线性代数(20150121)参考解答一、 1. 2. 3. 4. 30.10-⎛ ⎝⎭⎫⎪x 24.12.34a b y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭15141300000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 5. 10, 1..6- 6. 7. 8. 9.02112114x c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭462⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭22,33(- 10. 100012001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭-二、; ; ; ; .C A B D C 三、解 ||10,A =≠ A ∴可逆, 故原方程可化为(2)8,B E A A -=-----------------3’10220101001E A ---=-=-≠- 0,1(2) ,B A E A -∴=-⎪⎪18(2)B A E A -∴=-=.⎪⎪1102(2)010001E A --⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭,---------------8’808080008-⎛⎫ - ⎪-⎝⎭-----10’四、解 313233343132333423=23M M M M A A A A -+-+++ -------3’ 1038012121311221-=--2141210380121019150259r r r r ---====---1211915259=--- 213121210716097r r r r -+====--71697-=-4914495.=-+= ------10’五、解记1234 (,,,)A αααα= 1114113221353156⎛⎫⎪--⎪= ⎪⎪⎝⎭1114011300000000r ⎛⎫ ⎪- ⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭1021011300000000r ⎛⎫⎪- −−→ ⎪⎝⎭⎪⎪ --------4’1234(,,,)2R αααα=, 12,αα为一个最大无关组,且有312,2ααα=-413.2ααα=+---10’六、解 (1) 设对应于特征值2的特征向量为A T 123(,,)x x x α=,则可得 解得其基础解系为，11232123(,)0,(,)20x x x x x x αααα=+-=⎧⎨=--=⎩T )3(1,0,1)α=所以对应于特征值2的所有特征向量为：A 3(0k k α≠. ------------------4’(2) 令 , 则有123111(,,)120111P ααα⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭122211216303P --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭, 于是有，即1diag (1,1,2)P AP -=Λ=-174514246547A P P -⎛⎫ .⎪=Λ=-- ⎪-⎝⎭⎪ ------10’七、解 二次型矩阵表示式112312323200(,,)(,,)032.023x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎫⎪⎪⎪⎭---------2’200032,023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭200||03023A E λλλ2λ--=--(1)(2)(5)λλλ=----, 于是的特征值为A 1231,2, 5.λλλ=== ------5’ 11λ=()A E x -0=时，解方程，由100022022A E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭100011,000r ⎛⎫⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭当解得特征向量，单位化即得1(0,1,1)ξ=-T 11).P =-T 22λ=(2)A E x -0=35时，解方程，由0002012021A E ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭当解得特征向量，即2(1,0,0)ξ=T 2(1,0,0).P =T λ=)A E x -0=时，解方程(5，由3005022022A E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭100011,000r ⎛⎫⎪−−→- ⎪ ⎪⎝⎭当解得特征向量，单位化即得3(0,1,1)ξ=T 3.P =T于是正交矩阵为123(,,P P P P =)0100,0⎛⎫⎪ ⎪ =⎝则正交变换112332x y x P y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将22212325f 化为标准形 f y y y =++． ------10’八、证明 记 12(,,,),s A a a a = 由于向量组线性无关,则有A (),A R A R s ==“⇒” 记12(,,,),r B b b b = 由于向量组B 线性无关,故有 ().B R B R r ==,B AK =()min{(),()}(),r R B R A R K R K ∴=≤≤由于为K s r ⨯ 矩阵, ()min{,},R K s r r ∴≤≤ 从而有 ().R K r = -----5’0,0,(),00,(),000(),Bx AKx R A s Ay Kx R K r Kx x Bx R B r B ⇐==========“”设即由于故方程组只有零解，故又方程组只有零解，故，由此，只有零解，故故向量组线性无关 ----10'(or:“⇐”显然有(),R B r ≤ 若(),R K r =则有()()(),R B R A R K s r ≥+-=从而有(),R B r =故向量组线性无关. ---------10’)12,,,r b b b (or: , 若()()()A R B R AK ==由于列满秩，则R K (),R K r =则有(),R B r =故向量组B线性无关 反之,若向量组线性无关12,,,r b b b (),R B r =则()R K r =. --------10分)。
内蒙古大学 2014-2015 学年第 1 学期线性代数 期末考试（A 卷）姓名 学号 专业 年级重修标记 □ （闭卷 120分钟）一、填空题（本题满分 30 分，每小题 3 分）1．n 阶行列式0100002000100n n =- 。
2. 设123234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，使得PA 为行最简的可逆矩阵P = 。
3. A 是3阶方阵，12||A =，则1|(2)7|A A -*-= 。
4. 1400021053-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭________________________。
5．二次型21213233246+2f x x x x x x x =-++的矩阵A = 。
6．设向量(1,2,3,4)(0,,2,1)T Tx αβ=-=-和正交，那么x =____________。
7. 设3阶矩阵A 的特征值为1,2，-1，则行列式2|2|A A E -+=_____________。
8. 5元齐次线性方程组123450x x x x x ++++=,则它的基础解系包含______个向量。
9．n 元非齐次线性代数方程组Ax b =有无穷解的充分必要条件是 。
10. n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是 。
