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2019年山东泰安中考数学试题(解析版)

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2019年山东省泰安市中考数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 12小题，每小题 4 分，合计48分．{题目}1．（2019•山东省泰安市T1）在实数 3.14-，－3，，π中，最小的数是()A.B. －3C. 3.14-D. π{答案} B{解析}本题考查了实数比较大小，负数小于正数，两个负数绝对值大的反而小，π> 3.14->－3，因此本题选B ． {分值}4{章节:[1-6-3]实数}{考点:实数与绝对值、相反数} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}2．（2019•山东省泰安市T2）下列运算正确的是()A.633a a a ÷=B. 428a a a =gC. 23(2)a 66a =D. 224a a a +={答案} A{解析}本题考查了和幂有关的运算，同底数幂相除，底数不变，指数相减633a a a ÷=正确，因此本题选A ． {分值}4{章节:[1-15-2-3]整数指数幂} {考点:同底数幂的除法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}3．（2019•山东省泰安市T3）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道．将数据42万公里用科学记数法表示为()A.4.2×109米B.4.2×108米C.42×107米D.4.2×107米{答案} B{解析}本题考查了科学计数法，运用科学计数法时，通常写成10(110)n a a ⨯≤<的形式，其中n 比原数的数位少1，42万公里=420000000米，n 的值是8，因此本题选B ． {分值}4{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}4．（2019•山东省泰安市T4）下列图形其中，是轴对称图形且有两条对称轴的是( )A. ①②B.②③C.②④D.③④{答案} A{解析}本题考查了轴对称图形的概念及对称轴数量的查找，①②都有两条对称轴，③有4条对称轴，④不是轴对称图形，因此本题选A．{分值}4{章节:[1-13-1-1]轴对称}{考点:轴对称图形}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}5．（2019•山东省泰安市T5）如图，直线l l P,∠1=30°，则∠2+∠3=( )12A.150°B.180°C.210°D.240°{答案} C{解析}本题考查了平行线的性质，可以过∠2的顶点作一条和l平行的直线，根据平行公理可得这条1线也和l平行，则∠2+∠3=∠AOC+∠BOC+∠3=∠BOC+∠3+∠1=180°+30°=210°，因此本题选2C．{分值}4{章节:[1-5-3]平行线的性质}{考点:平行公理及推论}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}6．（2019•山东省泰安市T6）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示:下列结论不正确．．．的是( )A.众数是8B.中位数是8C.平均数是8.2D.方差是1.2{答案} D{解析}本题考查了统计中的常见三数一差，通过阅图，可以得出这10个数分别是：6、7、7、8、8、8、9、9、10、10，可以得出众数是8，中位数是8，平均数是:6778889910108.210+++++++++=，方差是：22222222221[(68.2)(78.2)(78.2)(88.2)(88.2)10(88.2)(98.2)(98.2)(108.2)(108.2)] 1.848s=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=因此本题选D．{分值}4{章节:[1-10-1]统计调查}{考点:计算器－方差}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}7．（2019•山东省泰安市T7）不等式组542(1)2532132x xx x+≥-⎧⎪+-⎨->⎪⎩的解集是( )A.x≤2B.2x≥- C.－2<x≤2 D.－2≤x<2{答案} D{解析}本题考查了一元一次方程组的解法，解不等式542(1)x x+≥-可得：2x≥-，解不等式2532132x x+-->可得：2x<，所以解集是－2≤x<2，因此本题选D．{分值}4{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}{考点:解一元一次不等式组}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}8．（2019•山东省泰安市T8）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为km A.30303+ B. 30103+ C. 10303+ D. 303{答案} B{解析}本题考查了运用三角函数解决方位角问题，考虑到需要构建直接三角形，同时考虑到AB 的长已知，所以可以尝试过点B 作AC 的垂线，交于点M ，由已知可得：∠BAM =∠BAE －∠CAE =65°－20°=45°，所以2cos4530230AM AB =⨯=⨯=o ，30BM AM ==；在Rt △CBM 中，∠CBM =∠GBH+∠HBA －∠CBG －∠ABM =90°+25°－40°－45°=30°，所以3tan3030103CM BM =⨯=⨯=o ，所以30103AC AM CM =+=+，因此本题选B ．{分值}4{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形－方位角} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}9．