新人教版九年级数学上——圆的概念与垂径定理
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让每个人平等地提升自我
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知识点一、圆的定义
1、圆的第一定义：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作：⊙O，读作圆O．
2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是：圆，一中同长也．
3．圆的第二定义：
由圆的定义可知：
(1)圆上的各点到圆心的距离都等于定长（即半径r)；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
(2)要确定一个圆，需要两个基本条件：一个是圆心，另一个是半径，其中，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
注意：由圆的概念可知：○1“圆”指的是“圆周”，即一条封闭的曲线，而不是圆面。
○2确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径。
例题1：下列说法错误的有（ ）
○1经过P点的圆有无数个；
○2以P为圆心的圆有无数个；
○3半径为3cm且经过P点的圆有无数个；
○4以p为圆心，以3cm为半径的圆有无数个。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
圆的概念与垂径定理
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2
知识点二、圆的有关概念
1．弦：
连结圆上任意两点间的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．并且直径是同一圆中最长的弦．
2. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作AC，
读作圆弧AC或弧AC ．
3．圆的直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧；（如图所示ABC叫做优弧）
小于半圆的弧叫做劣弧．（如图所示）AC或BC叫做劣弧．
5．半径相等的两个圆叫做等圆．反过来，等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。
BACO
例题2：下列命题中，正确的个数是（ ）。
○1直径是圆中最长的弦；○2弧是半圆； ○3过圆心的直线是直径； ○4半圆不是弧。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例题3：下列几个命题中，正确的是（ ）
A．两条弧的长度相等，那么他们是等弧
B. 等弧只有在同圆中存在
C. 度数相等的弧的长度相等
D. 等弧的长度相等
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3 巩固练习．
如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．
(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．
综合讲练．
讲练1：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
(1)求证：∠AOC=∠BOD；
(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．
讲练2：如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．
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知识点三、垂直于弦的直径（垂径定理）
1．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
说明：①圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径本身．
②圆有无数条对称轴．
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
用符号语言描述：
∵⊙O中CD是直径、AB是弦，且CD⊥AB于M，
∴AM＝BM，ACBC，ADBD．
你能试着证明吗？
说明：①垂径定理中的直径可以是过圆心的的直线或线段；
②在有关计算直径或半径、弦长以及圆心到弦的距离等问题中，垂径定理常常和勾股定理结合使用，
即：（弦的一半）2＋（圆心到弦的距离）2＝（半径）2．
例1 如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是
A．MP与RN的大小关系不定 =RN
＜RN ＞RN
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5 CDOMBA· A
B C D O
M
第2题图
例2 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，求DC的长
【课堂操练】
1．如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为（ ）
A、25° B、30° C、40° D、50°
2．如图，在直径AB＝12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，求弦CD的长（结果保留根号）.
3．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，ABCD，垂足为M，OM：OC＝3：5，求AB的长
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知识点四、垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论3：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
问：你能分别用符号语言描述吗？请试着表示！
概念理解：
1．下面四个命题中正确的一个是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
2．下列命题中，正确的是（ ）．
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线必过圆心
C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧
跟踪练习：
1、．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．
1题图
2．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．
2题图 百度文库 - 让每个人平等地提升自我
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3．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．
3题图
4．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是______．
4题图
5．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．
5题图
6．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．
6题图
综合讲练：
讲练1．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．
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讲练2．已知：如图，试用尺规将它四等分．
讲练3．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．
讲练4．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点．
(1)在CD上求作一点P，使得AP＋PB最短；
(2)若CD=4cm，求AP＋PB的最小值．
随堂练习：
1．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．
