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反证法在几何问题中的应用

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1 反证法在几何问题中的应用

反证法是一种非常重要的数学方法，它在几何的应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何都有应用，本文选择几个有代表性的应用，举例加以介绍。

一、证明几何量之间的关系

例1：已知：四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，)(21CDABEF。

求证：CDAB//。

证明：假设AB不平行于CD。如图，连结AC，取AC的中点G，连结EG、FG。

∵E、F、G分别是AD、BC、AC的中点，

∴CDGE//，CDGE21；ABGF//，ABGF21。

∵AB不平行于CD，

∴GE和GF不共线，GE、GF、EF组成一个三角形。

∴EFGFGE ①

但EFCDABGFGE)(21 ②

①与②矛盾。

∴CDAB//

例2：直线PO与平面相交于O，过点O在平面内引直线OA、OB、OC，POCPOBPOA。

求证：PO。

证明：假设PO不垂直平面。

作PH并与平面相交于H，此时H、O不重合，连结OH。

由P作OAPE于E，OBPF于F，

根据三垂线定理可知，OAHE，OBHF。

∵POBPOA，PO是公共边，

∴POFRtPOERt

∴OFOE

又OHOH

∴OEHRtOFHRt

∴EOHFOH

因此，OH是AOB的平分线。

同理可证，OH是AOC的平分线。

但是，OB和OC是两条不重合的直线，OH不可能同时是AOB和AOC的平分线，产生矛盾。

∴PO。

例3：已知A、B、C、D是空间的四个点，AB、CD是异面直线。 ABCDEFGaOPABCEFH 2 求证：AC和BD是异面直线。

证明：假设AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内。

因此，A、C、B、D四点在同一平面内，这样，AB、CD就分别有两个点在这个平面内，则AB、CD在这个平面内，即AB和CD不是异面直线。这与已知条件产生矛盾。

所以，AC和BD是异面直线

上面所举的例子，用直接证法证明都比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常采用反证法。

二、证明“唯一性”问题

在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题。

例3：过平面上的点A的直线a，求证：a是唯一的。

证明：假设a不是唯一的，则过A至少还有一条直线b，b

∵a、b是相交直线，

∴a、b可以确定一个平面。

设和相交于过点A的直线c。

∵a，b，

∴ca，cb。

这样在平面内，过点A就有两条直线垂直于c，这与定理产生矛盾。

所以，a是唯一的。

例4：试证明：在平面上所有通过点)0,2(的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x、y均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。

证明：先证存在性。

因为直线0y，显然通过点)0,2(，且直线0y至少通过两个有理点，例如它通过)0,0(和)0,1(。这说明满足条件的直线有一条。

再证唯一性。

假设除了直线0y外还存在一条直线bkxy（0k或0b）通过点)0,2(，且该直线通过有理点A),(11yx与B),(22yx，其中1x、1y、2x、2y均为有理数。

因为直线bkxy通过点)0,2(，所以kb2，于是)2(xky，且0k。又直线通过A),(11yx与B),(22yx两点，

所以)2(11xky， ①

)2(xky ② 3 ①－②，得)(2121xxkyy。 ③

因为A、B是两个不同的点，且0k，所以21xx，21yy，

由③，得2121xxyyk，且k是不等于零的有理数。

由①，得kyx112。

此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。

所以，平面上通过点)0,2(的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。

综上所述，满足上述条件的直线有一条且只有一条。

关于唯一性的问题，在几何中有，在代数、三角等学科中也有。这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采用间接证法。即用反证法或同一法证明，用反证法证明有时比同一法更方便。

三、证明不可能问题

几何中有一类问题，要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在。它们的结论命题都是以否定形式出现的，若用直接证法证明有一定的困难。而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在，因此，这类问题非常适宜用反证法。

例5：求证：抛物线没有渐近线。

证明：设抛物线的方程是pxy22(0p)。

假设抛物有渐近线，渐近线的方程是baxy，易知a、b都不为0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组

baxypxy22 )2()1(

的两组解的倒数都是0。

将（2）代入（1），得

0)(2222bxpabxa （3）

设1x、2x是（3）的两个根，由韦达定理，可知

221)(2apabxx，2221abxx 4 则0)(2112212121bpabxxxxxx， （4）

0111222121baxxxx， （5）

由（4）、（5），可推得0p，

这于假设0p矛盾。

所以，抛物线没有渐近线。

关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型。由于它的结论是以否定形式出现，采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明。

四、证明“至少存在”或“不多于”问题

在几何中存在一类很特殊的问题，就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几个。由于这类问题能找到直接论证的理论根据很少，用直接证法有一定困难。如果采用反证法，添加了否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，容易使命题获证。

例6：已知：四边形ABCD中，对角线AC=BD=1。

求证：四边形中至少有一条边不小于22。

证明：假设四边形的边都小于22，由于四边形中至少有一个角不是钝角（这一结论也可用反证法证明），不妨设090A，

根据余弦定理，得AABADABADBDcos2222，

∴222ABADBD，

即1)22()22(2222ABADBD。

这与已知四边形BD=1矛盾。

所以，四边形中至少有一条边不小于22。

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立体几何中的反证法

立体几何中的反证法

立体几何中的反证法

郝睿达

【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》

【年(卷),期】2007(000)003

【摘 要】在立体几何学习的开始阶段，对于一些用公理、定理从正面论证比较困难的立体几何问题，常用反证法．反证法的基本步骤是：先假设命题的结论不成立，由这个假设，再利用某些正确的命题，经过推理导出矛盾的结论．这个矛盾可以与已知条件或其它真命题矛盾，也可以与假设矛盾，还可以相互矛盾．由此断定“假设命题不成立”是错误的，从而肯定命题成立．下面举例说明适合用反证法的一些典型题目．

