宜宾市2015届一诊考试数学理试题 含答案

数学阶段性测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分。

1. 集合 M 2,0,1,2, N x 2x1 1 ,则 N M=()A. {-2,1,2 }B. {0,2}C. {-2 , 2}D. [-2 , 2]2. 已知 a=(2,1), b x,3 ,且 a//b ，则 x 的值为()A.2B.1C.3D.63. 在各项均为正数的等比数列 a n 中，3a 1,-a 3,2a 2成等差数列，则■a11—岂()2a 8 a10A. 1或3B.3C.1 或 27D.27 4.卜列 J 说法错误的是( ) A. 若p : xR,：x 2x 1 0，贝U p: x R, x 2 x 1 0;B.sin1 ” 2是“30： ”的充分不必要条件；C. 命题“若 a 0，则 ab 0”的否命题是：“若a 0，则ab 0D.若 p: x R,cosx 1，q ： x R,x 2 x 10，则“ p q ”为假命题.5. 为了得到函数y cos(2x )的图象，只需将函数y sin 2x 的图象()3A.向左平移—个单位B •向右平移—个单位12 12 C.向左平移5个单位D•向右平移5个单位666. 设x R ，若函数f(x)为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f f (x) e x e 1 ( e 是自然对数的底数)，则f (ln 2)的值等于()A. 1 B . e 1 C.3 D . e 32x 3y 57.若实数x, y 满足约束条件2x y 5 0 ,则函数z | x y 1|的最小值是()x 0A.0B.4C.8 D.7328.已知函数f xsin x ,0x 1log2014x , x1若a,b,c 互不相等，且f a f b f c ,则a b c 的取值范围是(). A.(1,2014) B.(1,2015)C.[2,2015]D.(2,2015)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11.幕函数y （m 2 3m 3）x m 过点 112.计算 log 3 6 log 3 2 42 3叫4点，且在A,B 两点处的切线互相平行，则$的取值范围为亠X 1三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共 75分）16.（本小题满分12分）数m 的取值范围.17.（本小题满分12分） 设公差不为0的等差数列a n 的首项为1,且32,35,3!4构成等比数列.9.已知定义为R 的函数f x 满足f 4，且函数f x 在区间2,上单调递增.如果x 12 x 2，且x 1X 2 4，则f 捲f X 2的值（ A.恒小于0 B.恒大于 C.可能为0 D.可正可负10.设函数f x的导函数为fx ，对任意x R 都有fA. 3f(ln2) 2f (l n3)B. 3f (l n2) 2f(l n3)C. 3f (ln2)2f (l n3) D.3f （l n 2）与2f （l n3）的大小不确定2,4，贝U m =的结果为13已知菱形ABCD 的边长为2， 若 A E A F BC 3BE ， DC DF .14.已知x,y R , x 22y_ 215.已知ABAD 120，点 E,F 分别在边 BC, DC 上,1，则的值为j 则決口的最大值为 X 2』2咅 x 2是函数f x 3 x 图象上的两个不同已知函数f x 2cos x -sin x 3玉sx 「（I ）求f x 的值域和最小正周期；（U ）若对任意°,「使得mfx2 0恒成立，求实(I)求数列a n的通项公式；(U)若数列b n满足P直…％1 A，n a i a2 a n 218. (本小题满分12分)已知函数f(x) .3 sin( x )( 0,2 2)的图像关于直线x-对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.(I)求和的值；(II)若电)4 ,( 6 3)，求COS( 2)的值.19. (本小题满分12分)已知二次函数f(x) Ax2 Bx(A 0), f(1) 3,其图象关于x 1对称，数列a n的前n项和为S n,点n,S n n N*均在y f (x)图象上.(I)求数列a n的通项公式，并求S n的最小值；1 11 3 1 (n)数列b n , b n - , b n的前n项和为T n ,求证：-一T n --.S n 3 4n 4 n 3 20. (本小题满分13分)N*，求b n的前n项和T n1 a 设函数f (x) x2ax ln x ( a R).(I)当a 1时，求函数f (x)的极值；(U)当a R时，讨论函数f(x)的单调性；(川)若对任意a (2,3)及任意x i , X2 1,2，恒有ma ln2 f(xjf(X2)成立, 求实数m的取值范围.21. (本小题满分14分)已知 f (x) In x mx(m R).(I)若曲线y f (x)过点P(1, 1)，求曲线在P点处的切线方程;(U)求f (x)在区间1,e上的最大值；(川)若函数f (x)有两个不同的零点X1,X2，求证X1X2 e2.绵阳南山中学.南山中学实验学校绵阳市“一诊”模拟考试试题理科数学参考答案一、 C DDBA CADAB 二、 填空题 11.2 12. -1 13 . 2 14. 3 2 15. (-1,0 )8三、 解答题 16.解：(1)f(x) = 2sin x +"3 cos x + -3 — 2 3cos2 x + -3n r — n2X +~3 < 1. /.— 2 — 3< 2sin 2x+p — 3< 2— 3, T = 今=冗，即卩f(x)的值域为[—2 — , 3, 2— ,3]，最小正周期为n .. n r n n 2n,, n\/3⑵当 x € 0,舌时，2x + -3 € -3, -3，故 sin 2x +§ € 电,1 ,此时 f(x) + 3= 2sin 2x +nn € [ 3,2].由 m[f(x) + 3] + 2= 0知，帀0, /• f(x)m 的取值范围是一^3^,— 117. 解：(I )设等差数列a n 的公差为d,(d 0),则还％a 52，即(1 4d )2 (1 d ))1 13d )解得 d=0 (舍去)或 d=2, a n 1+2(n-1)=2n-12n=sin 2X +~32ncos 2X +~3 + 1 = sin2 n 厂 2 n 2x +3 — 3cos 2x +~3=2sin 2x + 3 —"』3. I — 1w sin+ 3= — m 即 3< — m 2,即m+ 3< 0,2+ 2> 0, m解得-2.331.即实数a 2, a 5, a 14构成等比数列,.3分(II 由已知 b ,云b n a1-(n2n(当n=1时，牛1 ；2时,b n a n (1(1一)=丄12n'b n a n丄,(n N * )2n由（I ）, a n 2n-1 b n2n 1 2n 2n1 ~22n 1两式相减得 2 24 2n 2n 11 2n 12n 2n 2n 2n.1218.解 由题可知, 二 f(x) = . 3 2 n T = 一| 3|sin 2(x- )= .. 3 sin(2x--n ), ©二 12 6 周期 w = 2nn T n n n_为对称轴f (_-_)= f ( ) = 0,且-_ wg _33 412227t 12 -丄所以，3=2, 6n (^=-— 6(II )f (》=彳.3 sin( a - ” = —，即 sin( a -n ) = 14 6 4 3 n n n n -J 3 cos(a + —) = sin a = Sin[( a-—) + 6] = sin( a - —) 2-2 + j n 2 n . n n n 15 < a < .I 0< a - —< ,COS (a-—)=6 3 6 2 6 4 ■■- 3+15 审 所以,cos(a+——)= n 1 COS (a-—) ?— 6 2 3 / .3n_ - --COS(a + ---- )= 2 4 1?2』?丄= 2 3n .3+、15 2， 8 19.