八年级月考试题一、选择1.计算（－3a 2）2的结果是（ ）A.3a 4B.－3a 4C.9a 4D.－9a 42.一个三角形的两边长分别为３和５,第三边长是偶数，则第三边长可以是（ ） A ．2 B.3 C.4 D.83.画△ABC 中AB 边上的高，下列画法中正确的是（ ）A B C D4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AD ，垂足为点D ，有下列说法： ①点A 与点B 的距离是线段AB 的长； ②点A 到直线CD 的距离是线段AD 的长； ③线段CD 是△ABC 边AB 上的高； ④线段CD 是△BCD 边BD 上的高． 上述说法中，正确的个数为_________个A 1个B 2个C 3个D 4个5．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC边上的动点，则AP 长不可能是（ ）A ． 3.5B ． 4.2C ． 5.8D ． 76.如图，在ABC △和DCB △中，AB DC =，AC 与BD 点E ，若不再添加任何字母与辅助线，要使ABC DCB △≌△，则还需增加的一个条件是（ ） A.AC=BD B.AC=BC C.BE=CE D.AE=DE7. 如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF=∠=∠=，，；（第4题）③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）A． 60° B． 120° C． 60°或150° D． 60°或120° 9．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC 的两边相交于点E ，F ，分别以点E 和点F 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线BM ，交AC 于点D ．若△BDC 的面积为10，∠ABC=2∠A ，则△ABC 的面积为（ ）A ． 25B ． 30C ． 35D ． 40 10．如图，已知∠ABC=60°，DA 是BC 的垂直平分线，BE 平分∠ABD 交AD 于点E ，连接CE ．则下列结论：①BE=AE ；②BD=AE ；③AE=2DE ；④S △ABE =S △CBE ，其中正确的结论是（ ） A ． ①②③ B ． ①②④ C ．①③④ D ． ②③④二、填空题11、①____________)()(323=-⋅-a a ；②如果23nx =，则34()n x =________.③若53,45nn==，则20n 的值是_______.12.如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ∥AC ，DC ∥EF ，则与∠ACD 相等角有_____个．13．将一个正方形截去一个角，则其边数 _________ ．14.如图，直角ABC 的周长为2015，在其内部有五个小直角三角形，则这五个小直角三角形的周长为 __________．（第12题）15.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A'重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=____________.16.在 △ABC 中AB=4，AC=3，以BC 为边在形外作 等边三角形△BCD,则AD 的最大值为____________.三、解答题17.计算)53(32)21(322yz y x xyz -⋅⋅-18.计算23223)4()()6()3(5a ab ab ab b b a -⋅--⋅-+-⋅19.已知点A（x，4﹣y）与点B（1﹣y，2x）关于y轴对称，求y x 的值．20.一个三角形三边长之比为2：3：4，周长为36cm ，求此三角形的三边长． 21．若多边形的所有内角与它的一个外角的和为600°，求边数和内角和．22.△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ． （1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD 的大小． （2）若∠B ＜∠C ，则2∠EAD 与∠C-∠B 是否相等？若相等，请说明理由．23．如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ． （1）求证：△ABE ≌△CAD ； （2）求∠BFD 的度数．第22题 （第15题）BNMN OM24.（10分）某班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠A OB的平分线．（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．25.（12分） 如图，A （4，0），B （0，4）点N 为OA 上一点，OM ⊥BN 于M ，且∠ONB=45°+∠NOM 。
2014—2015学年上学期C组联盟期中检测八年级数学试卷命题人：审题人：2014.11一、选择题．(共10小题，每小题3分，共30分)1、如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．82、下列图案中轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，－2）B．（－3，2）C．（－3，－2）D．（2，－3）4、如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（）A．48°B．54°C．74°D．78°第4题图5、可以把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是（）A．三角形的高B．三角形的角平分线;C．三角形的中线; D．无法确定6、如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D．使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．它的理论依据是（）第6题图A．SSS B．SAS C．ASA D．HL7、将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°第7题图8、如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）A．B．C．D．9、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为（）.A．