第二章 函数、导数及其应用 质量检测

2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第12讲 定积分与微积分基本定理(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1．下列值等于1的是导学号 25400536( ) A ．⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC ．⎠⎛011d x D ．⎠⎛0112d x [答案] C[解析] ⎠⎛011d x ＝x |10＝1.2．(2015·某某某某一中期末)曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为导学号 25400537( )A ．⎠⎜⎛0π2 (sin x －cos x )d x B ．2⎠⎜⎛0π4 (sin x －cos x )d xC ．⎠⎜⎛0π2 (cos x －sin x )d x D ．2⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x[答案] D[解析] 当x ∈[0，π2]时，y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象的交点坐标为(π4，22)，作图可知曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积可分为两部分；一部分是曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π4所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝π4，x ＝π2所围成的平面区域的面积．且这两部分的面积相等，结合定积分定义可知选D ．3．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是导学号 25400538( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b[答案] D[解析] a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |20＝1－cos2＜2，∴c ＜a ＜b .4．(2015·某某某某一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为导学号 25400539( )A ．⎠⎛02|x 2－1|d x B ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C ．⎠⎛02(x 2－1)d x D ．⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x[答案] A[解析] 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x ，选A ．5．(2015·某某某某教学质量检查)已知复数z ＝a ＋(a －2)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则⎠⎛0a (4－x 2＋x )d x 的值为导学号 25400540( )A ．2＋πB ．2＋π2C ．4＋2πD ．4＋4π[答案] A[解析] 因为复数z ＝a ＋(a －2)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，所以a －2＝0，a ＝2.⎠⎛02(4－x 2＋x )d x ＝⎠⎛024－x 2d x ＋⎠⎛02x d x ＝π＋12x 2|20＝π＋2，故选A ． 6．(2015·某某某某模拟)如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x (x ∈(0，π))及直线x ＝a (a ∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是导学号 25400541( )A ．7π12B ．2π3C ．3π4D ．5π6[答案] B[解析] 由题意知，构成试验的全部区域是矩形OACB ，面积为ax ·6a＝6.记“向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A ，则构成事件A 的区域即为阴影部分面积，S ＝⎠⎛0a sin x d x ＝－cos x |a 0＝1－cos a ，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝1－cos a 6＝14，所以cos a ＝－12.又a ∈(0，π)，所以a ＝2π3.二、填空题7.⎠⎛01(e x＋x )d x ＝________.导学号 25400542[答案] e －12[解析] ⎠⎛01(e x ＋x )d x ＝(e x＋12x 2)|10＝e ＋12－1＝e －12.8．(2015·某某某某质检)⎠⎛01－x 2＋2x d x ＝________.导学号 25400543[答案]π4[解析] ⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)． 又∵0≤x ≤1，∴y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴⎠⎛01－x 2＋2x d x ＝π4.9．设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________.导学号 25400544[答案] 4＋2ln2[解析] ∵a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x )|π0＝2，∴f (x )＝x ·2x＋2x －2. ∴f ′(x )＝2x＋x ·2xln2＋2.∴曲线在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝4＋2ln2.10．如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.导学号 25400545[答案]2e2 [解析] 因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，又函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－⎠⎛01e xd x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 三、解答题11．(1)A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站．电车行驶t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t m/s ，到C 点的速度达24 m/s ，从C 点到B 点站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：①A ，C 间的距离；②B ，D 间的距离．(2)设力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且和x 轴正向相同，求力F (x )对质点M 所作的功.导学号 25400546[答案] (1)①240 m ②240 m (2)342 J[解析] (1)①设A 到C 经过t 1 s ，由1.2t 1＝24， 得t 1＝20 s ．所以AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2|200＝240(m)． ②设从D 到B 经过t 2 s ，由24－1.2t 2＝0，得t 2＝20 s. 