解：(1) f (1)3,2AA 1,B 2,, f (x )x 22x..1分点 n, S h n 均在y=f(x) 图象上, S nn 2 2n ① ..2分S n 1(n1)22；n 1) (n 2[②①-②得S nS n 12n 1,即 a n =2n+1 (.4 分,又 a 1 s 1 a n =2n+1 (n N )⑵b n1n ( n 2)丄).7分1 T n 尹1 1)(14) 4(丄 n宀］1 =2[(1 )]丄)即证- n (n丄), -,所以右边成立 2 10分,1又T n 随n 的增大而增大，T n T 1 - 3 14n ，左边成立..11 分所以，原不等式成立 . ................ 20.解：(I)函数的定义域为(0,)，当a .12分1时, f(x) x In x, f '(x) 1 1 —•令 f'(x) x x0,得x 1.,当 0 x 1 时，f '(x) 0 ;当x 1时, f'(x) f(x)在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增, f (x)极小值 f(1) 无极大值； f'(x) (1 a)x a (1 a)x 2ax 1 [(1 a)x 1](x 1) x (1 a)(x1七(x 1)a 1 _____ x① a 1 时，(1 a )x 10,f (x )在(0,1)单减，(1,)单增;1②1 a 2时， ------------ a 1(川)由(U)知，当a (2,3)时，f(x)在［1,2］上单调递减，当x 1时，f (x)有a 3最大值，当 x 2 时，f (x)有最小值，|f(x ,) f (x 2)| f (1) f (2)ln2，2 2a 3 ma ln 2In 2 ，2 2而a 0经整理得m I—由2 a 3得11— 0, m 0.……13分 22a 4 2 2a21.解：(1)因为点P (1, -1 )在曲线上，所以f(1)=-1,得m=11-f /(x )— 1， f /(1)=0，故切线方程为y=-1.……3分 x1④当 m 1 即 m 1 时，x(1,e )，f/(x)f (x )在］1，e ］上的最大值f (x )max =I 1 mx/(x )- m=- 一①当 mO 时，x(1, e )x x1③当丄1即a 2时，f'(x) a 1(x 1)2 x0, f (x)在(0,)上是减函数；④当1 a 1 1 a 11, 即 a 2时，令 f'(x) x 10，得 0 x 丄 或x 1,令 f'(x)a 1 ................ 9分0,得x (1, e )，f /(x )>0, ②当1 e m ，即0 m1时 ef(X )max ：=f(e)=1-me ;③当111 1e 时，即—一 1时,me m单减，1f (X )max =f (―)= ln m m 1x (1, e )， f /(x ) >0, f (x )单增，1 1x (1, e )，f (x )在(1,—)单增，在(-,e )0，f (x)单减，f (X )max = f(1)=-mf (x )单增，f (x )max =f(e)=1-me ;8分f (x 2) 0, In X r mx 0 ,1 , f (x )在(0,1)单增，在(1,单减，,)单增;a 1 a 1要证 x 1x 2 e 2,即证In x 1InX22 ,即证m j x 1 X 2)2，......... 10分 In x 1 In m x 1 x 2 X 2In 2，即证 X 1 In x 2 2即证X 1X 2X 1 X 2In x 1In x 2心1 X 2)x即证In 」X2X 1X21)…12分X 1 x 21X2x令亠=t,则tx1，即证In tt 1 (t )In tt1t 1，t 1，1 则 /(t )1 4 9(t1)290， 函数 (t)在 (1,)单增0, In x r In x 2m j x 1x 2) , In x r In x 2 m (X i X 2), t (t 1)2t (t 1)(t ) (1)=0, 原不等式成立.14分r1 — me,—fiwn — 1, 1(-<m<I)伽 A 1).....(3)不妨设x 1X20，: f(xjIn x 2 m>。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文数一、选择题：每小题5分,共60分 1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n NB ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】D 【解析】试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A ∩B={8,14},故选D.[来 考点：集合运算已知点A(0,1),B(3,2)，向量(4,3)AC =-- ，则向量BC =（A ）(-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 【答案】A 【解析】考点：向量运算3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ）—2－i （B ） －2+i （C ） 2－i （D ）2+i 【答案】C 【解析】试题分析：∴(Z －1）i =1+ i ，∴z=212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选C.考点：复数运算4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A ） 310 （B ）15 （C ）110 （D ）120【答案】C 【解析】 试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选 C.[来源:学*科*网Z*X*X*K]考点：古典概型5、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】B 【解析】考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛（A ）14斛 （B ）【答案】B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.考点：本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式7、已知{a n } 是公差为1的等差数列，Sn 为{a n } 的前n 项和，若S8=4S4，则a10=（ ）（A ） 172 （B ）192 （C ）10 （D ）12【答案】B 【解析】试题分析：∵公差，d=1,S8=4S4，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯， 解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=， 故选B.考点：等差数列通项公式及前n 项和公式8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Zππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Zππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z-+∈（D ）13(2,2),44k k k Z-+∈【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Zπππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t=，则输出的n=（）（A）5（B）6（C）10（D）12【答案】C【解析】考点：程序框图10、已知函数1222,1()log(1),1x xf xx x-⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a=-，则(6)f a-=（A）74-（B）54-（C）34-（D）14-【答案】A 【解析】试题分析：∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1()223a f a -=-=-，则121a -=-，此等式显然不成立，当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =，∴(6)f a -=(1)f -=117224---=-，故选A.