，GC为邻边作平行四边形BGCD，

则有GDGBGC，

所以GDGA．

又因为在平行四边形BGCD中，BC交GD于点E，

所以BEEC，GEED．

所以AE是ABC△的边BC的中线．

故G是ABC△的重心．

点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．

例1 如图2所示，ABC△的重心为GO，为坐标原点，OAa，OBb，OCc，试用abc，，表示OG．

解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点， 2 GCOGcGBOGbGAOGa

GCGBGAOGcba

而03OGcba

3cbaOG

点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．

变式：已知DEF，，分别为ABC△的边BCACA，，的中点．则ADBECF0．

证明：如图的所示，

GCCFGBBEGAAD232323

)(23GCGBGACFBEAD

0GCGBGA

ADBECF0．．

变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点，

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三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用 在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：

一． 知识点总结

1）O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ;

S BOC S AOC S AOB 1

若 O 是 ABC 的重心，则 S ABC

OC 0 ;

3 故 OA OB

PG 1 ( PA PB PC) G 为 ABC 的重心 .

3

2）O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ;

若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心，则 S BOC ： S

AOC ： S

AOB ： ：

tan A tan B tan C

故 tan AOA tan BOB tan COC 0

3）O 是 ABC 的外心 2

OB 2

OC 2

| OA | | OB | | OC | (或 OA )

若 O 是 ABC 的外心

： ： ： ：

sin2A : sin2B : sin2C

则 S BOC S AOC S

AOB sin BOC sin AOC sin AOB

故 sin2AOA sin2BOB sin2COC 0 4）O 是内心 ABC 的充要条件是

OA ( AB AC ) OB ( BA BC ) OC ( CA CB ) 0

| AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB |

与三角形四心相关的向量结论.doc

一、定义

1. 三角形的三条中线分别连接三角形的对边中点，它们的交点称为三角形的重心。

既然我们要讨论与三角形的四个特殊点有关的向量结论，就先给出这四个特殊点的定义。

二、引理

引理 1：两向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 之间的角度 $\theta = \arccos(\cos\theta)

= \arccos\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。

三、重心

重心是三角形的三条中线的交点，记为 $G$。设三角形三个顶点为 $A$，$B$，$C$，则重心 $G$ 满足 $\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$，其中

$O$ 为原点。

$$\vec{OG}=\frac{\vec{OA}+\vec{GA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}$$

将 $\vec{GA}=\frac{2}{3}\vec{MA}$，其中 $M$ 为对边 $BC$ 的中点，代入得

四、内心

证明：设 $\angle B = \alpha$，$\angle C = \beta$，$\angle A = \gamma$，$\angle

DFE=\gamma_1$，$\angle EFD=\alpha_1$，$\angle FDE=\beta_1$，则有

$$\begin{aligned}a&=\frac{BC}{EF}=\frac{2BC}{2EF}=\frac{2AC\sin\gamma}{2AF\sin\gamma_1}=\frac{AC}{AF}\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\gamma_1}\\b&=\frac{CA}{FD}=\frac{2CA}{2FD}=\frac{2AB\sin\beta}{2BD\sin\beta_1}=\frac{AB}{BD}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\beta_1}\\c&=\frac{AB}{DE}=\frac{2AB}{2DE}=\frac{2BC\sin\alpha}{2CE\sin\alpha_1}=\frac{BC}{CE}\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha_1}\end{aligned}$$