所以DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240 m. (2)W ＝∫101F (x )d x ＝∫101(x 2＋1)d x ＝(13x 3＋x )|101＝342. ∴力对质点M 所作的功为342 J.12．定义一个对应法则：P (m ，n )→P ′(m ，n )(m ≥0，n ≥0)．现有直角坐标平面内的点A (1,9)与点B (9,1)，点M 是线段AB 上的动点，按定义的对应法则：M →M ′，当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，求由点M 的对应点M ′的轨迹与圆(x －2)2＋(y －5)2＝17所围成的曲线M ′下方部分的面积.导学号 25400547[答案] 43＋17π2[解析] 由题意知点M 所在直线的方程为x ＋y ＝10(1≤x ≤9)，设点M (t,10－t )(1≤t ≤9)，M ′(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝ty ＝10－t，即点M ′的轨迹方程为y ＝10－x 2(1≤x ≤3)．因为过(1,9)，(3,1)两点的直线方程为y ＝－4x ＋13，由题意知，所求面积由曲线y ＝10－x 2(1≤x ≤3)与直线y ＝－4x ＋13围成的面积加半圆的面积组成，即所求面积S ＝⎠⎛13[(10－x 2)－(－4x ＋13)]d x ＋π2×17＝⎠⎛13(－x 2＋4x －3)d x ＋17π2＝43＋17π2.B 组 能力提升1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝8，则实数a 的值为导学号 25400548( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2[答案] B[解析] 因为f (1)＝ln1＝0，f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a0＝a 3，所以由f (f (1))＝8得，a3＝8，解得a ＝2.2．设a ＝∫π2－π22cos(x ＋π4)d x ，则二项式(a x －1x)6的展开式中x 的系数为导学号 25400549( )A ．240B ．193C ．－6D ．7[答案] A [解析] 由于∫π2－π22cos(x ＋π4)d x ＝∫π2－π2(cos x －sin x )d x ＝∫π2－π2cos x d x ＝－∫π2－π2sin xdx ＝2，则a ＝2，(a x －1x )6＝(2x －1x )6的展开式中x 的系数为C 2624(－1)2＝240，故选A ．3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AC ＝2，O 为AC 的中点，抛物线的一部分在矩形内，点O 为抛物线的顶点，点B ，D 在抛物线上，在矩形内随机地投一点，则此点落在阴影部分的概率为________.导学号 25400550[答案] 13[解析] 取BD 的中点E ，以O 为坐标原点，OE 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则抛物线方程为y 2＝x ，曲边三角形AOB 的面积为1－⎠⎛01x d x ＝1－23x 32|10＝13，又矩形ABDC 的面积为2，根据几何概型的概率计算公式得，此点落在阴影部分的概率为13×22＝13. 4．(2015·某某某某二中模考)已知函数f (x )＝ln|x |(x ≠0)，函数g (x )＝1f ′x＋af ′(x )(x ≠0).导学号 25400551(1)当x ≠0时，求函数y ＝g (x )的表达式；(2)若a ＞0，函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上的最小值是2，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求直线y ＝23x ＋76与函数y ＝g (x )的图象所围成图形的面积．[答案] (1)g (x )＝x ＋a x(2)a ＝1 (3)724＋ln3－2ln2 [解析] (1)∵f (x )＝ln|x |，∴当x ＞0时，f (x )＝ln x ，f ′(x )＝1x，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )，f ′(x )＝1－x ·(－1)＝1x .∴当x ≠0时，函数y ＝g (x )＝x ＋ax. (2)由(1)知当x ＞0时，g (x )＝x ＋a x，∴当a ＞0，x ＞0时，g (x )≥2a ，当且仅当x ＝a 时取等号． ∴函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上的最小值是2a . ∴依题意得2a ＝2.∴a ＝1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝23x ＋76，y ＝x ＋1x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32y 1＝136，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y 2＝52.∴直线y ＝23x ＋76与函数y ＝g (x )的图象所围成图形的面积S ＝⎠⎛232[(23x ＋76)－(x ＋1x )]d x＝724＋ln3－2ln2. 5．(2014·某某联考)学校操场边有一条小沟，沟沿是两条长150米的平行线段，沟宽AB 为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米.导学号 25400552(1)求水面宽；(2)如图①所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？(3)现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切，(如图②所示)，问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？[答案] (1)2米 (2)1002立方米 (3)22米 [解析] (1)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2，－1≤x ≤1.则由抛物线过点B (1,2)，可得a ＝2.于是抛物线方程为y ＝2x 2，－1≤x ≤1.当y ＝1时，x ＝±22，由此知水面宽为2米． (2)V ＝2×150⎠⎜⎛022 (1－2x 2)d x ＝300[22－23(22)3]＝1002(立方米)．(3)为使挖的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切． 设切点P (t,2t 2)(0＜t ≤1)是抛物线弧OB 上的一点，过点P 作抛物线的切线得到如图所示的直角梯形OCDE ，则切线CD 的方程为y －2t 2＝4t (x －t )，于是C (12t,0)，D (12t ＋12t，2)．记梯形OCDE 的面积为S ，则S ＝(t 2＋t 2＋12t)≥2，当且仅当t ＝12t ，t ＝22时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为22米时，所挖的土最少．。

《导数及其应用》一、选择题1。

0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。

B. C 。

D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ）4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b在点(0，b ）处的切线方程是x －y ＋1＝0，则（ ）A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1 5．函数f (x ）＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ）在x ＝－3时取得极值,则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56。

