62反馈控制与极点配置本节讨论如何利用状态反馈与输出反
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6.2 反馈控制与极点配置
• 本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行 线性定常连续系统的极点配置,即使反馈闭环 控制系统具有所指定的闭环极点。
– 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全 平行的结论和方法。
2018/11/19
第6章 线性系统综合
• 对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很 大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。 – 因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平面 上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点,是 可以有效地改善系统的性能品质指标的。 • 这样的控制系统设计方法称为极点配置。 • 在经典控制理论的系统综合中,无论采用频域法还是根 轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指标,本质 上均属于极点配置方法。 – 本节所讨论的极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵K 的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择 的一组期望极点上。
1 2 2 x x u 1 3 1
求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-1±j2。
2018/11/19
第6章 线性系统综合
解 1： 判断系统的能控性。
开环系统的能控性矩阵为
2 - 4 [ B AB] 1 1
则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。
求反馈矩阵K的方法: 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态空 间模型为能控规范II形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期望 的闭环系统特征多项式的系数。
2018/11/19
2018/11/19
第6章 线性系统综合
由于线性定常系统的特征多项式为实 系数多项式,因此考虑到问题的可解性, 对期望的极点的选择应注意下列问题: 1) 对于n阶系统,可以而且必须给出n 个期望的极点;
p2 p1 p3
2) 期望的极点必须是实数或成对出 现的共轭复数;
3) 期望的极点必须体现对闭环系统 的性能品质指标等的要求。
下面的定理就回答了该问题。
Fra Baidu bibliotek
2018/11/19
第6章 线性系统综合
定理6-1 对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能使 闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为被 控系统(A,B,C)状态完全能控。
2018/11/19
第6章 线性系统综合
6.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法
2018/11/19
第6章 线性系统综合
0 1 0 0 x 0 u x 0 0 1 0 2 3 1 y [10 0 0 ] x
通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要求。
2018/11/19
第6章 线性系统综合
例6-3 已知系统的传递函数为
G(s) 10 s( s 1)(s 2)
试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点 配置在-2和-1±j上。 解 1：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。 因此,可选择能控规范II形来建立被控系统的状态空间模 型。 故有
i 1,2,..., n
2018/11/19
第6章 线性系统综合
• 下面分别讨论:
– 状态反馈极点配置定理 – SISO系统状态反馈极点配置方法 – 输出反馈极点配置
2018/11/19
第6章 线性系统综合
6.2.1 状态反馈极点配置定理
在进行极点配置时,存在如下问题:
被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进 行极点配置的。
第6章 线性系统综合
2. 若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范II形,则由 , 4.6节讨论的求能控规范II形的方法,利用线性变换x=Tc2 x ,B ) ,即有 (A 将系统(A,B)变换成能控规范II形
T 1 AT A c2 c2 T 1B B c2
2. 求能控规范II形:
T1 [0 1][B
1 c2
AB]1 1 / 6 1 / 3
T1 1 1 2 T T A 1 8 6 1 0 1 ~ 1 A Tc 2 ATc 2 5 2
2018/11/19
0 ~ 1 B Tc 2 B 1
第6章 线性系统综合
3. 求反馈律:
因此开环特征多项式
f(s)=s2-2s-5, 而由期望的闭环极点-1j2所确定的期望闭环特征多项式
f*(s)=s2+2s+5,
则得状态反馈阵K为
~ 1 * K KTc 2 [a2 - a2
对能控规范II形~进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如 下 * a* a a* a K a n n 1 n 1 1 a1 n 因此,原系统的相应状态反馈阵K为
K KT c2
2018/11/19
第6章 线性系统综合
下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。 例6-2 设线性定常系统的状态方程为
* 1 a1 - a1 ]Tc 2
1 - 1 2 [5 - (-5) 2 - (-2)] 6 - 1 8 - 7 / 3 26 / 3
则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为
2018/11/19 第6章 线性系统综合
2 1 11 58 u x x 3 4 17 1
2018/11/19
第6章 线性系统综合
• 基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为: – 给定线性定常连续系统
Ax Bu x
确定反馈控制律
u Kx v
