江苏十年高考精彩试题总汇编03第三部分+平面向量

一．基础题组
. 【江苏，理】已知向量和的夹角为，，则 .
. 【江苏，理】已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积 . . 【江苏，理】在平面直角坐标系中，已知点(－，－)，()，(－，－)．
()求以线段、为邻边的平行四边形两条对角线的长；
()设实数满足＝，求的值
.
【江苏，理】已知是夹角为的两个单位向量，若
，则实数的值为
. 【江苏，理】已知＝( α， α)，＝( β， β)，＜β＜α＜π.
()若－＝，求证：⊥；
()设＝()，若－＝，求α，β的值．
. 【江苏高考，】已知向量，, 若(), 则的值为.
二．能力题组
.
【江苏，理】如图，在矩形中，，＝，点为的中点，点在边上，若
，则的值是．
.
【江苏，理】设，分别是△的边，上的点，，.若
(λ，λ为实数)，则λ＋λ的值为．
.
【江苏，理】如图在平行四边形中，已知，
，则的值是 .
. 【江苏高考，】设向量，则()的值
为
.【年高考江苏卷】如图，在中，是的中点，，是上的两
个三等分点，，，则的值是 .
三．拔高题组
. 【江苏，理】在△中，为中线上的一个动点，若＝，则的最小值是 .
. 【江苏，理】已知两点（－，）、（，），点为坐标平面内的动点，满足＝，则动点（，）的轨迹方程为( )
（）（）（）（）。

专题30 平面向量的基本定理与坐标运算专题知识梳理1．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理．如果e 1和e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．(2)平面向量的正交分解及坐标表示．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示．①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝x i ＋y j ，这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．②设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立．(O 是坐标原点)2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模．已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21．(2)向量坐标的求法．①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2．3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．考点探究考向1 平面向量基本定理【例】(1)（2019·南京盐城模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝____．（2）.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为 ．题组训练1.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．2.．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．3.在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB ＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝__________．4.在△ABC 中，AN →＝12AC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋38AC →，则实数m 的值为____．考向2 向量的坐标运算【例】在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________.题组训练1.已知在▱ABCD 中，AD →＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，则AC →＝______．2.已知(1,3)A -和(8,1)B -，如果点(21,2)C a a -+在直线AB 上，则a =_________.3.已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.考向3 用坐标表示解决共线问题【例】(1)已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝____．(2)已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且AP ＝32BP ，则点P 的坐标为____．题组训练1.已知(3,2)a m =-与(,)b m m =-平行，则m 值的个数是________．2.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为________．3.已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．。

专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理十年大数据*全景展示平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件主要考查平面向量的线性运算及向量共线的充要条件平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件考点47平面向量的概念与线性运算1．（2014新课标I ，文6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. BC B ． 12AD C ． AD D ． 12BC 【答案】C【解析】=+FC EB 11()()22CB AB BC AC +++=1()2AB AC +=AD ，故选C ． 2．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e eB ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e eD ．