- 1 - 圣维南原理讨论
摘要
圣维南原理最初是由B.deSaint-Venant针对弹性柱体提出来的，至今已有135年的历史了，是弹性力学的基础性原理。该原理当时没有给予证明，但一直是弹性力学重要的研究课题，后来虽然大量的计算资料和实验数据都证实了这一原理的正确性，但这不能代替严格的数学证明。本文将以圣维南原理研究中最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，并对重要的研究工作和结果进行简单的评论。
关键词
圣维南原理，论述，证明
正文
1．一般性论述
1.1．圣维南的思想
1885年法国学者圣维南在研究柱体变形问题时发现，当把外力加载到等横截面长弹性柱体的两个端面时，除开端面附近的区域，柱体中横截面上的各点的应力与各点到柱体端面的距离无关。但是，根据弹性力学的数学理论，只有当端面的外力均匀分布时，柱体中才能产生这种均匀的变形。
圣维南是非常重视实际应用的工程师，他不研究没有实际应用价值的问题。实际结构中，外力均匀分布的情况很少发生。工程师和试验师通常只知道作用在梁端面上的外力的合力和合力矩而不能确定外力力系的分布。考虑到他的结果的实际应用，圣维南觉得有必要解释，为什么他的由特殊分布外力得到的结果可以应用到一般性的、难于求解或未曾求解的实际情况。为此他声称，作用在梁两端面上具有给定合力和合力矩的外力系的作用方式（即分布），除开端面附近以外，并不影响梁中的应力分布。端面分布着相同的合外力和合外力矩的所有梁问题的解，都随着离开端面的距离很快地趋近一个共同的解。这个解就是他自己给出的解。
圣维南因推广他的弹性柱体扭转问题和弯曲问题的解而形成的思想是：对无体力的、侧面自由的、处在静力平衡状态的弹性柱体，如果端面的载荷被静力等效的力系所代替，柱体中除端面邻域以外的应力场和应变场将近似保持不变。
1.2．Boussinesq的陈述
1855年Boussinesq将圣维南的思想一般化，并冠“Saint-Venant’s Principle”的名称，其内容为：施于弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给定的球内，那么该平衡力
§11.4位移变分方程--最小势能原理
学习要点：
本节讨论最小势能原理。首先根据虚功原理推导应变能的一阶变分表达 式，然后根据任意几何可能位移场与真实位移场的总势能的关系， 得到真实位移
场的总势能取最小值的结论。
最小势能原理用数学方程描述：总势能的一阶变分为零，而且二阶变分 大于零。
最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力边 界条件，所以，对于一些按实际情况简化后的弹性力学问题， 可以通过最小势
能原理推导出其对应的平衡微分方程和面力边界条件。 本节通过例题对此作了说
明。
推导中设应变能密度函数是应变分量的函数，因此最小势能原理是位移 解法在变分原理中的应用。
进入本节内容学习之前，应该首先学习有关 泛函和变分的基础知识。
学习思路：
1. 总势能；
2. 总势能的变分；
3. 最小势能原理；
4. 最小势能原理推导弯曲问题的平衡微分方程和面力边界条件 ；
5. 最小势能原理推导扭转问题的平衡微分方程和面力边界条件 。
F面根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势能原理。
设应变能密度函数是应变分量的函数，则应变能密度函数的一阶变分为
刃D 二二 o 輒--
%上式推导中，应用了格林公式' ,将上式代入虚功方程，则
z 二|Jj刃祖西二可JJ矶“卩二刃
v r ¥
上式表示外力虚功等于弹性体应变能的一阶变分。定义外力势能为
注意到虚位移与真实的应力无关，因此在虚位移过程中外力保持不变， 即变分与外力无关。而且积分和变分两种运算次序可以交换的，所以外力势能的 一阶变分可以写作
回代可
得
十幫）二迥二0
其中Et称为总势能，它是应变分量的泛函。由于应变分量通过几何方程 可以用位移分量表示，所以总势能又是位移分量的泛函。
&二［ff几少一 JJJ凡购"一口恥何
公式表明，在所有几何可能的位移中，真实位移将使弹性体总势能的一 阶变分为零，因此真实位移使总势能取驻值。
以下证明：对于弹性体的稳定平衡状态，总势能将取最小值。
.
精品 1－1. 选择题
a.
下列材料中，
D
属于各向同性材料。
A. 竹材；
B. 纤维增强复合材料；
C. 玻璃钢；
D. 沥青。
b. 关于弹性力学的正确认识是 A 。
A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；
B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；
C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；
D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。
c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于 B 。
A. 任务；
B. 研究对象；
C. 研究方法；
D. 基本假设。
d. 所谓“完全弹性体”是指 B 。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律；
B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；
C. 本构关系为非线性弹性关系；
D. 应力应变关系满足线性弹性关系。
2－1. 选择题
a. 所谓“应力状态”是指 B 。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；
B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；
C. 3个主应力作用平面相互垂直；
D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。
2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’ 的面力边界条件。
2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为
试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。.
精品 2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为，楔形体左侧作用比重为的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。
2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为1，球体在密度为1（1＞1）的液体中漂浮，如图所示。试写出球体的面力边界条件。 .
柯西
於法國大革命的原因導致當時所有的學校都被迫關閉，因此柯西小時候是由他的父親在家裡親自教育的。直到柯西十三歲時，柯西才開始進入學校就讀，但他很快地開始贏得了許多學術性的獎項。二十一歲時，柯西拿到了土木工程學的學位並開始了他的第一份工作 ---
擔任拿破崙的軍事工程師並在瑟堡 ( 法國西北部港市,臨英吉利海峽 )幫忙建築防衛設施。柯西總是隨身帶著四本書 --- 一本是由Laplace所寫的物理學書、一本由Lagrange所著作的分析學書、一本宗教書以及一本威吉爾 ( 70-19 b.c., 羅馬詩人 ; The Aeneid )的拉丁著作；通常這幾本書對一位年輕的工程師而言是不容易閱讀理解的。
柯西工作十分勤奮辛苦但他也總會找出時間去指導其他工程師、去幫助地方學校的考試進行以及做數學研究。在一封當時柯西寫給他母親的信中他提到這麼一段話：『我總市凌晨四點就起床並開始從早忙碌至晚上；工作並不會使我疲勞，相反地，工作使我變強並且我的健康也總在良好狀態。』
二十四歲時，柯西回到巴黎工作，而他之前在瑟堡所做的一些數學研究也已引起了許多法國頂尖數學家們的注意。二十六歲時，柯西證明出連尤拉與高斯也十分困惑的"費馬的猜想"(即每個正整數都可以寫成三個三角數的和，或四個四角數的和或是五個五角數的和) 。二十七歲時，柯西已被列名為當代最優秀的數學家並開始從事複變方程式的研究，11年後他出版了高達300頁的關於這方面的研究。
在柯西忙碌豐富的數學研究貢獻之外，科西也擁有一個美滿的婚姻，他有兩個女兒並也向他父親一樣地親自教導他的兩個女兒。聰穎、著作多產、對信仰虔誠、固執可以說是描寫科西的最佳形容詞。
纳维
法国力学家，工程师。纳维1802年考入巴黎综合工科学校，在大学里，傅立叶教过他数学分析课，这对纳维科学风格的形成有很大的影响。后来，他成了傅立叶的崇拜者和朋友。
纳维的主要贡献是分别为流体力学和弹性力学建立了基本方程。他发表的论文一部份对力学的一些分支起了奠基的作用。
