高中数学函数的经典题型
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一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
例1求函数8
31522-+--=x x x y 的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足
⎪⎩
⎪⎨⎧≠-+≥--08301522x x x 二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求;另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。
(1)已知)(x f 的定义域,求[])(x g f 的定义域。
其解法是:已知)(x f 的定义域是],[b a 求[])(x g f 的定义域是解b x g a ≤≤)(,即为所求的定义域。 例3已知)(x f 的定义域为]2,2[-,求)1(2-x f 的定义域。
(2)已知[])(x g f 的定义域,求)(x f 的定义域。
其解法是:已知[])(x g f 的定义域是],[b a 求)(x f 的定义域的方法是:b x a ≤≤,求)(x g 的值域,即所求)(x f 的定义域。
例4已知)12(+x f 的定义域为]2,1[,求)(x f 的定义域。
解:因为21≤≤x ,422≤≤x ,5123≤+≤x 。
即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x 。
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R 求实数m 的取值范围。
分析:函数的定义域为R ,表明0862≥++-m mx mx ,使一切R x ∈都成立,由2
x 项的系数是m ,
所以应分0=m 或0≠m 进行讨论。
解:当0=m 时,函数的定义域为R ;
当0≠m 时,0862≥++-m mx mx 是二次不等式,其对一切实数x 都成立的充要条件是 ⎩
⎨⎧≤+--=∆>0)8(4)6(02m m m m 10≤<⇒m 综上可知。
评注:不少学生容易忽略0=m 的情况,希望通过此例解决问题。
例6已知函数3
47)(2+++=kx kx kx x f 的定义域是R ,求实数k 的取值范围。 解:要使函数有意义,则必须0342≠++kx kx 恒成立,
因为)(x f 的定义域为R ,即0342=++kx kx 无实数解
①当0≠k 时,034162<⨯-=∆k k 恒成立,解得430<
综上k 的取值范围是4 30<≤k 。 四、实际问题型 这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,并形成意识。 例7将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式,并求函数的定义域。 解:设矩形一边为x ,则另一边长为)2(2 1x a -于是可得矩形面积。 ax x x ax x a x y 2 121)2(2122+-=-=-⋅=。 由问题的实际意义,知函数的定义域应满足 ⎪⎩⎪⎨⎧>->0)2(2 10x a x ⎩⎨⎧>->⇒020x a x 20a x <<⇒。 故所求函数的解析式为ax x y 212+-=,定义域为)2 ,0(a 。 五、参数型 对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。 例9已知)(x f 的定义域为]1,0[,求函数)()()(a x f a x f x F -++=的定义域。 解:因为的定义域为]1,0[,即10≤≤x 。故函数)(x F 的定义域为下列不等式组的解集: ⎩ ⎨⎧≤-≤≤+≤1010a x a x ,即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a x a a x a 11 即两个区间[]a a --1,与[]a a +1,的交集,比较两个区间左、右端点,知 (1)当02 1≤≤- a 时,)(x F 的定义域为{}a x a x +≤≤-1|; (2)当2