当前位置：文档之家 › 积化和差与和差化积公式

积化和差与和差化积公式

  • 格式：doc
  • 大小：172.50 KB
  • 文档页数：5

积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课

一、基本公式复习

1、两角和与差公式及规律

sin()sincoscossin.cos()coscossinsin.tantantan().1tantan

2二倍角公式及规律

3、积化和差与和差化积公式

1sincos[sin()sin()].2

1cossin[sin()sin()].2

1coscos[cos()cos()].2

1sinsin[cos()cos()].2

sinsin2sincos.22

二、应注意的问题 1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式. 2、倍角公式22sin211cos22cos有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.

3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提. 222221coscos.222cos.1cos21cossin.222sin.1cos2tan.21cos2sin2sin2cos,sin.1sin(sincos).2cos2cos22

sin22sincos.

2222cos2cossin2cos112sin.

22tantan2.1tan

sinsin2cossin.22

coscos2coscos.22coscos2sinsin.22

3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；

4、角度配凑方法 如

2222)()(

2()()()()2()2()2222法。其中,是任意角；等等。

三、例题讲解

例１已知sin(3)cos()tan()cot()2(),()cos()nxxxxfxnZnx

（１） 求52();3f

（２） 若34cos(),25求()f的值．

解当2()nknZ时，

sincostancot()sin;cosxxxxfxxx

当21()nkkZ时，2sincostan(tan)()sintan.cosxxxxfxxxx

34cos()sin,sin.25

故当n为偶数时，

525243()sinsin,33324()sin;5ff

当n为奇数时，

222225252524433()sintan.sintan,333332sin9()sintansin.cos16ff

例２已知tan3,求3sinsin33coscos3的值． 解原式＝333sin(3sin4sin)3cos(4cos3cos)

232232sin(32sin)2cossin(sin3cos)2cos1tan(tan3)218.

例３已知21sin(),sin().35

（１） 求tancot的值；

（２） 当(,),(,)2222时，求sin2的值．

解（１）

［方法１］2sincoscossin,31sincoscossin,5137sincos,cossin.3030

从而，sincos13tancot.cossin7

［方法２］设sincostancot,cossinx

sin()10,sin()3sin()sin()tantancoscossin()sin()tantancoscostan11tan,tan11tanxx且

11013,tancot.137xxx （２）由已知可得

sin2sin[()()]sin()cos()cos()sin()465.15

例4已知11cos(),cos(),22求tantan的值.

解

1coscossinsin,21coscossinsin,351coscos,sinsin.1212

sinsin1tantan.coscos5

例5已知11sincos,cossin,23求sin()的值.

解 将两条件式分别平方，得

22221sin2sincoscos,41cos2cossinsin.9

将上面两式相加，得

1322sin(),3659sin().72

例6 sin7cos15sin8cos7sin15sin8的值等于 （ ）

A．23 B．23 C．232 D．232

解 000000000000000000000000000sin(158)cos15sin8cos(158)sin15sin8sin15cos8cos15sin8cos15sin8cos15cos8sin15sin8sin15sin8tan45tan30tan15tan(4530)1tan45tan3023.原式

故选B.

作业：

复习题

合集下载

04-积化和差与和差化积（教案）

04-积化和差与和差化积（教案）

12-13学年度高三第一轮复习学年度高三第一轮复习((三角三角) ) ) 积化和差与和差化积（教案）积化和差与和差化积（教案）积化和差与和差化积（教案）

积化和差与和差化积（教案）积化和差与和差化积（教案） 共共 3页 第第 1 1 页页 四、 积化和差与和差化积

【知识提要】【知识提要】

积化和差与和差化积等公式：积化和差与和差化积等公式：

积化和差：积化和差： 和差化积：和差化积：

sinα·cosβ=1

2[sin(α+β)+sin(α-β)]； sinα+sinβ=2sin

2ba

+·cos

2ba

-

；

cosα·sinβ=1

2[sin(α+β)-sin(α-β)]； sinα-sinβ=2cos

2ba

+·sin

2ba

-

；

cosα·cosβ=1

2[cos(α+β)+cos(α-β)]； cosα+cosβ=2cos

2ba

+·cos

2ba

-

；

sinα·sinβ= 

-1

2[cos(α+β)-cos(α-β)] 。 cosα-cosβ= -2sin

2ba

+·sin

2ba

-

。

【例题解析】【例题解析】

1． 求证：sin3θsin3

θ+cos3θcos3

θ=cos3

2θ.（课本例题）（课本例题）

证明：左边=sin2

θ(sin3θsinθ)+cos2

θ(cos3θcosθ)

=1

2sin22

θ(cos2θ-cos4θ)+1

2cos22

θ(cos4θ+cos2θ) 

=1

2cos2θ(sin2

θ+ cos2θ)+1

2cos4θ(cos2

θ- sin2

θ)

