62反馈控制与极点配置本节讨论如何利用状态反馈与输出反

状态反馈极点配置基本理论与方法IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第2章 状态反馈极点配置设计基本理论引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。

反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。

其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。

状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。

图是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+=由图可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++=闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。

极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。

（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。

（3）矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ=FX G =（4）特征向量法—先找到特征向量x j （等式中矩阵X 的列向量），然后利用等式求解F 。

方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。

方法（3）需要解方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。

最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。

其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。

对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。

本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程的得到最佳的状态反馈矩阵。

Chapter5 状态反馈控制器设计控制方式有“开环控制”和“闭环控制”。

“开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种期望的性能。

然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制”。

在经典控制理论中，我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。

通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性。

利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求。

参见138P 例5.3.3，通过状态反馈的极点配置，使闭环系统的超调量%5≤p σ，峰值时间（超调时间）s t p 5.0≤，阻尼振荡频率10≤d ω。

5.1 线性反馈控制系统的结构与性质设系统),,(C B A S =为 Bu Ax x+= Cx y = （5-1）经典控制中采用输出(和输出导数)反馈（图5-1）：其控制规律为： v Fy u +-= F 为标量，v 为参考输入 （5-2）Bv x BFC A v Fy B Ax Bu Ax x+-=+-+=+=）（）（ 可见，在经典控制中，通过适当选择F ，可以利用输出反馈改善系统的动态性能。

现代控制中采用状态反馈（图5-2）：其控制规律为： v Kx u +-=，n m K ⨯~ （5-3） （K 的行=u 的行，K 的列=x 的行）称为状态反馈增益矩阵。

状态反馈后的闭环系统),,(C B A S K K =的状态空间表达式为Bv x A Bv x BK A xK +=+-=)( Cx y = （5-4） 式中： BK A A K -≡图5-1 经典控制-输出反馈闭环系统图5-2 现代控制-状态反馈闭环系统若FC K =，“状态反馈”退化成“输出反馈”，表明“输出反馈”只是“状态反馈”的一种特例，因此，在经典控制理论中的“输出反馈”（比例控制P ）和“输出导数反馈”（微分控制D ）能实现的任务，状态反馈必能实现，反之则未必。

C H
T
T

(5-15)
(5-15）是一个q个未知量，n个方程的方程组，而 是 任意的n维向量，它由所期望的极点所决定。
方程（5-15）对任意的 有解，显然要求 C 是n×n可逆方阵。
一般来说当q<n 时，对于任意 ，（5-15）无解。
对于给定的 ，方程（5-15）有解的条件是它们 相容，亦即当C的秩为q时，q个方程的唯一解应满足 剩下的n-q个方程。这时，这n-q个等式给出了加在
用静态输出反馈配置极点 首先研究单输入多输出的系统，以说明用静态 输出反馈配置极点时所遇到的困难，而这些困难是 用全部状态变量作反馈时所未遇到的。一个单输入 多输出系统动态方程为
Ax bu x y Cx
（5-11）
(5-12)
u=Hy+v
联合（5-11）和（5-12）可得闭环系统的动态方程为
i
i , i 0 使得扰动后的S非奇异，由于 C 的秩为q，
这总是可以做到的。式（5-17）给出了H的一个明显 表达式，并且 i H i 是给定的 1 , 2 ,, q 的函数， i S非奇异，则可精确地使闭环 如果所给的 能使
全维状态观测器及其设计
状态观测器 状态估计器 状态重构
^
2n阶复合系统：
. x . A ^ L HC x
y C
Bk x B ^ v A Bk HC L x B
x 0 ^ x
ˆ x x ( A Hc )( x x ) L 由(1)-(2):
3. 分离定理： . cx 原系统 x Ax Bu y ^ 引入状态反馈： u v k x
x Ax Bk x Bv, y cx . ^ ^ ^ 全维观测器：

实验报告课程名称：现代控制理论实验名称：线性系统状态反馈与极点配置、实验目的1. 学习并掌握利用MATLAB编程平台进行控制系统设计与仿真的方法。

2. 通过仿真实验，研究并总结线性定常系统状态反馈对系统控制性能影响的规律。

3. 通过仿真实验，研究并总结状态反馈对状态不完全能控系统控制性能影响的规律。

二、实验内容（一）实验任务：1. 自行选择一个状态完全能控型SISO 系统模型及参数，并设定系统控制性能指标，根据性能指标要求计算期望的极点并进行极点配置，设计MatLab实验程序（或SimuLink模拟图）及实验步骤，仿真研究状态反馈矩阵对系统控制性能的影响；2. 自行选择一个状态不完全能控型SISO 系统模型及参数，并设定系统控制性能指标，根据性能指标要求进行极点配置，设计MatLab实验程序（或SimuLink模拟图）及实验步骤，仿真研究状态反馈矩阵对系统控制性能的影响；根据实验结果，总结各自的规律。

三、实验设计1. 实验条件1. 利用本学期所学的现代控制理论的知识为基础。

2. 笔记本电脑，matlab四、实验过程1. 设计状态完全能控型SISO 系统模型及参数：a）首先判断系统的能控性= ，是Rack（［B AB］） = 2，因此此系统为可控的系统。

可以进行任意极点配置。

则期望极点配置二重根1b ） 再求状态反馈阵 ：c ） 根据给定的极点，得到期望特征多项式：d ）比较和 各对应项系数，可解得:e ）即状态反馈控制器：u=-K*x状态反馈闭环系统空间表达式 x=A-B*K*xA1 = A -B*K = [0 1 ; 1 -2]2. 设计状态不完全能控型 SISO 系统模型及参数：a ）首先判断系统的能控性, Rank （[B AB]） = 1，因此系统是不完全能控的，b ）再求状态反馈阵c ）将期望极点配置二重根 1，则：d ）比较 和 各对应项系数，可解得：任意值e ）即状态反馈控制器：u=-K*x 状态反馈闭环系统空间表达式 x=A-B*K*xA1 = A -B*K = [01； 1 1]五、实验结果（曲线、数据等）1 •状态完全能控型SISO 系统模型：a ）配置极点前的波形： A=[0 1; 0 1]不能进行任意极点配 设）b)配置极点后的波形： A1 = A -B*K = [01; 1-2]3. 状态不完全能控型SISO 系统模型a ）配置极点前的波形：A=[1 01]■* l-lgu-'E 1 fit E占Jl 血血JWEfllulk 氐*lap ffilndort 也 b□X Fi1J j dk %鵲 、七禺v 插-<2 D £ ■ dM IP 2*S4«|> R ：吐parish13ID ・■-霊■・4卜2-1J ftTO2D3) 4D 也Ihrme liucondy.)*a)配置极点后的波形:六、实验结果分析与讨论1•状态完全能控型SISO系统模型通过配置极点后动态性能变好，但是稳态误差不能消除。