高中数学立体几何证明题汇总

高一数学常考立体几何证明题

1、如图，已知空间四边形ABCD中，,BCACADBD，E是AB的中点。

求证：（1）AB平面; （2）平面CDE平面ABC。

2、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点，

求证： 1//AC平面BDE。

3、已知ABC中90ACBo,SA面ABC,ADSC,

求证：AD面SBC．

4、已知正方体1111ABCDABCD，O是底ABCD对角线的交点.

求证：(１) C1O∥面11ABD；(2)1AC面11ABD．

5、正方体''''ABCDABCD中，求证：

''ACBDDB平面；

6、正方体—A1B1C1D1中．

(1)求证：平面A1∥平面B1D1C；

(2)若E、F分别是1，1的中点，求证：平面1D1∥平面．

7、四面体ABCD中，,,ACBDEF分别为,ADBC的中点，且22EFAC，90BDCo， A

E

D B C

AE D1

CB1

D

C B A

SDCBAD1ODBAC1B1A1CA1

A B1

B C1

C D1

D G E F

求证：BD平面ACD

8、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E、F、G分别是AB、AD、11CD的中点.求证：平面1DEF∥平面BDG.

9、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点.

（1）求证：1//AC平面BDE；

（2）求证：平面1AAC平面BDE.

10、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，2AB，4PAAD，E为BC的中点．

求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．

11、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是060DAB且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；

（2）求证：ADPB．

高中数学“立体几何”中的计算与证明题

例题１、如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC ⊥平面ABC，∠B

= π/2 ，点 D、E 在线段AC上，且 AD=DE=EC=2，PD=PC=4，

点 F 在线段 AB 上，且 EF//BC。

① 证明：AB ⊥ 平面PFE；

② 若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段 BC 的长 。

例题1图（1）

证明：

（1）如图，由 DE = EC , PD = PC 知 E 为等腰 △PDC 中 DC 边上的中点 ，故 PE⊥AC

∵ 平面 PAC ⊥平面 ABC ，平面 PAC ∩ 平面 ABC = AC ，PE⊥AC

∴ PE⊥平面 ABC 从而 PE⊥AB

又 ∵ EF//BC ， ∠B = π/2

∴ ∠AFE = π/2 ， 从而 AB⊥FE

∴ AB ⊥ 平面 PFE

（2）解：设 BC = x ，在直角 △ABC 中

例题1图（2）

由 EF∥CB ，知 AF：AB = AE：AC = 2/3 ，S△AFE ：S△ABC =

（2/3）^ = 4/9 。

即 S△AFE = 4/9 · S△ABC 由 AD = 1/2 · AE ，S△ADF = 1/2 · S△AFE = 1/2 · 4/9 · S△ABC

= 1/9 · x · √（36-x^2）

从而四边形 DFBC 的面积为

例题1图（3）

由 （1）知 PE⊥平面 ABC ，所以 PE 为四棱锥P-DFBC 的高

在 Rt △PEC 中

例题1图（4）

四棱锥P-DFBC的体积

例题1图（5）

故得

例题1图（6）

因为 x > 0 , 所以 x = 3 或 x = 3√3 ,

所以 BC = 3 或 BC = 3√3 。

注：本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系的判定及简单几何体的体积的计算；

第一问通过应用面面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直来完成证明；

立体几何常考据明题

1 、已知四边形 ABCD 是空间四边形， E, F , G , H 分别是边 AB , BC, CD , DA 的中点

（ 1 ） 求证： EFGH 是平行四边形

（ 2 ） 若 BD= 2 3 ， AC=2 ， EG=2 。求异面直线 AC 、 BD 所成的角和 EG 、BD 所成的角。

A

E H

B D

F G

C

2 、如图，已知空间四边形 ABCD 中，

求证：（ 1 ） AB 平面 CDE;

BC

AC , AD

BD

， E 是

AB

的中点。

（ 2 ）平面 CDE

平面 ABC 。

A

E

B

C

D

3 、如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 是 AA1 的中点，

求证： A1C // 平面 BDE 。 A D 1

B1 C E

A

D

B S C

D

4 、已知

ABC 中

ACB

90o ,

SA

面 ABC ,

AD

SC , 求证：

AD

面

SBC ． A B

C

5 、已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ， O 是底 ABCD 对角线的交点 . D1

求证： (１ ) C 1O∥面 AB1D1 ； (2) AC1 面 AB1D1 ． B1

A1

D

O

A B

6 、正方体 ABCD A ' B 'C ' D '中，求证：（ 1 ） AC 平面 B ' D ' DB ；（ 2 ） BD ' 平面 ACB

' .

7 、正方体 ABCD — A1 B 1 C1 D1 中． (1) 求证：平面 A1 BD ∥平面 B 1 D 1 C；

高中数学《立体几何》大题及答案解析 ( 理)

1.（ 2009 全国卷Ⅰ）如图，四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD 底面 ABCD ，

AD2 ， DC o

SD 2 ，点 M 在侧棱 SC 上， ∠ ABM=60。

（ I ）证明： M 是侧棱 SC的中点；求二面角 S AM B 的大小。

2.（ 2009 全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱

DE ⊥平面 BCC 1（Ⅰ）证明： AB=AC

的角的大小

ABC-A 1B1C1 中， AB ⊥ AC,D 、E 分别为 AA 1、 B1C 的中点，

（Ⅱ）设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B 1C 与平面 BCD 所成

A 1 C1

B1

D E

A C

B

3. （ 2009 浙 江 卷 ） 如 图， DC 平 面 ABC ， EB / / DC ， AC BC EB 2DC 2 ，

ACB 120o， P,Q 分别为 AE , AB 的中点．（ I ）证明： PQ / / 平面 ACD ；（ II ）求 AD 与平

面 ABE 所成角的正弦值． 4.（ 2009 北京卷）如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形，

PD 底面 ABCD ， 点 E 在 棱 PB 上 . （ Ⅰ ） 求 证 ： 平 面

AEC 平面 PDB ；（Ⅱ）当 PD 2AB 且 E 为 PB 的中点时，

求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小 .

5.（ 2009 江西卷）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 平面 ABCD ，

PA AD 4 ， AB 2 ．以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交

PD 于点 M ．

（ 1）求证：平面 ABM ⊥平面 PCD ；

（ 2）求直线 PC 与平面 ABM 所成的角；