二、计算下列各题（本题满分20分，每小题10 分）(1) 设3112513421111233D---=---，求D的代数余子式的和11213141A A A A+++(2) 求非齐次线性方程组12341234123421363251054x x x xx x x xx x x x++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩的通解，并求所对应的齐次线性方程组的基础解系。
三、计算题（本题满分20分，每小题 10 分）(1) 求解矩阵方程AX B =,其中21311122,2013225A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。
(2) 求向量组1234(2,1,4,3),(1,1,6,6),(1,1,2,7),(2,4,4,9)T T T Tαααα==--=-=的秩和一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。
北京信息科技大学 20 14 ~ 20 15 学年 第2学期《 线性代数B 》课程 期末考试试卷 A 卷课程所在学院： 理学院 适用专业班级：32学时各专业 考试形式：( 闭 卷 )一、填空题（本题满分 20 分，共含 5 道小题，每小题 4 分）1、排列 347812596 的逆序数为______________。
答案： 132、行列式 123312231= ______________。
答案： 183、三阶方阵1230 0 =0 0 0 0A λλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（其中1230 λλλ≠）的逆矩阵1A -= 。
答案： 32110 0 10 01 0 0λλλ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭4、设A 为3阶方阵，且127A =，*A 为A 的伴随矩阵，则()1*318=A A -- 。
答案： -15、设A 为33⨯的矩阵，=2A -，把A 按行分块为123A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中(1,2,3)j A j =是A的第j 行，则行列式31212=A A A A -______________。
答案： 2二、解答题（本题满分18分，共含 3 道小题，每小题 6 分）1、设,A B 为n 阶方阵，满足+=A B AB . 求 1A E --() 答案： 由 +=AB AB 可知 AB A B E E --+=也即 ()()A E B E E --=所以 1A E --()存在 且 1=A E B E ---()2、行列式=D 3112513420111533------，求代数余子式23A 的值。
答案：余子式3035110221323-=---=M 从而代数余子式30)30()1()1(233223=-⨯-=-=+M A3、 向量组 ,,ααα123 线性无关，112123123,,,βαβααβααα==+=++试证: 向量组,,βββ123 线性无关。
答案： 112233 k k k 0βββ++=设112123123 k k ()k ()0αααααα+++++=也就是 123123233 (k k +k )(k k )k 0ααα++++=即123,,,ααα 线性无关 123k k k 0,⇒=== 所以11212312,,βαβααβααα==+=++ 线性无关三、计算题（本题满分 32 分，共含 4 道小题，每小题 8 分）1、设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=12412116030242201211A ，求).(A R 答案： 用初等行变换将A 化为行阶梯形1121011210112102242000040000403061103041030012142103001030011121011210000400300103001000400000000000A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪=−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪−−→−−→= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因B 中非零行的行数是3，所以.3)()(==B R A R2、求矩阵方程X A AX 2+=,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=410011103A .答案： 因为A X E A =)2-(，而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2100111012E A 可逆，所以A E A X 1)2(--=又⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-322100234010225001322100112110103101410210112110103101410210112110103101410210011011103101)2(A E A 所以.322234225⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=X 3、设121021110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ,求1A -。
内蒙古大学2015－2016学年第一学期线性代数 期末考试试卷（A 卷）（闭卷 120 分钟）姓名 学号 专业 年级重修标记 □一、填空题（本题满分 40 分，每小题5分）1．已知向量组T T T c c c b b b a a a ),,(,),,(,),,(321332123211===ααα是线性无关的向量组，则向量组T T T c c c b b b a a a )3,,,(,)2,,,(,)1,,,(321332123211===βββ是。
（填线性相关或线性无关）2．设A 为n 阶矩阵)2(>n ，秩（A ）<1-n ，则秩)(*A = 。
3. 设A 为3阶方阵，且21=A ,则()=--*123A A 。
4．四元齐次线性方程组123400x x x x +=⎧⎨-=⎩解集的秩= 。
5. 设A 为3阶方阵，其特征值为1，2，-3，则=+A A 2 。
6.已知向量TT k k )2,8,1,(,)4,3,3,1(21--==αα正交，则=k 。
7.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001100010A ，则与A 可交换的一切方阵是 。
8.四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵的秩为3，321,,ηηη是它的三个解 向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5432,8642132ηηη，则该方程组的通解是 。
二、计算题（本题满分 16分）1．计算n 阶行列式D . xa a a x aaa x D =。
(8分)2．矩阵A A 求矩阵,111012112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=的逆矩阵（8分）三、计算题（本题满分 24分）1.二次型()322322213214332,,x x x x x x x x f +++=。
（1）写出二次型唯一对应的对称矩阵A; （2）求二次型的秩；（3）求一个正交矩阵P ，把二次型化成标准型：即使得=AP P T 对角矩阵。
（12分）4.线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x ，λ取何值的时候次方程组（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。
