第十八章勾股定理

(人教版)数学八年级下册 第十八章勾股定理

- 1 - 课题：18.1勾股定理（第1课时）

一、教学目标

1.通过观察、分析方格图，经历探索勾股定理的过程，会运用勾股定理进行简单的计算.

2.在勾股定理探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，激发学习热情.

二、教学重点和难点

1.重点：探索勾股定理.

2.难点：探索勾股定理.

（本节课教学难度大，需要教师认真准备）

三、教学过程

（一）创设情境，导入新课

师：同学们听说过外星人吗？

生：（齐答）听说过.

师：外星人就是生活在别的星球上的智慧生物.长期以来，人类一直在寻找外星人，并试图与他们交流.那么怎么寻找外星人？又怎么与外星人交流呢？主要的办法是向处太空发射探测器，希望有朝一日外星人能接收到探测器发出的信号，最好能直接收到探测器.为什么要直接收到探测器？因为在探测器里有很多图片，这些图片反映了地球的情况、地球人的形象、生活和文明成果.

师：在这些图片中，有一张图片特别有意思，它所反映的恰好是我们这节课要学习的内容.这是一张什么样的图片呢？

（师出示下图）

（二）尝试指导，讲授新课

师：（指准图）在这张图片上，中间画的是一个直角三角形，这个直角三角形的一条直角边等于3，另一条直角边等于4，斜边等于5.在直角三角形的外面画了三个正方形，这三个正方形的边长分别是3、4、5，所以这个正方形的面积是9，这个正方形的面积是16，这个正方形的面积是25.

师：现在要问大家的是，通过这个图形地球人想告诉外星人什么呢？如果你是外星人，你看到这个图形能发现什么呢？

（让生观察思考，要给学生充足的观察思考时间）

师：（指图）谁来说说从这个图形你发现了什么？

生：„„（多让几名同学发表看法）

师：（指准图）这个正方形的面积是9，这个正方形的面积是16，这个正方形的面(人教版)数学八年级下册 第十八章勾股定理

- 2 - 积是25，9+16恰好等于25，可见，这个正方形的面积加上这个正方形的面积恰好等于这个大正方形的面积（板书：一个正方形的面积+另一个正方形的面积=大正方形的面积）.

师：（指准图）从这三个正方形面积的关系，我们可以进一步发现这个直角三角形三边的关系.

师：（指准图）看到没有？这个正方形的面积实际上就是这条直角边的平方，这个正方形的面积实际上就是这条直角边的平方，而这个正方形的面积实际上就是这条斜边的平方.可见，这条直角边的平方加上这条直角边的平方恰好等于这条斜边的平方（板书：一条直角边的平方+另一条直角边的平方=斜边的平方）.

师：以上我们通过观察分析图形，发现这个直角三角形的三边有这样的关系：（指准式子）一条直角边的平方+另一条直角边的平方=斜边的平方.

师：发现了这个关系，我们会进一步想到一个问题，什么问题？（稍停后边讲边指准图）这个直角三角形的三边有这样的关系，那么别的三角形的三边是否也有这样的关系呢？

师：下面我们就来看别的直角三角形的情况.

（师出示下图）

ABC

师：（指准图）这个图的中间是一个直角三角形，外面是三个正方形.正方形A以这条直角边为边长，正方形B以这条直角边为边长，正方形C以斜边为边长.现在我们来算一算正方形A、B、C的面积.

师：（指准图）正方形A的面积是多少？

生：（齐答）4.（师在图中注上4）

师：（指准图）正方形B的面积是多少？

生：（齐答）9.（师在图中注上9）

师：（指准图）正方形C的面积是多少？

生：„„（让生思考一会儿）

师：正方形C的面积不好算，怎么来计算正方形C的面积呢？

（师用彩笔在上图画出大正方形，如下图所示）

CBA (人教版)数学八年级下册 第十八章勾股定理

- 3 - 师：（指准图）正方形C的面积等于这个大正方形的面积减去这四个直角三角形的面积.

师：（指准图）这个大正方形的面积等于多少？（稍停）它的边长为5，所以面积为25.这个直角三角形的面积等于多少？（稍停）它的这条直角边为2，这条直角边为3，所以面积为12×2×3=3.其它几个直角形的面积也都等于3，所以四个直角三角形的面积等于12.

师：（指准图）这个大正方形的面积为25，四个直角三角形的面积为12，所以正方形C的面积是13（在图中注上13）.

师：（指准图）正方形A、B、C的面积都求出来了，正方形A的面积为4，正方形B的面积为9，正方形C的面积为13.现在我们可以看到，正方形A的面积加上正方形B的面积恰好等于正方形C的面积（板书：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积）.

师：（指准图）从三个正方形面积的关系，我们可以进一步得出这个直角三角形三边的关系.