设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 （ )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。

直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18。

若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示， 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 （ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为（ ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11。

考点测试7 函数的奇偶性与周期性一、基础小题1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析 f (x )＝1x－x 是奇函数，所以图象关于原点对称．2．下列函数中，在其定义域内是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x答案 C解析 f (x )＝x 2和f (x )＝2|x |是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝log 21|x |是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，故选C. 3．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为( )A ．－14B ．14C ．12D ．－12答案 B解析 解法一：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.4．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案 A解析 由题意知f (x ＋2)＝1fx ＋1＝f (x )，所以f (x )的周期为2，又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数，故选A.5．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D ．2log 213答案 A解析 由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2. 6．已知f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋a ＋lg⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a ＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝lg 1＋x 1－x ，由f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，得0<1＋x 1－x <1，解得－1<x <0，故选A.7．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案 A解析 由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )为偶函数，则由f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，得－13<2x －1<13，解得13<x <23.故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 8．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )f (y )，且f (0)≠0，则f (x )( ) A ．为奇函数 B ．为偶函数 C ．为非奇非偶函数 D ．奇偶性不能确定答案 B解析 令x ＝y ＝0，则2f (0)＝2f 2(0)，又f (0)≠0，所以f (0)＝1.令x ＝0，则f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )，即f (－y )＝f (y )，所以函数f (x )是偶函数．9．函数f (x )＝π2－sin x3＋|x |的最大值是M ，最小值是m ，则f (M ＋m )的值等于( )A ．0B ．2πC ．πD ．π2答案 D解析 设h (x )＝sin x3＋|x |，则h (－x )＝－h (x )，所以h (x )是一个奇函数，所以函数h (x )的最大值和最小值的和是0，所以M ＋m ＝π，所以f (M ＋m )＝π2.10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋ax ，x <0为偶函数，则y ＝log a (x 2－4x －5)的单调递增区间为( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(5，＋∞)答案 D解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋ax ，x <0为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，即1－a ＝1－2，所以a ＝2，则y ＝log 2(x 2－4x －5)，令t ＝x 2－4x －5，其对称轴为x ＝2，由x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.由复合函数的单调性知，y ＝log a (x 2－4x －5)的单调递增区间为(5，＋∞)．11．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞) 答案 C解析 依题意，如图所示，实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，gx ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g x ≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．12．已知a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3.若函数f (x ＋a )为偶函数，则a ＝________，f (f (a ))＝________.答案 2 8解析 由函数f (x ＋a )为偶函数，得f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，解得a ＝2，所以f (f (a ))＝f (f (2))＝f (－1)＝8.二、高考小题13．[2015·广东高考]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析 选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．14．[2014·全国卷Ⅰ]设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 C解析 由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )·g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|·g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.15．