使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环 极点也就是成立
i ( A BK) si* ,
• 本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行 线性定常连续系统的极点配置,即使反馈闭环 控制系统具有所指定的闭环极点。
– 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全 平行的结论和方法。
2018/11/19
第6章 线性系统综合
• 对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很 大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。 – 因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平面 上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点,是 可以有效地改善系统的性能品质指标的。 • 这样的控制系统设计方法称为极点配置。 • 在经典控制理论的系统综合中,无论采用频域法还是根 轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指标,本质 上均属于极点配置方法。 – 本节所讨论的极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵K 的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择 的一组期望极点上。
1 2 2 x x u 1 3 1
求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-1±j2。
2018/11/19
第6章 线性系统综合
解 1： 判断系统的能控性。
开环系统的能控性矩阵为
2 - 4 [ B AB] 1 1
则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。
求反馈矩阵K的方法: 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态空 间模型为能控规范II形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期望 的闭环系统特征多项式的系数。
2018/11/19
2018/11/19
第6章 线性系统综合
由于线性定常系统的特征多项式为实 系数多项式,因此考虑到问题的可解性, 对期望的极点的选择应注意下列问题: 1) 对于n阶系统,可以而且必须给出n 个期望的极点;
p2 p1 p3
2) 期望的极点必须是实数或成对出 现的共轭复数;
3) 期望的极点必须体现对闭环系统 的性能品质指标等的要求。
下面的定理就回答了该问题。
Fra Baidu bibliotek
2018/11/19
第6章 线性系统综合
定理6-1 对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能使 闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为被 控系统(A,B,C)状态完全能控。
2018/11/19
第6章 线性系统综合
6.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法
2018/11/19
第6章 线性系统综合
0 1 0 0 x 0 u x 0 0 1 0 2 3 1 y [10 0 0 ] x
通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要求。
2018/11/19
第6章 线性系统综合
例6-3 已知系统的传递函数为
G(s) 10 s( s 1)(s 2)
试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点 配置在-2和-1±j上。 解 1：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。 因此,可选择能控规范II形来建立被控系统的状态空间模 型。 故有
i 1,2,..., n
2018/11/19
第6章 线性系统综合
• 下面分别讨论:
– 状态反馈极点配置定理 – SISO系统状态反馈极点配置方法 – 输出反馈极点配置
2018/11/19
第6章 线性系统综合
6.2.1 状态反馈极点配置定理
在进行极点配置时,存在如下问题:
被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进 行极点配置的。
第6章 线性系统综合
2. 若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范II形,则由 , 4.6节讨论的求能控规范II形的方法,利用线性变换x=Tc2 x ,B ) ,即有 (A 将系统(A,B)变换成能控规范II形
T 1 AT A c2 c2 T 1B B c2
2. 求能控规范II形:
T1 [0 1][B
1 c2
AB]1 1 / 6 1 / 3
T1 1 1 2 T T A 1 8 6 1 0 1 ~ 1 A Tc 2 ATc 2 5 2
2018/11/19
0 ~ 1 B Tc 2 B 1
第6章 线性系统综合
3. 求反馈律:
因此开环特征多项式
f(s)=s2-2s-5, 而由期望的闭环极点-1j2所确定的期望闭环特征多项式
f*(s)=s2+2s+5,
则得状态反馈阵K为
~ 1 * K KTc 2 [a2 - a2
对能控规范II形~进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如 下 * a* a a* a K a n n 1 n 1 1 a1 n 因此,原系统的相应状态反馈阵K为
K KT c2
2018/11/19
第6章 线性系统综合
下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。 例6-2 设线性定常系统的状态方程为
* 1 a1 - a1 ]Tc 2
1 - 1 2 [5 - (-5) 2 - (-2)] 6 - 1 8 - 7 / 3 26 / 3
则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为
2018/11/19 第6章 线性系统综合
2 1 11 58 u x x 3 4 17 1
2018/11/19
第6章 线性系统综合
• 基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为: – 给定线性定常连续系统
Ax Bu x
确定反馈控制律
u Kx v
使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环 极点也就是成立
i ( A BK) si* ,