2 B．4 C．6 D．8第9题图10、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；第10题图③点D在AB的垂直平分线上；④△ABC的周长为AC+ BC．A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11、如图，为了防止门板变形，小明在门板上钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的理由是利用了三角形的______．12、如图，BD是△ABC的中线、AE是△ABC的角平分线，AC =10cm , ∠BAC = 70°,则AD=_________,∠BAE =_________．第11题图 第12题图 第13题图13、如图，∠1 =∠2 =30°，∠3 =∠4，∠A = 80°，则x=_______，y =________．14、如图，∠A =∠D =90°，AC =DB ，欲证OB = OC ，可以先利用“斜边直角边定理（HL ）”说明______≌______得到AB = DC ．再利用___________定理证明△A O B ≌ _________得到OB = OC 。
2014-2015学年湖北省武汉市梅苑中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）如图所示，图中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下面各组线段中，能组成三角形的是（）A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，143．（3分）一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形4．（3分）下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（）A．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DFB．AB=DE，BC=EF，∠A=∠DC．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FD．AB=DE，△ABC的周长等于△DEF的周长5．（3分）等腰三角形的两边长为3和6，则此等腰三角形的周长为（）A．12或15 B．12 C．15 D．186．（3分）已知A，B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A，B关于x轴对称；②A，B关于y轴对称；③A，B关于原点对称；④A，B 之间的距离为4，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）A．70°B．50°C．40°D．20°8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC 于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm9．（3分）如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（）A．5 B．4 C．3 D．210．（3分）如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC于M，连CD．下列结论：①AC+CE=AB；②；③∠CDA=45°；④=定值．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有对．12．（3分）已知△ABC≌△A′B′C′，A与A′，B与B′是对应点，△A′B′C′周长为9cm，AB=3cm，BC=4cm，则A′C′=cm．13．（3分）如图，∠ABC=∠DEF，AB=DE，要证明△ABC≌△DEF，需要添加一个条件为：（只添加一个条件即可）．14．（3分）已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD ∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10 cm，则△ODE的周长cm．15．（3分）如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，则五边形ABCDE 的面积为．16．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，边AB绕点A逆时针旋转m°，（0＜m＜360）得到线段AD，连接BD、DC．若△BDC为等腰三角形，则m所有可能的取值是．三、解答题（本题共9小题，共72分）17．（6分）已知三角形两边的长是2cm和7cm，第三边的长为奇数，求这个三角形的周长．18．（6分）已知△ABC中，∠B﹣∠A=70°，∠B=2∠C，求∠A、∠B、∠C的度数．19．（6分）如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△DEF．20．（7分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使PB1+PC最小；（3）在DE上画出点Q，使QA+QC最小．21．（12分）已知BC=ED，AB=AE，∠B=∠E，F是CD的中点，求证：AF⊥CD．22．（12分）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E 是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．23．（12分）D为等边△ABC外一点，且BD=CD，∠BDC=120°，点M，N分别在AB，AC上，若BM+CN=MN（1）∠MDN=度；（2）作出△DMN的高DH，并证明DH=BD；（3）在第（2）的基础上，求证：MD平分∠BDH．24．（12分）（1）如图，过顶点B的一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，当∠C是其中一个等腰三角形的顶角，∠C=40°时，∠ABC=度；当∠C为△ABC中最小时，探究∠ABC与∠C之间的数量关系；（2）在△ABC中，若AB=BC，则过其中一个顶点的一条直线，将△ABC分成两个等腰三角形，请直接写出△ABC顶角的度数．25．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C分别在坐标轴上，=25．