12(2,3),(2,3)=-=-e e【答案】B【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，所以只有B 成立．考点48平面向量基本定理及其应用1．（2020江苏13）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ．【答案】185【解析】由向量系数33()22m m +-=为常数，结合等和线性质可知321PAPD =，故263PD PA ==，3AD PA PD AC =-==，故C CDA ∠=∠，故2CAD C π∠=-． 在ABC ∆中，3cos 5AC C BC ==；在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin CD ADCAD C=∠， 即sin(2)sin 23182cos 23sin sin 55C C CD AD AD C AD C C π-=⋅=⋅=⋅=⨯⨯=．2．（2018•新课标Ⅰ，理6文7）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB = ) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，∴12EB AB AE AB AD =-=- 11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-，故选A ．3．（2015新课标Ⅰ，理7）设D 为?ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 4．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数和，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使λμ=+a b c ； ④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题．综上，本题选B ．5．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m n += ．λμμλλμa μλb =+λμλμ+≥b c a【答案】3【解析】由可得72sin 10α=，，由OC =m OA +n OB 得22OC OA mOA nOB OA OC OB mOB OA nOB⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩，即2cos cos(45)2cos 45cos(45)m n m n ααα⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，两式相加得，2(cos cos 45)()(1cos(45))m n αα+=+++，所以22222cos 2cos 4510231cos(45)227221102102m n αα⨯+⨯++===+++⨯-⨯，所以． 6．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则= ．【答案】4【解析】 如图建立坐标系，则()1,1a =-，()6,2b =，()1,3c =-．由c a b λμ=+，可得12,2λμ=-=-，∴4λμ=7．(2015北京)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =，若MN x AB y AC =+，则x =tan 7α=2cos 10α=3m n +=λμ；y = ．【答案】12 16【解析】由1111()3232MN MC CN AC CB AC AB AC =+=+=+-1126AB AC =- =x AB y AC +．所以12x，16y ． 考点49平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件1．（2019•新课标Ⅱ，文3）已知向量(2,3)a =，(3,2)b =，则||(a b -= ) AB ．2C ．D ．50【答案】A【解析】(2,3)a =，(3,2)b =，∴(2a b -=，3)(3-，2)(1=-，1)，2||(1)a b ∴-=-故选A ． 2．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】，所以，这样同方向的单位向量是． 3．（2011广东）已知向量a =（1，2），b =（1，0），c =（3，4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=124．（2018•新课标Ⅲ，理13）已知向量(1,2)a =，(2,2)b =-，(1,)c λ=．若//(2)c a b +，则λ= ． 【答案】12【解析】向量(1,2)a =，(2,2)b =-，∴2(4,2)a b +=，(1,)c λ=，//(2)c a b +，∴142λ=，解得12λ=．5．(2016新课标，文13) 已知向量a =(m ，4)，b =(3，−2)，且a ∥b ，则m =___________．【答案】6-3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3,4)AB =-||5AB =134(,)555AB =-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．6．（2015•新课标Ⅱ，理13）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ= ． 【答案】12【解析】向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，(2)2a b t a b ta tb λ∴+=+=+， ∴12t tλ=⎧⎨=⎩，解得实数12λ=．7．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n - 的值为___． 【答案】－3【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-8．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__．【解析】∵||1=a ，∴可令(cos ,sin )θθ=a ，∵0λ+=a b ，∴cos 20sin 10λθλθ+=⎧⎨+=⎩，即2cos 1sin θλθλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得25λ=得||λ=9．（2014陕西）设20πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则=θtan _______．【答案】12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cosθθ=，∴22sin cos cos θθθ=，∵(0,)2πθ∈，∴1tan 2θ=．。