=1

2cos2θ+1

2cos4θcos2θ=1

2cos2θ(1+cos4θ)=1

2cos2θ×2 cos2

2θ= cos3

2θ=右边。右边。

∴ 原式成立。原式成立。

2． 已知α+β=2

3p

，且0≤α≤

2p

，求y

=sinαsinβ的最大值和最小值。的最大值和最小值。

解：由α+β=2

3p

，得β=2

3p

-α, 

∴ y

=sinαsinβ=1

2-[cos2

和差化积积化和差公式推导过程

和差化积积化和差公式推导过程

- 1 - 和差化积积化和差公式推导过程

和差化积、积化和差公式都是在初中数学中经常用到的重要公式。它们都用来方便地将一个式子转化为另一个式子，从而简化计算过程。接下来，我们来详细介绍它们的推导过程。

1. 和差化积公式

和差化积公式可以将两个数的和或差表示成两个数的积的形式。具体来说，我们有以下两个公式：

a + b = (a + b) * 1 = (a + b) * (1/2 + 1/2)

a - b = (a - b) * 1 = (a - b) * (1/2 - 1/2)

其中，1/2 + 1/2 = 1，1/2 - 1/2 = 0。

我们可以将(1/2 + 1/2)和(1/2 - 1/2)代入公式中，得到：

a + b = (a + b) * (1/2 + 1/2) = a * (1/2 + 1/2) + b *

(1/2 + 1/2) = a/2 + b/2 + a/2 + b/2 = ab

a - b = (a - b) * (1/2 - 1/2) = a * (1/2 - 1/2) - b *

(1/2 - 1/2) = a/2 - b/2 - a/2 + b/2 = ab

所以，和差化积公式就推导出来了。

2. 积化和差公式

积化和差公式是将两个数的积表示成两个数的和或差的形式。具体来说，我们有以下两个公式：

ab = (a + b)^2 - (a - b)^2

ab = (a + b) * (a - b)

第一个公式可以通过平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 2 - 和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2推导得出。具体来说，我们有：

(a + b)^2 - (a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab +

人教版数学高一B版必修4知识必备3.3三角函数的积化和差与和差化积

人教版数学高一B版必修4知识必备3.3三角函数的积化和差与和差化积

高中数学-打印版

精心校对完整版 3.3三角函数的积化和差与和差化积

知识梳理

1.积化和差公式

sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］;

cosαsinβ=21［sin(α+β)-sin(α-β)］;

cosαcosβ=21［cos(α+β)+cos(α-β)］;

sinαsinβ=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］.

特点：同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角.

2.和差化积公式

sinx+siny=2sin2yxcos2yx;

sinx-siny=2cos2yxsin2yx;

cosx+cosy=2cos2yxcos2yx;

cosx-cosy=-2sin2yxsin2yx.

3.常用到的三角恒等变换

f(x)=asinx+bcosx=22basin(x+θ)(ab≠0)，其中tanθ=ab,由a和b的符号确定θ所在的象限.

知识导学

复习两角和与差的正弦、余弦公式.本节重点是公式的推导与应用，难点是公式的灵活应用.和差化积公式和积化和差公式不要求记忆.

疑难突破

1.如何推导出三角函数的和差化积公式与积化和差公式？

剖析:难点是面对两角和与差的正弦或余弦公式，不知道从何处入手.其突破口是：利用方程的思想推导积化和差公式，利用“换元”思想推导和差化积公式.

(1)积化和差公式的推导

∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，①

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，②

∴①+②，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，

即sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］.

①-②得sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ，

即cosαsinβ=21［sin(α+β)-sin(α-β)］.

三角函数的积化和差与和差化积公式

三角函数的积化和差与和差化积公式

三角函数的积化和差与和差化积公式

三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。而三角函数的积化和差与和差化积公式是三角函数中常用的变形公式。本文将详细介绍三角函数的积化和差与和差化积公式以及其应用。

一、三角函数的积化和差公式

1. 正弦函数的积化和差公式：

对于任意两个角A和B，正弦函数的积化和差公式可以表示为：

sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB

这两个公式常用于将正弦函数的和差形式转化为积的形式。

2. 余弦函数的积化和差公式：

对于任意两个角A和B，余弦函数的积化和差公式可以表示为：

cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB

这两个公式常用于将余弦函数的和差形式转化为积的形式。

二、三角函数的和差化积公式

1. 正弦函数的和差化积公式： 对于任意两个角A和B，正弦函数的和差化积公式可以表示为：

sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB

这两个公式常用于将正弦函数的积形式转化为和差的形式。

2. 余弦函数的和差化积公式：

对于任意两个角A和B，余弦函数的和差化积公式可以表示为：

cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB

这两个公式常用于将余弦函数的积形式转化为和差的形式。

三、应用示例

下面通过几个具体的应用示例来说明三角函数的积化和差与和差化积公式的应用。

例1：已知sinA=3/5，cosB=4/5，求sin(A+B)和sin(A-B)的值。

根据三角函数的积化和差公式，可以得到：

sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB = (3/5)(4/5) + sqrt(1 - (3/5)^2) *