点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向且OA=OB=OC，S△ABC下运动，连接PA、PB，D为线段AC的中点．（1）求D点的坐标；（2）设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，DP与DB垂直相等；（3）若PA=PB，在第四象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠QBA=∠PBQ+∠QAB=30°．当Q在第四象限内运动时，判断△APQ的形状，并说明理由．2014-2015学年湖北省武汉市梅苑中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）如图所示，图中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、有四条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误；B、有三条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项正确；D、有二条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．2．（3分）下面各组线段中，能组成三角形的是（）A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14【解答】解：A、∵5+6＜11，∴不能组成三角形，故A选项错误；B、∵8+8=16，∴不能组成三角形，故B选项错误；C、∵5+4＜10，∴不能组成三角形，故C选项错误；D、∵6+9＞14，∴能组成三角形，故D选项正确．故选：D．3．（3分）一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【解答】解：多边形的边数是：n=360°÷（180°﹣135°）=8．故选：B．4．（3分）下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（）A．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DFB．AB=DE，BC=EF，∠A=∠DC．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FD．AB=DE，△ABC的周长等于△DEF的周长【解答】解：A、∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF符合ASA，能判定两三角形全等，故选项正确；B、AB=DE，BC=EF，∠A=∠D是SSA，不能判定两三角形全等，故选项错误；C、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F是AAA，不能判定两三角形全等，故选项错误；D、AB=DE，△ABC的周长等于△DEF的周长，三边不可能相等，故选项错误．故选：A．5．（3分）等腰三角形的两边长为3和6，则此等腰三角形的周长为（）A．12或15 B．12 C．15 D．18【解答】解：∵三角形中任意两边之和大于第三边∴当另一边为3时3+3=6不符∴另一边必须为6∴周长为3+6+6=15故选：C．6．（3分）已知A，B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A，B关于x轴对称；②A，B关于y轴对称；③A，B关于原点对称；④A，B 之间的距离为4，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：正确的是：②A，B关于y轴对称；④若A，B之间的距离为4．故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）A．70°B．50°C．40°D．20°【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°，又∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠DCB=90°﹣70°=20°．故选：D．8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC 于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm【解答】解：∵△DBC的周长=BC+BD+CD=35cm（已知）又∵DE垂直平分AB∴AD=BD（线段垂直平分线的性质）故BC+AD+CD=35cm∵AC=AD+DC=20（已知）∴BC=35﹣20=15cm．故选：C．9．（3分）如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：如图，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DEG=∠DAE+∠ADE=15°+15°=30°，DE=AE=8，过D作DG⊥AC于G，则DG=DE=×8=4，∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∴∠BAD=∠CAD，∵DF⊥AB，DG⊥AC，∴DF=DG=4．故选：B．10．（3分）如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC于M，连CD．下列结论：①AC+CE=AB；②；③∠CDA=45°；④=定值．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：过E作EQ⊥AB于Q，∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，∴CE=EQ，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ⊥AB，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ，∴∠QEB=45°=∠CBA，∴EQ=BQ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE，∴①正确；作∠ACN=∠BCD，交AD于N，∵∠CAD=∠CAB=22.5°=∠BAD，∴∠DBA=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠DBC=67.5°﹣45°=22.5°=∠CAD，∴∠DBC=∠CAD，∵AC=BC，∠ACN=∠DCB，∴△ACN≌△BCD，∴CN=CD，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，∴∠CND=∠CDN=45°，∴∠ACN=45°﹣22.5°=22.5°=∠CAN，∴AN=CN，∴∠NCE=∠AEC=67.5°，∴CN=NE，∴CD=AN=EN=AE，∴②正确，③正确；过D作DH⊥AB于H，∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，∠DBA=90°﹣∠DAB=67.5°，∴∠MCD=∠DBA，∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，∴DM=DH，在△DCM和△DBH中∠M=∠DHB=90°，∠MCD=∠DBA，DM=DH，∴△DCM≌△DBH，∴BH=CM，由勾股定理得：AM=AH，∴====2，∴④正确；故选：D．