第三节 平面向量的数量积及应用举例课时作业练1.(2017兴化第一中学高三月考)已知向量a=(1,x),向量b=(-2,1),若a⊥b,则实数x= . 答案 22.已知a=(-1,3),b=(1,t),若(a-2b)⊥a,则|a+b|= . 答案 5解析 由题意可得a-2b=(-3,3-2t),则(a-2b)⊥a ⇔(a-2b)·a=3+3(3-2t)=0,解得t=2,则a+b= (-1,3)+(1,2)=(0,5),故|a+b|=5.3.(2017江苏天一中学高三质量检测)如图,在2×4的方格纸中,若a 和b 是起点和终点均在格点的向量,则向量2a+b 与a-b 的夹角余弦值是 .答案 -√1010解析 以a 的起点为坐标原点建立平面直角坐标系,则a=(2,-1),b=(3,2),则向量2a+b=(7,0)与a-b=(-1,-3)的夹角余弦值是(2a+b )·(a -b )|2a+b ||a -b |=7√10=7√10=-√1010.4.(2018江苏南京多校高三段考)如图,在△ABC 中,AB=AC=3,cos∠BAC=13,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 .答案 -2解析 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-23×9+13×9+13×3=-2.5.(2018江苏三校高三联考)在矩形ABCD 中,AB=√3,BC=2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 . 答案 2解析 以点A 为坐标原点,AD 、AB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,则D(2,0),B(0,√3),E(1,√3), 设F(2,y),y∈[0,√3],则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)·(2,y -√3)=√3y-1=1,y=√3,则F (2√3),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)·(2√3)=2. 6.(2018南京高三学情调研)在△ABC 中,AB=3,AC=2,∠BAC=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =-173,则实数λ的值为 . 答案 13解析 由题意可得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×(-12)=-3, AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ]·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-2λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-3(1-2λ)+4λ-9(1-λ)=19λ-12=-173,解得λ=13.7.(2018扬州高三考前调研)在△ABC 中,AH 是底边BC 上的高,点G 是三角形的重心,若AB=2,AC=4,∠BAH=30°,则(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AG ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 答案 6解析 由AH 是底边BC 上的高,AB=2,AC=4,∠BAH=30°得AH=√3,BH=1,HC=√13,以点H 为坐标原点,BC 、AH 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,点G 是三角形的重心,则A(0,√3),B(-1,0),H(0,0),C(√13,0),G (√13-13,√33),则(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(√13+1,-√3)·(√13-13,-2√33)=13-13+2=6.8.(2018徐州高三考前模拟检测)如图,在梯形ABCD 中,AB∥DC,且AB=4,CD=2,∠BAD=π3,E 为BC 的中点,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9,则对角线AC 的长为 .答案 2√3解析 以点A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴,过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系,设AD=m(m>0),则D (m 2,√32m),B(4,0),C (m 2+2,√32m),E (m 4+3,√34m),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m 4+3,√34m)·(4-m 2,-√32m)=-12m 2-12m+12=9,解得m=2(舍负),则C(3,√3),AC=2√3.9.(2017兴化第一中学高三月考)已知a=(1+cos ωx,1),b=(√3,-sin ωx)(ω>0),函数f(x)=a·b,函数f(x)的最小正周期为π. (1)求函数f(x)的表达式;(2)设θ∈(0,π2),且f (θ2)=√3+65,求cos (θ+π3)的值.解析 (1)f(x)=a·b=√3(1+cos ωx)-sin ωx=√3-2sin (ωx -π3),∵函数f(x)的最小正周期为π,∴2πω=π,解得ω=2,∴f(x)=√3-2sin (2x -π3).