【总页数】2页(P2-3)

【作 者】郝睿达

【作者单位】山西省长治市长治学院附属太行中学,046011

【正文语种】中 文

【中图分类】G633.63

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5.反证法在立体几何证明题中的应用 [J], 辛春 因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买

反证法

反证法

反证法及其运用

在初中阶段的很多几何证明题目中，我们大多是由题目所给的条件出发，通过以学习的基本知识一步步推导从而证明所要证明的结论的成立。例如：已知：

ABCD，O是对角线AC和BD的交点。求证：CA=OC、OB=OD；而对于有些几何证明题直接由条件出发证明并不容易得到所要证明的结论，例如：已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦，求证AB与CD不能互相平分。而对于这类题目常常采用间接证明方法反证法证明。

1．反证法的概念

不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而 证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。为帮助理解反证法可以先看看下面两个小故事。

故事一：

南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。”

实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。那么，显然，他说的就是谬论了。

这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。

如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二。

故事二：

王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍。一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动。等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”

反证法在数学中的应用

反证法在数学中的应用

反证法在数学中的应用

反证法是一种逻辑推理方法，常常在数学领域中被广泛运用。它的基本思想是通过对一个假设的否定来得出结论，从而证明原假设是错误的。这种方法在解决数学问题和证明定理时，常常能够发挥重要的作用。本文将就反证法在数学中的应用进行论述，为读者展示它在数学研究中的重要性及实际应用。

反证法最早出现在古希腊数学中，被哥德尔、皮亚诺等数学家广泛运用，并且在近现代数学中也得到了广泛的应用。它的基本思想是通过假设的否定来推导出逻辑上的矛盾，从而证明该假设是错误的。反证法是数学证明中最常见的一种证明方法之一，它的实际应用范围非常广泛，可以用于证明数论、代数、几何、分析等各个领域的定理和公式。下面我们将分别从不同的数学领域来探讨反证法的应用。

在数论中，反证法常常被用来证明诸如素数性质、同余方程等数论问题。证明素数的无穷性，可以使用反证法来证明。假设存在有限个素数，然后通过对这一假设的否定，证明得出矛盾，从而得出结论：素数是无穷的。同样，证明勾股定理、费马大定理等数论问题中，也常常使用反证法。反证法实际上为数论问题的定理证明提供了一种十分有效和有力的工具。

在代数领域中，反证法也被广泛应用于证明群论、环论、域论等代数结构中的性质和定理。在群论中，证明群中任意元素的逆元素唯一性可以使用反证法来证明。在证明定理时，通过对某个假设的否定，再通过逻辑推理得出结论，极大地简化了证明的过程，提高了证明的效率。

在几何领域中，反证法也经常被用来证明诸如平行线性质、三角形性质、平面几何性质等问题。证明平行线性质中互逆关系的定理，可以利用反证法进行证明。通过对假设的否定，再进行逻辑推理，得出矛盾，从而证明原假设是正确的。

在实分析中，反证法也有着重要的应用。在实数的连续性方面，常常通过反证法来证明某些重要的定理。证明实数具有阿基米德性质，证明柯西收敛准则等，都可以使用反证法来进行证明。反证法的严谨性和有效性在实分析中得到了充分的展现。

“四点共圆”在几何证明中的作用

“四点共圆”在几何证明中的作用

“四点共圆”在几何证明中的作用

几何证明讲究严密的逻辑推理,有时仅一步之遥而将你拒之门外。要迈出这一步,需要有充分的理由。下面谈谈笔者的体验。

一、介绍“四点共圆”

在初中几何《圆》一章中,用反证法可证明:在一条线段同一旁有两个点,如果它们对这条线段两端所形成的视角相等,则这两点和线段两端点四点共圆。

二、证明“四点共圆”

如图⑴所示:M、N为线段AB同旁两点且∠M=∠N,则A、B、M、N四点共圆。

证明:设过A、B、N三点的圆为⊙O,假若点M在圆内,则有∠AM″B>∠AMB=∠N;假若点M在圆外则有∠AM′B<∠AMB=∠N。

因此,只有当M点在圆上时∠M=∠N。

所以A、B、M、N四点共圆。

三、应用“四点共圆”

用这个结论对下面这道题的证明起了十分重要的作用。

例题:如图⑵,B、C、D、E在同一直线L上,且BC=DE,∠1=∠2。求证:AC=AD

分析:要证AC=AD,首先想到需要证△ABC≌△ADE或△ABD≌△AEC,但难度太大(你不妨试试)。

下面我们用“四点共圆”

证明:过 A作AFL 且AF=BC(或DE),连结 CF,EF。

由平行四边形判定定理可知,四边形ABCF和ADEF都是平形四边形。

∴∠1=∠3,∠2=∠4

又∠1=∠2

∴∠3=∠4

由四点共圆法可知:A、C、E、F 四点共圆,且AF、CE为圆内两条平行弦

平行弦所夹弧相等,同圆中相等弧所对弦相等。

∴AC=EF

又∵AD=EF(四边形ADEF是平行四边形)

∴AC=AD