二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有3对．【解答】解：图中全等三角形有△ABC≌△ADC，△ABO≌△ADO，△CBO≌△CDO，共3对，故答案为：3．12．（3分）已知△ABC≌△A′B′C′，A与A′，B与B′是对应点，△A′B′C′周长为9cm，AB=3cm，BC=4cm，则A′C′=2cm．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，A与A′，B与B′是对应点，∴A′C′=AC，在△ABC中，周长为9cm，AB=3cm，BC=4cm，∴AC=2cm，即A′C′=2cm．故填2．13．（3分）如图，∠ABC=∠DEF，AB=DE，要证明△ABC≌△DEF，需要添加一个条件为：BC=EF（只添加一个条件即可）．【解答】解：所添条件为：BC=EF．∵BC=EF，∠ABC=∠DEF，AB=DE∴△ABC≌△DEF（SAS）．14．（3分）已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD ∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10 cm，则△ODE的周长10cm．【解答】解：∵OC、OB分别是∠ACB、∠ABC的角平分线，∴∠5=∠6，∠1=∠2，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠4=∠6，∠1=∠3．∴∠4=∠5，∠2=∠3，即OD=BD，OE=CE．∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm．故答案为：10．15．（3分）如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，则五边形ABCDE 的面积为4．【解答】解：延长DE到F，使EF=BC，连接AC，AD，AF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，∵CD=BC+DE，EF=BC，∴CD=DF，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS），∵△ABC≌△AEF，=S△AEF，∴S△ABC=S△ABC+S四边形AEDC=S△AEF+S四边形AEDC=2S△ADF，∴S五边形ABCDE∵AB=CD=AE=2，∠AED=90°，∴S=2，△ADF=4．则S五边形ABCDE故答案为：416．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，边AB绕点A逆时针旋转m°，（0＜m＜360）得到线段AD，连接BD、DC．若△BDC为等腰三角形，则m所有可能的取值是20°，80°，200°，320°．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣40°）=70°．如图：分四种情况，由图可知m的取值为：20°，80°，200°，320°．故答案为：20°，80°，200°，320°．三、解答题（本题共9小题，共72分）17．（6分）已知三角形两边的长是2cm和7cm，第三边的长为奇数，求这个三角形的周长．【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系定理可得：7﹣2＜x＜7+2，5＜x＜9，∵第三边的长为奇数，∴x=7，∴三角形的周长为2+7+7=16（cm）．18．（6分）已知△ABC中，∠B﹣∠A=70°，∠B=2∠C，求∠A、∠B、∠C的度数．【解答】解：∵△ABC中，∠B﹣∠A=70°，∠B=2∠C∴∠A=∠B﹣70°=2∠C﹣70°∵∠A+∠B+∠C=180°∴2∠C﹣70°+2∠C+∠C=180°∴∠A=30°，∠B=100°，∠C=50°19．（6分）如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BC=EF．∵∠ACB=∠F，∴，∴△ABC≌△DEF（ASA）．20．（7分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使PB1+PC最小；（3）在DE上画出点Q，使QA+QC最小．【解答】解：如图所示：（1）△A1B1C1即为所求．（2）连接B1C与直线DE的交点P即为所求．（3）作点A关于直线DE的对称点A′，连接A′C，交直线DE于点Q，点Q即为所求．21．（12分）已知BC=ED，AB=AE，∠B=∠E，F是CD的中点，求证：AF⊥CD．【解答】解：如图，连接AC、AD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS）．∴AC=AD．∴△ACD是等腰三角形．又∵点F是CD的中点，∴AF⊥CD．22．（12分）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E 是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，在△AEC和△CGB中，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG，（2）解：BE=CM．证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，又∵∠ACM=∠CBE=45°，在△BCE和△CAM中，，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．23．