[2016·山东高考]已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2答案 D解析 当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D.16．[2015·全国卷Ⅰ]若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln (a ＋x 2－x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)，则ln (x ＋a ＋x 2)＋ln (a ＋x 2－x )＝0，∴ln [(a ＋x 2)2－x 2]＝0，得ln a ＝0， ∴a ＝1.17．[2016·四川高考]已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )．又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1， 得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 18．[2016·江苏高考]设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是____________． 答案 －25解析 ∵f (x )是周期为2的函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即－12＋a ＝110，解得a ＝35，则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.三、模拟小题19．[2017·大连测试]下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1答案 C解析 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．20．[2016·陕西一检]若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0⇒/f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.21．[2017·山东青岛模拟]奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 答案 A解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0， ∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.22．[2017·江西三校联考]定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 答案 A解析 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.23．[2017·贵州适应考试]已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f xf x，若g (2)＝3，则g (－2)＝________.答案 －1解析 ∵g (2)＝2＋f 2f 2＝3，∴f (2)＝1.又f (－x )＝－f (x )，∴f (－2)＝－1，∴g (－2)＝2＋f －2f －2＝2－1－1＝－1.24．[2017·湖北名校联考]已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－1)＝2，则f (2017)＝________.答案 2解析 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，∴f (x )是周期T ＝8的偶函数，∴f (2017)＝f (1＋252×8)＝f (1)＝f (－1)＝2.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．[2017·河南联考]设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.2．[2017·安徽合肥质检]已知函数f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．3．[2016·福州一中月考]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解 (1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故有f (－x )＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x )． 从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]， f (x )＝－f (－x )＝－－x ，故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，f (x )＝－－x －4.4．[2017·湖南师大附中月考]已知函数f (x )的定义域是满足x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.求证：(1)f (x )是偶函数；(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明 (1)令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. 令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝2f (－1)，∴f (－1)＝0， 令x 1＝－1，x 2＝x ，得f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x1.∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。

考点测试9　指数与指数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中等难度考纲研读1．了解指数函数模型的实际背景2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4．体会指数函数是一类重要的函数模型一、基础小题1．下列运算不正确的是( )A ．＝π－3 B ．e 2x ＝(e x )24(3－π)4C ．＝a －b D ．＝·3(a －b )3ab a b 答案　D解析　当a ，b 小于0时，选项D 不正确．其他均正确．故选D ．2．已知a >0，则下列运算正确的是( )A ．a ·a ＝a B ．a ·a －＝034433434C ．(a )2＝a D ．a ÷a －＝a23491323答案　D解析　由指数幂运算性质可得选项D 正确．故选D ．3．计算：44＝( )(36a 9)(63a 9)A ．a 16 B ．a 8 C ．a 4 D ．a 2答案　C 解析　44＝(a )4(a )4＝a 4．故选C ．(36a 9)(63a 9)9189184．若函数f (x )＝(2a －5)·a x 是指数函数，则f (x )在定义域内( )A ．为增函数 B ．为减函数C ．先增后减 D ．先减后增答案　A解析　由指数函数的定义知2a －5＝1，解得a ＝3，所以f (x )＝3x ，所以f (x )在定义域内为增函数．故选A ．5．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系是( )352525352525A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a 答案　A解析　由题意，根据指数函数的性质可得0<<<1，根据幂函数的性质可得<，2535252525253525∴a >c >b ．故选A ．6．