第6讲数列极限学生版

教师姓名 杨继兵 学生姓名 宋君怡 年 级 高二 上课时间 2012 / 08 / 16
学 科 数学 课题名称 数列极限复习

教学目标
教学重难点
课题: 数列极限
授课类型：新授课
一、概念性质

1、 数列的极限：在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列na中的项na无限趋近于一个常数A，那么称A为数

列na的极限，记做limnnaA
2、 数列极限的四则运算法则：注意其适用条件：一是数列｛an｝{bn}的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、
差、积、商，对于无限个数列的和（或积），应先求和（或积），再求极限

如果BbAabnnnlim,lim，那么

①BAbannn)(lim ②BAbannn)(lim ③)0(limBBAbannn

特别地：①limkknnaA；②limkknnaA;③limlimnnnaaAnaaa;

常用的几个数列极限：CCnlim（C为常数）；01limnn，0limnnq（q<1,q为常数）;
1
lim(1)nnen

3、 无穷等比数列各项和

已知na是无穷等比数列，公比为q，前n项和为nS.则它的前n项和为111111nnaqqSqnaq，
分析：nS的极限存在的条件：
（1）1q时，极限不存在；

（1）1q时，1111111nnnaqaaSqqqq
1q
或1q时，极限不存在
01q
时，





.1lim0lim,10.lim1lim11lim1lim11limlim1111nqaSqqqqaqqaqqaSnnnnnnnnnnnnn
所以

定义：我们把10q的无穷等比数列的前n项和nSn当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号S表
示，即1011qqaS

二、典型例题
例1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

（1）1111,,,...,,...23n；

（2）2,2,2,...,2,...；
（3）0.1,0.1,0.1,...,(0.1),...n；
（4）11,2,4,8,16,...,2,...n；
（5）1,1,1,...,(1),...n；

（6）3,........20102,.......20102010nnanNnnn；

小结：
（1）0,limnaan为常数；
（2）(1,1)0,limnnqq； 1,limnnqq不存在； 1,1nnqimlq； 不存在nnqimlq,1

（3）,0limnanbaccndc； 2,0,limnanbaccnd不存在； 2,0,0limnanbaccnd；
例3、计算：
（1）34limnnn；
（2）1()42lim1()23nnn；
（3）2(1)(21)lim6nnnn
（4）1132lim23nnnnn
（5）2224731lim(...)111nnnnn

（6）222lim1nnnn
（7）lim(43)nnn
（8）223lim221nnnn

（9）31lim(11)nnn
（10）842lim(222...2)nn
（11）111134lim43nnnnn
（12）2111lim12nknnnnnk
（13）12421111lim11112222nn

说明：不能单个求极限，2224731limlim...lim0111nnnnnnn，错误的原因是运算法则只对有限运算有效，
对于无限运算的失效。

例3、若2lim(243)1nnnan，求实数a的值；
例4、设正数列{}na满足：112,2,nnaaanN，若limnna存在，试求limnna；
例5、设,1ab，计算：1lim1nnnab

例6、设11...,,,0nnnnnTaababbnNab，求1limnnnTT；

例7、设lim(23)1lim(2)4nnnnnnabab，，求lim,limnnnnab；
例8、若131lim3(1)3nnnna，求实数a的取值范围；
例9、若2a，求12lim2nnnnnaa；
例10、（1）求数列,...31)1(,...,271,91,311nn各项的和；
（2）求数列,...12,1,12所有奇数项的和；
（3）2341111...2222；
（4）2341212131,,,,....,[(1)],...7777722nn
例11、已知无穷等比数列{}na的首项为1a，公比为q，且有11lim()22nnaqq，求首项1a的取值范围；

三、家庭作业
【数列、数学归纳法和极限复习题】
１．在半径为１的圆内作内接正三角形，然后在所得正三角形内作内切圆，接着在第２个圆内再作内接正三角形，

如此无限作下去，则所有这些圆的面积之和（即前n项和nS的极限limnnS）是（ ）．

Ａ．34 Ｂ． 35 Ｃ． 2 Ｄ．不存在
２．已知等差数列{},{}nnab的前n项和分别为,nnST，且34nnST=，则limnnnab=（ ）．

Ａ．１ Ｂ．32 Ｃ．34 Ｄ．916
３．若15lim5(1)nnnna+++存在，则实数a的取值范围是（ ）．
Ａ．(6,4)- Ｂ．(6,4]- Ｃ．[6,4]- Ｄ．(2,4)-
４．已知等差数列共有2008项，其中奇数项的和是1004，偶数项的和是3012，则其公差是（ ）．
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
５．设nS是等差数列{}na的前n项和，且6636,324,144(6)nnSSSn-===>，则n=（ ）．
Ａ．９ Ｂ．３６ Ｃ．１７ Ｄ．１８
６．nS是等差数列{}na的前n项和，若566778,,SSSSSS<=>，则下列说法错误的是（ ）．
Ａ．0d< Ｂ．70a= Ｃ．95SS> Ｄ．67,SS均为nS的最大值

７．nlim[)1(23)1(4)1(1nnnnnnn]的值为（ ）．
Ａ．23 Ｂ．21 Ｃ．32 Ｄ．2
８．设数列{}na的前n项和为nS，令12nnSSSTn，称nT为数列1a，2a，……，na的“理想数”，已知
数列1a，2a，……，501a的“理想数”为2008，那么数列2， 1a，2a，……，501a的“理想数”为（ ）．
A．2002 B． 2004 C． 2006 D． 2008

９．定义在N上的函数()fx，满足(1)1f=，且1(),,(1)2(),.fnnfnfnnìïïï+=íïïïî为偶数为奇数，则(22)f=（ ）．
Ａ．222 Ｂ．102 Ｃ．1112 Ｄ．1012
１０．一群羊中，每只羊的重量均为整数千克，其总质量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千
克的羊外，其余各羊的千克数能组成一个等差数列，则这群羊共有（ ）．
A．5 只 B．6只 C．7只 D． 8只
１１．已知nnnS1010310210132，且lim010nnn=，则limnnS=（ ）．
Ａ．19 Ｂ．1081 Ｃ．110 Ｄ．１
１２．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

则第n个图案中有白色地面砖的块数是
A．42n B．42n C．24n D．33n
１３．已知等差数列{}na，其中5813,,aaa是等比数列{}nb的相邻三项，若21b=，则nb= ．

１４．若nnnnba2,6，则2lim34nnnnnabab-=+ ．

１５．若 223323232323236666nnnnS，则limnnS ．

１6．已知函数2()2fxx=-．若数列{}na的前n项和为nS，且1(1)af=，221(52)()2nnSnnfa=++-，试猜
想出通项na，并用数学归纳法证明；

第1个
第2个 第3个

……
１7．在数列{}na中，其前n项和为nS，且12322aa==，，1132102,)nnnSSSnnN+--++=?（?．
（１）求通项na；（２）求limnnnSna-．

18．已知数列{}na，12ap=（p为给定的非零常数），2112(2)nnnpapana---=?．
（１）是否存在常数k，使数列1{}nak-是等差数列？如果存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
（２）设1nnbap=-，数列{}nb的前n项和为nS，求21211lim()nnnnnnSnSbb+-+-．