（12分）D为等边△ABC外一点，且BD=CD，∠BDC=120°，点M，N分别在AB，AC上，若BM+CN=MN（1）∠MDN=60度；（2）作出△DMN的高DH，并证明DH=BD；（3）在第（2）的基础上，求证：MD平分∠BDH．【解答】（1）解：如图，将△BDM顺时针旋转120°得到△CDE，则DM=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，∴EN=CE+CN=BM+CN=MN，∵BM+CN=MN，∴MN=EN，在△DMN和△DEN中，，∴△DMN≌△DEN（SSS），∴∠MDN=∠EDN，∴∠MDN=∠BDC×120°=60°；（2）证明：△DMN的高DH如图，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=（180°﹣120°）=30°，在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=60°+30°=90°，∴BD⊥AB，CD⊥AC，S△DMN=MN•DH，S△BDM+S△CDN=BM•BD+CN•CD=BD•（BM+CN），∵BM+CN=MN，S=S△BDM+S△CDN，△DMN∴BD=DH；（3）证明：∵∠ABD=90°，DH⊥MN，BD=DH，∴MD平分∠BDH．24．（12分）（1）如图，过顶点B的一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，当∠C是其中一个等腰三角形的顶角，∠C=40°时，∠ABC=105度；当∠C为△ABC中最小时，探究∠ABC与∠C之间的数量关系；（2）在△ABC中，若AB=BC，则过其中一个顶点的一条直线，将△ABC分成两个等腰三角形，请直接写出△ABC顶角的度数．【解答】解：（1）过B作直线BE交AC于D．∵∠C为顶角，∴∠DBC=∠CDB==70°，∴∠ADB=110°，∠ABD=∠A==35°，∴∠ABC=35°+70°=105°．∵∠ADB=∠C+=90°+∠C，∴∠ADB为钝角，又∵同一个三角形中内角不能存在两个钝角，∴∠A不能为顶角．当∠ADB为顶角时，∠ABC=∠ABD+∠DBC=+∠DBC==135°﹣∠C．故答案为：105；（2）①如图1，∵AB=AC，当BD=CD，CD=AD，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠BAC=90°．②如图2，∵AB=AC，AD=BD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，∴∠BAC=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠BAC=108°．③如图3，∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．④如图4，∵AB=AC，AD=BD，CD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=3∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴7∠BAC=180°，∴∠BAC=（）°25．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C分别在坐标轴上，=25．点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向且OA=OB=OC，S△ABC下运动，连接PA、PB，D为线段AC的中点．（1）求D点的坐标；（2）设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，DP与DB垂直相等；（3）若PA=PB，在第四象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠QBA=∠PBQ+∠QAB=30°．当Q在第四象限内运动时，判断△APQ的形状，并说明理由．【解答】解：（1）设OA=OB=OC=a，则AB=OA+OB=2a，S△ABC=•AB•OC=a2=25，解得：a=5．故点A（﹣5，0），点B（5，0），点C（0，﹣5）．又∵D为线段AC的中点，∴点D坐标为（﹣，﹣）．（2）过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，如答图1：∵D坐标为（﹣，﹣）．∴DM=DN，∠MDN=90°，∵∠MDB+∠BDN=90°，∠DNP+∠BDN=90°，∴∠MDB=∠DNP，∴△MDB≌△NDP（ASA），∴PN=BM=7.5，PC=5，∴t=5．（3）△APQ是等腰三角形；理由如下：在y轴负半轴上取一点M，使AM=AB，∴△ABM为等边三角形，∵∠PBQ+∠QAB=30°，∠PBQ+∠PBM=30°，∴∠QAB=∠PBM，∵∠BMO=∠ABQ=30°，∴△ABQ≌△BMP（ASA），∴AQ=BP，又∵BP=AP，∴AQ=AP ，∴△APQ 是等腰三角形．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P 2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
DBC2014-2015学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图所示，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边．若∠A=100°，∠F=47°，则∠B的度数是（）A．33°B．47°C．53°D．100°3．（3分）如图所示，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②∠A=∠D；∠B=∠E，∠C=∠F；③AB=DE，BC=EF，∠B=∠E；④AB=DE，∠C=∠F，AC=DF．其中能使△ABC≌△DEF的条件的组数共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组4．（3分）△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）A．1＜AB＜29 B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜195．（3分）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（）A．房屋顶支撑架B．自行车三脚架C．拉闸门D．木门上钉一根木条6．（3分）若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．