已知函数f (x )＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1，5) B ．(1，4) C ．(0，4) D ．(4，0)答案　A解析　当x ＝1时，f (x )＝5．故选A ．7．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( )A ．1<|a |<2 B ．|a |<1C ．|a |>D ．|a |<22答案　C解析　∵x >0时，f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，∴a 2－1>1，即a 2>2．∴|a |>．故2选C ．8．函数f (x )＝a x －(a >0，a ≠1)的图象可能是( )1a答案　D解析　当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移个单位长度得f (x )＝a x －的图象，A ，B1a 1a都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移个单位长度得f (x )＝a x －的图象，而1a 1a 1a大于1．故选D ．9．已知函数f (x )满足对一切x ∈R ，f (x ＋2)＝－都成立，且当x ∈(1，3]时，f (x )＝2－1f (x )x ，则f (2019)＝( )A ．B ．C ．D ．1418116132答案　B解析　由已知条件f (x ＋2)＝－可得f (x )＝－，故f (x ＋2)＝f (x －2)，易1f (x )1f (x －2)得函数f (x )是周期为4的周期函数，∴f (2019)＝f (3＋504×4)＝f (3)，∵当x ∈(1，3]时，f (x )＝2－x ，∴f (3)＝2－3＝，即f (2019)＝．故选B ．181810．下列说法中，正确的是( )①任取x ∈R 都有3x >2x ；②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③y ＝()－x 是增函数；3④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称．A ．①②④ B ．④⑤ C ．②③④ D ．①⑤答案　B解析　①中令x ＝－1，则3－1<2－1，故①错误；②中当x <0时，a x <a －x ，故②错误；③中y ＝()－x ＝x ，∵0<<1，∴y ＝x 为减函数，故③错误；④中x ＝0时，y 取3(33)33(33)最小值1，故④正确；⑤由函数图象变换，可知y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称，故⑤正确．故选B ．11．求值：0．064－－－0＋[(－2)3]－＋16－0．75＋0．01＝________．13594312答案　14380解析　原式＝0．4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0．1＝－1＋＋＋＝．104116181101438012．函数y ＝x 2－2x 的值域为________．(12)答案　(0，2]解析　∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴0<x 2－2x ≤－1，即值域为(0，2]．(12)(12)二、高考小题13．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( )A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 答案　D解析　令t ＝2x ＝3y ＝5z ，∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1．则x ＝log 2t ＝，同理，y ＝，z ＝．lg t lg 2lg t lg 3lg tlg 5∴2x －3y ＝－＝2lg t lg 23lg t lg 3lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝＞0，lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3∴2x ＞3y ．又∵2x －5z ＝－＝2lg t lg 25lg t lg 5lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝＜0，lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5∴2x ＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z ．故选D ．14．(2015·天津高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0．53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a 答案　C解析　∵f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，∴m ＝0．∵a ＝f (log 3)＝f (log 23)，b ＝f (log 25)，c12＝f (0)，log 25>log 23>0，而函数f (x )＝2|x |－1在(0，＋∞)上为增函数，∴f (log 25)>f (log 23)>f (0)，即b >a >c ，故选C ．15．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x <4的解集为________．答案　{x |－1<x <2}解析　不等式2x 2－x <4可转化为2x 2－x <22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．16．(2015·福建高考)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．答案　1解析　因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1．函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示．因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1．17．(2018·上海高考)已知常数a >0，函数f (x )＝的图象经过点Pp ，，Qq ，－2x 2x ＋ax 6515．若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________．答案　6解析　由已知条件知f (p )＝，f (q )＝－，6515所以Error!①＋②，得＝1，2p (2q ＋aq )＋2q (2p ＋ap )(2p ＋ap )(2q ＋aq )整理得2p ＋q ＝a 2pq ，又2p ＋q ＝36pq ，∴36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，∴a 2＝36，∴a ＝6或a ＝－6，又a >0，得a ＝6．三、模拟小题18．(2018·河南安阳月考)化简(a >0，b >0)的结果是( )a 3b 23ab 2(a 14b 12)43baA ．B ．abC ．a 2bD ．ba a b答案　D解析　原式＝＝＝＝ab －1＝．故选D ．a 3b 2a13b 23ab 2(b a )13(a 103b 83)12a 23b 73a 53·b 43a 23b 73ab 19．(2018·福建厦门第一次质量检查)已知a ＝0．3，b ＝log 0．3，c ＝a b ，则a ，b ，c 1212的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．b <c <a 答案　B 解析　∵a ＝0．3<1，b ＝log 0．3>log 0．