考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8【答案】B 【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16+ 20π，解得r=2，故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4 【答案】C【解析】试题分析：设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2x a y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a=--+，即2()log ()f x x a=--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C.考点：函数对称；对数的定义与运算二、填空题：本大题共4小题,每小题5分[来源:学|科|网Z|X|X|K] 13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .【答案】6 【解析】 试题分析：∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n=，∴n=6.考点：等比数列定义与前n 项和公式 14. 已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .【答案】1【解析】试题分析：∵2()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+， 又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴273112a a +-=+-，解得a =1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；15. 若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z=3x+y 的最大值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l，当直线l :z=3x+y 过点A 时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1,1），∴z=3x+y 的最大值为4.考点：简单线性规划解法16. 已知F是双曲线22:18yC x-=的右焦点，P是C 左支上一点，()0,66A，当APF∆周长最小时，该三角形的面积为．【答案】126[来源:学科网]【解析】考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题三、解答题17. （本小题满分12分）已知,,a b c分别是ABC∆内角,,A B C的对边，2sin2sin sinB A C=. （I）若a b=，求cos;B（II ）若90B =，且2,a = 求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）1【解析】试题分析：（I ）先由正弦定理将2sin 2sin sin B A C =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B 的余弦值；（II ）由（I ）知22b ac =，根据勾股定理和即可求出c ，从而求出ABC ∆的面积.试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac +-==. （II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a cb +=. 故222a c ac +=，得2c a ==. 所以D ABC 的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积.【答案】（I ）见解析（II ）3+25 【解析】试题解析：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ^BD ， 因为BE ^平面ABCD ，所以AC ^BE ，故AC ^平面BED. 又AC Ì平面AEC ，所以平面AEC ^平面BED（II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，由ÐABC=120°，可得AG=GC=32x ,GB=GD=2x .因为AE ^EC ，所以在Rt D AEC 中，可得EG=32x .由BE ^平面ABCD ，知D EBG 为直角三角形，可得BE=22x. 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BEx -=醋?=.故x =2从而可得AE=EC=ED=6.所以D EAC 的面积为3，D EAD 的面积与D ECD 的面积均为5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x yw21()nii x x =-∑21()nii w w =-∑1()()n iii x x y y =--∑1()()ni ii w w y y =--∑46.6 56.36.8289.8 1.6 1469 108.8表中w1 =x 1, ，w =181nii w=∑（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题：（i ）当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()=()niii nii u u v v u u β==---∑∑，=v u αβ-【答案】（Ⅰ）y c d x =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型（Ⅱ）100.668y x =+（Ⅲ）46.24【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w x =，先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用y 关于xy的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年的回归方程先求出年销售量利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20. （本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN.【答案】（I ）4747,33骣-+琪琪桫（II ）2【解析】试题分析：（I ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围；（II ）设1122M(,y ),N(,y )x x ，将直线l 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将1212,x x y y 用k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON ⋅=列出关于k 方程，解出k ，即可求出|MN|.试题解析：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+.因为l 与C 交于两点，所以2|231|11k k-+<+.解得474733k -+<<. 所以k 的取值范围是4747,33骣-+琪琪桫.（II ）设1122M(,y ),N(,y )x x .将1y kx =+代入方程()()22231x y -+-=,整理得22(1)-4(1)70k x k x +++=,所以1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++()()21212121224(1)OM ONy 1181k k x x y k x x k x x k +?+=++++=++,由题设可得24(1)8=121k k k +++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+.故圆心在直线l 上，所以|MN |2=.