87．（3分）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为（）A．16cm B．28cm C．26cm D．18cm8．（3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=20°，则∠CDE=（）A．10°B．15°C．20°D．30°9．（3分）如图所示，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B、C，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D．∠MON=50°，则∠BDC=（）A．120°B．130°C．140° D．150°10．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC 于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，已知△ABC，BD、CD分别平分∠CBM和∠BCN，∠D=67°，则∠A=．12．（3分）如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AB垂足为E，S△ABC=60cm2，AB=9cm，BC=15cm，则DE的长是．13．（3分）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图，2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，…，则在第9个图形中，互不重叠的三角形共有个．14．（3分）如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为．15．（3分）已知直角△ABC中，I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作BC的垂线，垂足为H，若BC=6，AC=8，AB=10，那么IH的值为．16．（3分）过等腰Rt△ABC的直角顶点C作直线l，过A、B分别作AD⊥l于D，BE⊥l于E点，已知AD=5，BE=3，则DE的长为．三、解答题（本大题共7小题，共72分）17．（10分）如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB=DC，求证：∠ABD=∠ACD．18．（10分）如图所示，在△ABC中，∠C=90゜，∠CAB、∠CBA的平分线相交于点D，BD的延长线交AC于E，求∠ADE的度数．19．（10分）已知一等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，2x﹣1，x+3，试求这个等腰三角的周长．20．（10分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．21．（10分）如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF （不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．（1）你添加的条件是：；并证明△BDE≌△CDF；（2）若AD=10，求AF+AE的长．22．（10分）在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过A作AD ⊥BP于D，交直线BC于Q．（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ．（2）当P在线段AC的延长线上时，请在图2中画出图形，并求∠CPQ．（3）如图3，当P在线段AC的延长线上时，∠DBA=时，AQ=2BD．23．（12分）我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两=S△ADC，个三角形，那么这条直线平分三角形的这个顶点的对边．如图1，若S△ABD则BD=CD成立．请你直接应用上述结论解决以下问题：（1）已知：如图2，AD是△ABC的中线，沿AD翻折△ADC，使点C落在点E，DE交AB于F，若△ADE与△ADB重叠部分面积等于△ABC面积的，问线段AE 与线段BD有什么关系？在图中按要求画出图形，并说明理由．（2）已知：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4，点D是AB边的中点，点P是BC边上的任意一点，连接PD，沿PD翻折△ADP，使点A落在E，若△PDE与△PDB重叠部分的面积等于△ABP面积的，直接写出BP2的值．2014-2015学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选：A．2．（3分）如图所示，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边．若∠A=100°，∠F=47°，则∠B的度数是（）A．33°B．47°C．53°D．100°【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠C=∠F=47°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣100°﹣47°=33°，故选：A．3．（3分）如图所示，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②∠A=∠D；∠B=∠E，∠C=∠F；③AB=DE，BC=EF，∠B=∠E；④AB=DE，∠C=∠F，AC=DF．其中能使△ABC≌△DEF的条件的组数共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．第②组满足AAA，不能证明△ABC≌△DEF．第③组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．所以有2组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有2组．故选：B．4．（3分）△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）A．1＜AB＜29 B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜19【解答】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．