5＝1，∴a <b ，又c ＝log 0．30．3＝0．30．3，1212121212且y ＝x 0．3在(0，＋∞)上单调递增，∴a >c ，∴c <a <b ．故选B ．20．(2018·河南八市第一次测评)设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0．2与N ＝0．1的大小关系是( )1aA ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N 答案　D解析　因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0．2>1，N ＝0．1<1，所以M >N ，故选D ．1a21．(2018·湖南郴州第二次教学质量检测)已知函数f (x )＝e x －，其中e 是自然对数1e x 的底数，则关于x 的不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为( )A ．－∞，－∪(2，＋∞)B．(2，＋∞)43C ．－∞，∪(2，＋∞)D．(－∞，2)43答案　B解析　函数f (x )＝e x －的定义域为R ，∵f (－x )＝e －x －＝－e x ＝－f (x )，∴f (x )1e x 1e －x 1e x 是奇函数，那么不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0等价于f (2x －1)>－f (－x －1)＝f (1＋x )，易证f (x )是R 上的递增函数，∴2x －1>x ＋1，解得x >2，∴不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为(2，＋∞)，故选B ．22．(2018·湖南益阳4月调研)已知函数f (x )＝(a ∈R )的图象关于点0，对2x 1＋a ·2x 12称，则a ＝________．答案　1解析　由已知，得f (x )＋f (－x )＝1，即＋＝1，整理得(a －1)[22x ＋(a 2x 1＋a ·2x 2－x1＋a ·2－x －1)·2x ＋1]＝0，当a －1＝0，即a ＝1时，等式成立．23．(2018·浙江丽水月考)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案　(－1，2)解析　原不等式变形为m 2－m <x ，∵函数y ＝x 在(－∞，－1]上是减函数，∴x ≥(12)(12)(12)－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2．(12)(12)一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2018·河北石家庄二中调研)已知函数f (x )＝ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－(12)1，2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．解　(1)由已知得－a ＝2，解得a ＝1．(12)(2)由(1)知f (x )＝x ，(12)又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝x ，即x －x －2＝0，即2－x －2＝0，令x(12)(14)(12)[(12)x ](12)(12)＝t ，则t >0，t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即x ＝2，解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1．(12)2．(2018·河南新乡月考)已知函数f (x )＝a 3－ax (a >0且a ≠1)．(1)当a ＝2时，f (x )<4，求x 的取值范围；(2)若f (x )在[0，1]上的最小值大于1，求a 的取值范围．解　(1)当a ＝2时，f (x )＝23－2x <4＝22，3－2x <2，得x >．12(2)y ＝3－ax 在定义域内单调递减，当a >1时，函数f (x )在[0，1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝a 3－a >1＝a 0，得1<a <3．当0<a <1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增，f (x )min ＝f (0)＝a 3>1，不成立．所以1<a <3．3．(2018·江西九江月考)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式x ＋x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．(1a )(1b )解　(1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1，6)，B (3，24)，∴Error!　Error!②÷①得a 2＝4．又a >0，且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x ．(2)由(1)知x ＋x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立转化为m ≤x ＋x 在(－∞，1](1a )(1b )(12)(13)上恒成立．令g (x )＝x ＋x ，(12)(13)则g (x )在(－∞，1]上单调递减，∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝＋＝．121356故所求实数m 的取值范围是．(－∞，56]4．(2018·湖南衡阳八中月考)已知函数f (x )＝e x ＋a ·e －x ，x ∈R ．(1)当a ＝1时，证明f (x )为偶函数；(2)若f (x )在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a ＝1，求实数m 的取值范围，使m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1在R 上恒成立．解　(1)证明：当a ＝1时，f (x )＝e x ＋e －x ，定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，而f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(2)设x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋a e －x 1－(e x 2＋a e －x 2)＝．(e x 1－e x 2)(e x 1＋x 2－a )e x 1＋x 2因为x 1<x 2，函数y ＝e x 为增函数，所以e x 1<e x 2，e x 1－e x 2<0，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x 1)－f (x 2)<0，所以e x 1＋x 2－a >0恒成立，即a <e x 1＋x 2对任意的0≤x 1<x 2恒成立，∴a ≤1．故实数a 的取值范围为(－∞，1]．(3)由(1)，(2)知函数f (x )＝e x ＋e －x 在(－∞，0]上递减，在[0，＋∞)上递增，所以其最小值f (0)＝2，且f (2x )＝e 2x ＋e －2x ＝(e x ＋e －x )2－2，设t ＝e x ＋e －x ，则t ∈[2，＋∞)，∈0，，1t 12则不等式m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1恒成立，等价于m ·t 2≥t ＋1，即m ≥恒成立，t ＋1t 2而＝＋＝＋2－，t ＋1t 21t 21t 1t 1214当且仅当＝，即t ＝2时取得最大值，1t 12t ＋1t 234故m ≥．因此实数m 的取值范围为，＋∞．3434。