（2019•山东省泰安市T9）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A =119°，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则∠P 的度数为( )A.32°B.31°C.29°D.61°{答案} A{解析}本题考查了圆的切线的性质以及圆内接四边形的性质，可以设BP 交⊙O 于点D ，连接CD 、OC ，因为∠A =119°，所以∠BDC =61°，∠OCD =∠BDC =61°，则∠DOC =180°-61°-61°=58°，又∠OCP =90°，所以∠P =90°-58°=32°，因此本题选A ． {分值}4{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:切线的性质} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}10．（2019•山东省泰安市T10）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为( ) A.15B.25C.35D.45{答案} C{解析}本题考查了概率的初步知识，根据题意，通过列表或树形图可以得出：随机摸出两个小球，标号之和总共有20种情况，其中大于5的有12种，即：123205P ==，因此本题选C ．{分值}4{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:一步事件的概率} {类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}11．（2019•山东省泰安市T11）如图，将⊙O沿弦»AB折叠，AB恰好经过圆O，若⊙O的半径为3，则»AB的长为( )A.12π B.πC.2πD.3π{答案} C{解析}本题考查了轴对称的性质和圆的弧长公式，可以过点O作AB的垂线，交⊙O于点D,垂足为点M，连接OA、OB，在Rt△AOM中，112sin2ODOMOAMOA OA∠===，所以∠OAM=30°，则∠OMA=60°，∠AOB=2∠OMA=120°，»12032180ABLππ⨯==，因此本题选C．{分值}4{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}{考点:弧长的计算}{类别:北京作图}{难度:3-中等难度}{题目}12．（2019•山东省泰安市T12）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是( )A.2B.4C.2D.22{答案} D{解析}本题考查了矩形的性质、中位线的性质、垂线段最短、点的轨迹等，综合性特别强，难度非常大，根据中位线的性质可以得出点P的运动轨迹是线段P1P2，P1P2P CE，进而求出∠B P1P2=90°，再根据垂线段最短可以得出BP垂直P1P2时，PB取最小值，即位于P1位置时，根据勾股定理可以求得：222212222BP BC CP++=D．{分值}4{章节:[1-18-2-1]矩形}{考点:矩形的性质}{类别:思想方法}{类别:数学文化}{类别:高度原创}{类别:发现探究} {难度:6-竞赛题}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 6小题，每小题 4分，合计24分．{题目}13．（2019•山东省泰安市T13）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 .{答案}114k <-{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得：2224[(21)]41(3)0b ac k k -=---⨯⨯+>，解得：114k <-，因此本题正确答案是114k <-．{分值}4{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系} {考点:根的判别式} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}14．（2019•山东省泰安市T14）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题:“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为 .；{答案}911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩{解析}本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，根据题目中的两个等量关系“甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等”可得：911x y =：根据“两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，可得：(10)(8)13y x x y +-+=”，因此本题填写911(10)(8)13x yy x x y =⎧⎨+-+=⎩． {分值}4{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组} {考点:二元一次方程组的应用} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}15．（2019•山东省泰安市T15）如图，∠AOB =90°，∠B =30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB 于点D ，若OA =3，则阴影部分的面积为 .{答案}34π{解析}本题考查了扇形面积公式和割补法求不规则图形面积，考虑到阴影部分不规则，可以分成几个图形的和或差，为此根据题意可以连接OC ，因为∠AOB =90°，∠B =30°，OA =OC ，△AOC 是等边三角形，同时可以求得AB =6，所以BC =AC =3，阴影部分的面积是：()()AOC BOC AOC BOC AOC COD AOC COD S S S S S S S S -+-=-+-V V V V 扇形扇形扇形扇形考虑到两个三角形的面积相等，所以阴影部分的面积是：226033033=3603604πππ⨯⨯-，因此本题填34π．