在△ABD和△ECD中，BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，∴△ABD≌△ECD（SAS）．∴AB=CE．在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE﹣AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19．则9＜AB＜19．故选：D．5．（3分）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（）A．房屋顶支撑架B．自行车三脚架C．拉闸门D．木门上钉一根木条【解答】解：伸缩的拉闸门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性，故选：C．6．（3分）若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．8【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意（n﹣2）•180°=360°，解得n=4．故选：A．7．（3分）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为（）A．16cm B．28cm C．26cm D．18cm【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE=CE，∴CE+BE=AB=10cm．∵BC=8cm，∴△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB=8+10=18（cm）．故选：D．8．（3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=20°，则∠CDE=（）A．10°B．15°C．20°D．30°【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+20°，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED=∠C+∠EDC，∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∴∠C+∠EDC=∠ADC﹣∠EDC=∠B+20°﹣∠EDC，解得∠EDC=10°．故选：A．9．（3分）如图所示，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B、C，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D．∠MON=50°，则∠BDC=（）A．120°B．130°C．140° D．150°【解答】解：过点D作DE⊥OM于点E，作DF⊥ON于点F，如图，∵P为BC的中点，且DP⊥BC，∴DB=DC，∵OD平分∠MON，∴DE=DF，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠DCF=∠DBE，∵∠DBE+∠OBD=180°∴∠DCF+∠OBD=180°，∴∠MON+∠BDC=180°，∵∠MON=50°，∴∠BDC=130°．10．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC 于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设BC=BD=x，AD=y，因为∠C=∠ADE=90°∠A=∠A，所以△ADE∽△ACB；两三角形的周长之比为1：2，所以AD：AC=1：2，则AC=2y；根据三角形ABC的周长为12得：x+（x+y）+2y=12；即：2x+3y=12…①根据勾股定理得：（2y）2+x2=（x+y）2，即：2x=3y…②联合①②得：x=3，y=2；故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，已知△ABC，BD、CD分别平分∠CBM和∠BCN，∠D=67°，则∠A=46°．【解答】解：∵BD 、CD 分别平分∠CBM 和∠BCN ，∴∠1=∠CBM ，∠2=∠BCN ，∵∠1+∠2=180°﹣∠D=180°﹣67°=113°， ∴（∠CBM +∠BCN ）=113°，即∠CBM +∠BCN=226°，∵∠ABC=180°﹣∠CBM ，∠ACB=180°﹣∠BCN ，∴∠ABC +∠ACB=360°﹣（∠CBM +∠BCN ）=360°﹣226°=134°，∴∠A=180°﹣（∠ABC +∠ACB ）=180°﹣134°=46°．故答案为46°．12．（3分）如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AB 垂足为E ，S △ABC =60cm 2，AB=9cm ，BC=15cm ，则DE 的长是 5 ．【解答】解：∵如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DF ⊥BC ，垂足为F ，∴DE=DF ．∵S △ABC =60，AB=9，BC=15，∴S △ABD +S △BCD =AB•DE +BC•DF=60，即×9•DE+×15•DE=60，解得DE=5．故答案为：5．13．（3分）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图，2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，…，则在第9个图形中，互不重叠的三角形共有28个．【解答】解：根据题意，结合图形，显然后一个图总比前一个图多3个三角形．则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1．当n=9时，3×9+1=28．故答案为：28．14．（3分）如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，即∠DBE=30°，又DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°，∴∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，即∠CDE=∠E，∴CD=CE；∵等边△ABC的周长为9，∴AC=3，∴CD=CE=AC=．故答案为：．15．（3分）已知直角△ABC中，I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作BC的垂线，垂足为H，若BC=6，AC=8，AB=10，那么IH的值为2．