师：（指准图）正方形A的面积就是这条直角边的平方，正方形B的面积就是这条直角边的平方，正方形C的面积就是斜边的平方.所以这个直角三角形的三边有这样的的关系：这条直角边的平方加上这条直角边的平方恰好等于斜边的平方（板书：一条直角边的平方+另一条直角边的平方=斜边的平方）.

师：（指准图）可见，这个直角三角形的三边也具有我们刚才所说的那种关系.

师：下面同学们自己再来看一个直角三角形，看一看这个直角三角形的三边是否也具有这种关系.

（三）试探练习，回授调节

1.探究题：如图，填空：

(1)正方形A的面积= ，

正方形B的面积= ，

正方形C的面积 ；

(2)正方形A、B、C的面积具有的关系是：

；

(3)中间的直角三角形的三边具有的关系是：

.

（四）尝试指导，讲授新课

师：通过上面的探索，关于直角三角形三边的关系，同学们能得出一个什么结论呢？

生：„„（多让几名同学发表看法，要鼓励学生用自己的语言，哪怕是不十分准确的语言，来表达他们感悟到的东西）

（师出示下图）

cbaABC(人教版)数学八年级下册 第十八章勾股定理

- 4 -

师：我们可以得出这样的结论：（指准图）如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.

（师出示板书：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2）

师：请大家把这个结论读两遍.（生读）

师：这个结论很重要，也很有用.有了这个结论，已知直角三角形的两边，我们可以求出第三边.下面我们就来看一个例题.

（师出示例题）

例 求出下列直角三角形中未知边的长度.

(1) (2)

（师边讲解边板演，解题过程如下）

解：(1)AB2=AC2+BC2=122+52=169

AB=169=13

(2)AC2=AB2－BC2=32－22=5

AC=5

（五）试探练习，回授调节

2.a，b表示直角边，c表示斜边，填空：

(1)已知a=9，b=12，则c= ；

(2)已知b=5，c=7，则a= .

（六）归纳小结，布置作业

师：本节课我们探索了直角三角形三边的关系，通过探索得出了一个结论.请大家把这个结论再读一遍.（生读）

师：利用这个结论，已知直角三角形的两边可以求出第三边.

（作业：P69习题1）

四、板书设计

图一 图二

……=大正方形的面积 ……=正方形C的面积 如果……

……=斜边的平方 ……=斜边的平方 那么a2+b2=c2

例

课题：18.1勾股定理（第2课时）

一、教学目标

1.了解勾股定理的证明，会运用勾股定理进行简单的计算.

2.进一步体会证明的必要性和数形结合思想. cba125CBA23ABC(人教版)数学八年级下册 第十八章勾股定理

- 5 - 二、教学重点和难点

1.重点：勾股定理的证明及简单运用.

2.难点：勾股定理的证明.

三、教学过程

（一）基本训练，巩固旧知

1.填空：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

=c2.

2.填空：

(1)如图，BC= ；

(2)如图，AB= .

第(1)题图 第(2)题图

（二）创设情境，导入新课

（师出示下面的板书）

如果直角三角形的两直角边长分别分a，b，斜边长为c，

那么那么a2+b2=c2.

师：（指板书）上节课我们通过探索得到了这个结论，请大家把这个结论读一遍.（生读）

师：大家回忆一下，这个结论我们是怎么得到的？（稍停）我们观察了几个直角三角形，发现它们的三边都具有a2+b2=c2这样的关系，于是我们得出所有直角三角形的三边都具有这样的关系.

师：通过对几个直角三角形的观察就得出一般性的结论，这样得到的结论不一定可靠.为什么这么说呢？譬如，有一名新同学第一天来学校上学，他发现上第一节课的数学老师是一位男老师，上第二节课的语文老师也是一位男老师，上第三节课的英语老师也是男老师，于是他得出一个结论，说这个班的所有老师都是男老师.这位同学得出的这个结论可靠吗？（稍停）不可靠.为什么不可靠？因为他只观察了三门课的老师，没有把其它课的老师都观察遍.如果他能观察遍每门课的老师，发现都是男老师，他才能说，这个班的所有老师都是男老师.同样道理，要得出所有直角三角形的三边都具有a2+b2=c2的关系，我们需要观察每一个直角三角形，看它们是否都具有a2+b2=c2这样的关系.但这是做不到的，为什么做不到？因为直角三角形有无数个，我们不可能一个一个去观察，所以做不到.那怎么办呢？（稍停）

师：我们可以通过推理去证明这个结论（板书：证明），下面我们就来证明这个结论.

（三）尝试指导，讲授新课

师：（指准图）这个结论，已知是直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，要求证的是a2+b2=c2.怎么证明呢？

师：（出示剪好的直角三角形）老师剪了四个相同的直角三角形，这四个直角三角形与画在黑板上的直角三角形也是一模一样的.（边讲边比试）看到没有？这四1517BCA21ACBcab