(2)由f (θ2)=√3+65,得sin (θ-π3)=-35, ∵θ∈(0,π2),∴θ-π3∈(-π3,π6),∴cos (θ-π3)=45, cos (θ+π3)=cos [(θ-π3)+2π3]=cos (θ-π3)cos 2π3-sin (θ-π3)sin 2π3=45×(-12)-(-35)×√32=3√3-410. 10.设两个向量e 1、e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1、e 2的夹角为60°,若向量2te 1+7e 2与向量e 1+te 2的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.解析 ∵e 1·e 2=|e 1||e 2|cos 60°=2×1×12=1, ∴(2te 1+7e 2)·(e 1+te 2)=2t e 12+(2t 2+7)e 1·e 2+7t e 22=2t 2+15t+7.由题意知2t 2+15t+7<0,解得-7<t<-12. 当2te 1+7e 2与e 1+te 2的夹角为π时, 设2te 1+7e 2=λ(e 1+te 2)(λ<0),∴{2t =λ,7=λt ,得2t 2=7,∴t=-√142(正值舍去),λ=-√14, 即当t=-√142时,两向量的夹角为π,故t∈(-7,-√142)∪(-√142,-12).11.(2018江苏淮阴中学高三第一学期阶段检测)△ABC 的面积为S,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若cos A=13,求tan B;(2)若b 2+c 2-a 2=4S,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =125,求a 的值. 解析 (1)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴bccos A=2accos B,∴bcos A=2acos B,∴sin Bcos A=2sin Acos B,∴tan B=2tan A. ∵cos A=13,A∈(0,π),∴sin A=2√23,tan A=2√2,∴tan B=2tan A=4√2. (2)∵b 2+c 2-a 2=4S,∴2bccos A=4×12bcsin A,∴tan A=1, ∵A∈(0,π),∴A=π4,由(1)知tan B=2tan A=2,∵B∈(0,π), ∴sin B=2√55,cos B=√55,∴sin C=sin(A+B)=3√1010.∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =125,∴bc=12√25,∵bc a2=sinBsinC sin 2A=6√25, ∴a 2=2,∴a=√2(舍负).基础滚动练(滚动循环 夯实基础)1.命题“∃x<0,使得x 2≥0”的否定是 . 答案 ∀x<0,都有x 2<02.设函数f(x)={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g(x)=x 2f(x-1),则函数g(x)的单调减区间是 .答案 [0,1)解析 由题意知g(x)={x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1,函数图象如图所示,其单调减区间是[0,1).3.若sin α=35,α∈(-π2,π2),则cos (α+5π4)= .答案 -√210 解析 因为α∈(-π2,π2),sin α=35,所以cos α=45,所以cos (α+5π4)=-√22(cos α-sin α)=-√210. 4.(2018扬州模拟)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x ∉N},M⊕N=(M -N)∪(N -M).设A={y|y=x 2-3x,x∈R},B={y|y=-2x ,x∈R},则A⊕B= . 答案 {y |y ≥0或y <-94}解析因为A={y|y≥-94},B={y|y<0},所以A-B={y|y≥0},B-A={y|y<-94},A⊕B=(A-B)∪(B-A)={y|y≥0或y<-94}.5.已知a=ln22,b=ln33,c=ln55,则a,b,c从小到大的顺序为.答案c<a<b解析a-b=ln22-ln33=3ln2-2ln36=ln8-ln96<0,则a<b,a-c=ln22-ln55=5ln2-2ln510=ln32-ln2510>0,则a>c,故c<a<b.6.(2018盐城模拟)函数f(x)=2ln x-x2+4x-5的零点的个数为.答案2解析由2ln x-x2+4x-5=0得2ln x=x2-4x+5,在同一坐标系中作出y=2ln x与y=x2-4x+5的图象,y=x2-4x+5=(x-2)2+1,得其顶点坐标为(2,1),又当x=2时,y=2ln x=2ln 2∈(1,2),可知点(2,1)位于函数y=2ln x图象的下方,故函数y=2ln x的图象与函数y=x2-4x+5的图象有2个交点,所以函数f(x)=2ln x-x2+4x-5的零点的个数为2.7.(2018徐州模拟)若函数f(x)=13x3-(1+b2)x2+2bx在区间[-3,1]上不是单调函数,则函数f(x)在R上的极小值为.答案2b-43解析 f '(x)=x2-(2+b)x+2b=(x-2)(x-b),由f(x)在区间[-3,1]上不是单调函数得-3<b<1,则x∈(-∞,b)时, f '(x)>0, f(x)递增,x∈(b,2)时, f '(x)<0, f(x)递减,x∈(2,+∞), f '(x)>0,f(x)递增,则函数f(x)在R上的极小值为f(2)=2b-43.8.(2018江苏南京多校高三段考)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1). (1)若a⊥b,求sinθ-cosθsinθ+cosθ的值;(2)若|a-b|=2,θ∈(0,π2),求sin (θ+π4)的值.解析 (1)由a⊥b 可知,a·b=2cos θ-sin θ=0,所以sin θ=2cos θ,所以sinθ-cosθsinθ+cosθ=2cosθ-cosθ2cosθ+cosθ=13. (2)由a-b=(cos θ-2,sin θ+1)可得,|a-b|=√(cosθ-2)2+(sinθ+1)2==2, 即1-2cos θ+sin θ=0,①又cos 2θ+sin 2θ=1,且θ∈(0,π2)②,由①②可解得{sinθ=35,cosθ=45,所以sin (θ+π4)=√22(sin θ+cos θ)=√22×(35+45)=7√210.。