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力21. （本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x=-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a ≥+.【答案】（I ）当0a £时，()f x ¢没有零点；当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（II ）见解析【解析】试题分析：（I ）先求出导函数，分0a £与0a >考虑()f x '的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II ）由（I ）可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，根据()f x '的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lna a a +，即证明了所证不等式.试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，()2()=20x af x e x x ¢->.当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点；当0a >时，因为2x e 单调递增，ax -单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04ab <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点. （II ）由（I ），可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，当()00x x Î，时，()0f x ¢<;当()0+x x 违，时，()0f x ¢>. 故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ¥，单调递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x .由于0202=0x a e x -，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a ++?.[来源:Z_xx_]故当0a >时，2()2lnf x a a a ?.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图AB 是 O 直径，AC 是 O 切线，BC 交 O 与点E.（I ）若D 为AC 中点，求证：DE 是 O 切线； （II ）若3OA CE = ，求ACB ∠的大小.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60° 【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE=DC ，OE=OB ，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）设CE=1,由3OA CE =得，AB=23，设AE=x ，由勾股定理得212BE x =-，由直角三角形射影定理可得2AE CE BE = ，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB 的大小.试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ， 在Rt △AEC 中，由已知得DE=DC ，∴∠DEC=∠DCE ， 连结OE ，∠OBE=∠OEB ，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE 是圆O 的切线. ……5分（Ⅱ）设CE=1，AE=x ,由已知得AB=23，212BE x =-，由射影定理可得，2AE CE BE = ，∴2212x x =-，解得x =3，∴∠ACB=60°. ……10分考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C M N ∆ 的面积.【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12 【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4s i n40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=22，2ρ=2，|MN|=1ρ－2ρ=2，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o121sin 452⨯⨯⨯=12.考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞）（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x ax a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +. 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）. ……10分考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法。

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+=t（+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z 最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 3．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．【考点】8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣【分析】通过S n+1=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．=S n+1S n，【解答】解：∵a n+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2c osθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。

16．在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取值范围 是 .
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三、 解答题： 共 70 分。 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据 要求作答。 17． （本小题满分 12 分） S n 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an ＞0，
（D）[
3 ，1） 2e
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．若函数 f（x）= x ln( x a x 2 ) 为偶函数，则 a= 14．一个圆经过椭圆 该圆的标准方程为
x2 y2 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则 16 4
. .
x 1 0 y 15．若 x, y 满足约束条件 x y 0 ，则 的最大值为 x x y 4 0
w
i 1
8
i
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关 于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结 果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) ，……，(un , vn ) ,其回归线 v u 的斜率 和截距的最小二乘估计分别为：
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