专题1——利用定积分定义求极限 (1)
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专题1——利用定积分定义求极限
对于满足如下条件的极限,可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法:
① 是n →∞时的极限
② 极限运算中含有连加符号1n i =∑
在定积分的定义中,我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间(定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ,
我们当然可以平均分割),那么每个小区间的长度为
b a n
-(即定义中的i x ∆),这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+,[,2]b a b a a a n n --++,[2,3]b a b a a a n n
--++,……,[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-,[(1),]b a a n b n
-+-,在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+(也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-),那么定义中的1()n i i
i f x ξ=∆∑就变为1
()n i b a b a f a i n n =--+∑,那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰。(取左端点时1lim
((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n
→∞=--+-=∑⎰)
注意:定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间(n →∞也表示把区间分割成无数个小区间,但是在任意分割的前提下,不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间,这里的原因我是理解的,但是不好表述,你清楚结论就行了),当分割方式为均等分割时,n →∞就表示把区间分割成无数个小区间,所以这里是1lim
()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n
→∞=--+=∑⎰,而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n
λ→=--+=∑⎰。
如()f x 在区间[0,1]上的积分可以表示为1011()lim ()n n i i f x
dx f n n →∞==∑⎰——i ξ取每个小区间的右端点,或者
101
11()lim ()n n i i f x dx f n n →∞=-=∑⎰——i ξ取每个小区间的左端点。
举例:求3
41lim n
n i i n →∞=∑ 分析:函数3()f x x =在区间[0,1]上的定积分的定义可以表示为133011lim ()n
n i i x dx n n →∞==⋅∑⎰(这里i ξ取的是每个小区间的右端点),即3
13340111lim ()lim n
n n n i i i i x dx n n n →∞→∞===⋅=∑∑⎰。所以34
13104011lim |44n
n i i x x dx n →∞====∑⎰
对于这个考点的考法应该不会很深(这个方法经常在数学竞赛中用到),给出的极限应该可以化为某个函数在区间[0,1]上的定积分,基于此,遇到这类题时,一定要把给出的极限化为如下形式:
1111lim ()lim ()n
n n n i i i i f f n n n n →∞→∞==⋅=∑∑或者111111lim ()lim ()n n n n i i i i f f n n n n →∞→∞==--⋅=∑∑,只要化为以上的几种形式,那么给出的极限就是函数()f x 在区间[0,1]上的积分,即
1
01111111111()lim ()lim ()lim ()lim ()n
n n n n n n n i i i i i i i i f x dx f f f f n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞====--=⋅==⋅=∑∑∑∑⎰