三.数列的通项的求法
1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，
2
55a S =．求数列{}n a 的通项公式.
解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =， 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒
∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴2
11)4(2
455d a d a +=⋅⨯+…………②
由①②得：5
31=
a ，5
3
=
d
∴n n a n 5
3
53)1(53=⨯-+=
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）
后再写出通项。 练一练：已知数列 ,32
19,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________；
2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：
{
11,(1)
,(2)
n n n S n a S S n -==-≥。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n
n n ．求数列{}n a 的通
项公式。
解：由1121111=⇒-==a a S a
当2≥n 时，有,
)1(2)(211n
n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1
122(1)
,
n n n a a --∴=+⨯-
,
)1(222
21----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a
1
1
2
2
1
12
2
(1)2
(1)2(1)
n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-
].)1(2[3
23
]
)
2(1[2)
1(2
)]
2()
2()2[()1(2121
1
2
1
1
--------+=----=-++-+--+=n n n n
n n n n
n
经验证11=a 也满足上式，所以])
1(2
[321
2
---+=
n n n a
点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2
1
1n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若
能合写时一定要合并．
练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ；
②数列{}n a 满足11154,3
n n n a S S a ++=+=
，求n a ；
3.作商法：已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)
(1)
n f n f n a n f n =⎧⎪
=⎨≥⎪-⎩。
如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______ ；
4.累加法：
若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。 例3. 已知数列{}n a 满足2
11=
a ，n
n a a n n ++
=+2
11，求n a 。 解：由条件知：1
11)
1(112
1+-
=+=
+=
-+n n n n n
n a a n n
分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即
)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a )11
1(
)4
131()3121(
)211(n n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-
=
所以n
a a n 111-
=-
2
11=
a ，n
n a n 1231121-=-
+=
∴
如已知数列{}n a 满足11a =，n
n a a n n +
+=
--111(2)n ≥，则n a =________ ；
5.累乘法：已知
1()n n
a f n a +=求n a ，用累乘法：1
2112
1
n
n n n n a a a a a a a a ---=
⋅
⋅⋅
⋅ (2)n ≥。
例4. 已知数列{}n a 满足3
21=
a ，n n a n n a 1
1+=
+，求n a 。
解：由条件知
1
1+=
+n n
a a n
n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得
)1(-n 个等式累乘之，即 1
3
42
31
2-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n
n 14
33
22
1-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n
a a n 11
=
⇒