【解答】解：作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接OA、OB、OC，∵I为△ABC各内角平分线的交点，IE⊥AC，IF⊥AB，IH⊥BC，∴IE=IF=IH，则×BC×IH+×AC×IE+×AB×IF=×BC×AC，解得，IH=2，故答案为：2．16．（3分）过等腰Rt△ABC的直角顶点C作直线l，过A、B分别作AD⊥l于D，BE⊥l于E点，已知AD=5，BE=3，则DE的长为2．【解答】解：若A、B在直线l的异侧，如图：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠CAD+∠DCA=90°，∠CBE+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE=2；若A、B在直线l的同侧，如图：同理可证得：DE=AD+BE=8；故答案为2或8．三、解答题（本大题共7小题，共72分）17．（10分）如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB=DC，求证：∠ABD=∠ACD．【解答】证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB，∴△ACB与△DBC均为直角三角形，在Rt△ACB与Rt△DBC中，，∴Rt△ACB≌Rt△DBC（HL），∴∠ABC=∠DCB，∴∠ACB﹣∠DCB=∠DBC﹣∠ABC，即：∠ABD=∠ACD．18．（10分）如图所示，在△ABC中，∠C=90゜，∠CAB、∠CBA的平分线相交于点D，BD的延长线交AC于E，求∠ADE的度数．【解答】解：∵∠C=90゜，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠CAB、∠CBA的平分线相交于点D，∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=×90°=45°，∴∠ADE=∠DAB+∠DBA=45°．19．（10分）已知一等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，2x﹣1，x+3，试求这个等腰三角的周长．【解答】解：∵等腰三角形三边的长分别是3x﹣2，2x﹣1，x+3，∴①如果3x﹣2=2x﹣1，则x=1，三边为：1，1，4；1+1＜4，不能组成三角形，舍去；②如果2x﹣1=x+3，则x=4，三边为：7，7，10，∴周长为24；③如果3x﹣2=x+3，则x=，三边为：，，4；∴周长为15∴它的周长是24或15．20．（10分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．【解答】证明：（1）∵AD∥BE，∴∠A=∠B，在△ACD和△BEC中∴△ACD≌△BEC（SAS），（2）∵△ACD≌△BEC，∴CD=CE，又∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE．21．（10分）如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF （不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．（1）你添加的条件是：D是BC的中点；并证明△BDE≌△CDF；（2）若AD=10，求AF+AE的长．【解答】解：（1）添加的条件是：D是BC的中点；理由：∵CF∥BE，∴∠CFE=∠BED，在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）∵△BDE≌△CDF，∴DE=FD，∵AD=AF+DF=10，∴AF+DE=10，∴AF+AE=AD+AF+DE=20．22．（10分）在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过A作AD ⊥BP于D，交直线BC于Q．（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ．（2）当P在线段AC的延长线上时，请在图2中画出图形，并求∠CPQ．（3）如图3，当P在线段AC的延长线上时，∠DBA=22.5°时，AQ=2BD．【解答】（1）证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，∴∠DAP=∠CBP，在△ACQ和△BCP中，∴△ACQ≌△BCP（ASA），∴BP=AQ；（2）解：如图2所示：∵∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，∴∠CAQ=∠DBQ，在△AQC和△BPC中，∴△AQC≌△BPC（ASA），∴QC=CP，∵∠QCD=90°，∴∠CQP=∠CPQ=45°；（3）解：当∠DBA=22.5°时，AQ=2BD；∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=45°，∴∠P=22.5°，∴∠DBA=∠P，∴AP=AB，∵AD⊥BP，∴AD=DP，∵∠ACQ=∠ADP=90°，∠PAD=∠QAC，∴∠P=∠Q，在△ACQ和△BCP中，∴△ACQ≌△BCP（ASA），∴BP=AQ，∴此时AQ=BP=2BD．故答案为：22.5°．23．（12分）我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条直线平分三角形的这个顶点的对边．如图1，若S=S△ADC，△ABD则BD=CD成立．请你直接应用上述结论解决以下问题：（1）已知：如图2，AD是△ABC的中线，沿AD翻折△ADC，使点C落在点E，DE交AB于F，若△ADE与△ADB重叠部分面积等于△ABC面积的，问线段AE 与线段BD有什么关系？在图中按要求画出图形，并说明理由．（2）已知：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4，点D是AB边的中点，点P是BC边上的任意一点，连接PD，沿PD翻折△ADP，使点A落在E，若△PDE与△PDB重叠部分的面积等于△ABP面积的，直接写出BP2的值．【解答】（1）解：如图2，线段AE与BD平行且相等．理由如下：∵AD是△ABC的中线，=S△ADC=S△ABC．∴S△ABD=S△ABC，∵S△ADF=S△BDF=S△ABD，∴S△ADF∴AF=AF．同理，DF=EF．在△AFE与△BFD中，，∴△AFE≌△BFD（SAS），∴AE=BD，∠EAF=∠DBF，∴AE∥BD．∴线段AE与BD平行且相等；（2）BP2=4或12．。