{分值}4{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:扇形的面积} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}16．（2019•山东省泰安市T16）若二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线x =2，则关于x 的程25213x bx x +-=-的解为 .{答案}122,4x x =={解析}本题考查了二次函数对称轴的含义以及一元二次方程的解法，由称轴为直线x =2可得：2221b b a -=-=⨯，解得：4b =-，解方程245213x x x --=-可得：122,4x x ==因此本题填122,4x x ==． {分值}4{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {考点:二次函数的定义} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}17．（2019•山东省泰安市T17）在平面直角坐标系中，直线:1l y x =+与y 轴交于点A 1，如图所示，依次作正方形OA 1B 1C 1，正方形C 1A 2B 2C 2，正方形C 2A 3B 3C 3，正方形C 3A 4B 4C 4，……，点A 1，A 2，A 3，A 4，……在直线l 上，点C 1，C 2，C 3，C 在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线长的和是 .{答案}222{解析}本题考查了一次函数、正方形的对角线、规律型问题，根据已知条件，可以求出前n 个正方2、22428222 根据等比数列求和公式可以得出它们的和是：1(1)2(12)2(21)2221n n n n a q S q -⨯-===-=-222． {分值}4{章节:[1-18-2-3] 正方形}{考点:正方形有关的综合题}{类别:思想方法}{类别:发现探究}{难度:5-高难度}{题目}18．（2019•山东省泰安市T18）如图，矩形ABCD中，AB=36，BC=12，E为AD中点，F 为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是.{答案}215{解析}本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的性质，解决问题的关键是通过勾股定理或是三角形相似来求EF的值，如果考虑勾股定理，FG长度不好求，那么不妨试一下相似，可以通过连接CE来构造相似三角形.连接CE，在Rt△CDE中，22226(36)310CE DE CD=++，则在Rt△CGE中，2222(310)636CG CE EG--，所以Rt△CGE≅Rt△CDE，则∠CED=∠CEG,又因为∠AEF=∠GEF,所以∠CEF=∠90°,所以Rt△CGE:Rt△GEF，CG CEGE EF=36310=，解得：215EF=215{分值}4{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}{考点:相似三角形的性质}{类别:常考题}{难度:4-较高难度}{题型:3-解答题}三、解答题：本大题共7 小题，合计78分．{题目}19．（2019•山东省泰安市T19）先化简，再求值：2541(9)(1)11aa aa a--+÷--++，其中a2.{解析}本题考查了分式的四则运算，其中主要涉及到完全平方公式，合理运用公式可以使运算更简便．最后的代入求值注意最后的结果需要分母有理化.{答案}解：解：原式=22892514111a a a aa a--+--+÷++…………………………………………3分=2(4)11(4)a aa a a-++-g…………………………………………………………6分=4aa-………………………………………………………………………7分当a=2时，原式=241222-=-………………………………………………8分{分值}8分{章节:[1-15-2-2]分式的加减}{难度:1-最简单}{类别:常考题}{考点:运用完全平方公式简便计算}{题目}20．（2019•山东省泰安市T20）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩(成绩都高于50分)，绘制了如下的统计图表(不完整):请根据以上信息，解答下列问题：(1)求出a，b的值；(2)计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；(3)若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人?{解析}本题考查了频数分布表和扇形统计图．（1）a，b的值可以通过先根据第三组数据求出学生总数，然后乘以它们各自所占的百分比即可；（2）“第5组”所在扇形圆心角的度数等于360°乘以这一组所占的总数的比例；（3）用1800乘以样本中80分以上的占总数的比例.{答案}解:(1)抽取学生的人数:10÷25%=40(人)a=40×30%=12，b=40－8－12－10－3=7…………………………………………………3分（2）360°×340=27°……………………………………………………………………5分(3)1800×81240+=900(人)所以，成绩高于80分的共有900人.……………………………………………………8分{分值}8分{章节:[1-10-1]统计调查}{难度:1-最简单}{类别:常考题}{考点:用样本估计总体}{题目}21．（2019•山东省泰安市T21）已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的象交于点A ，与x 轴交于点B (5，0)，若OB =AB ，且OAB S V =152. (1) 求反比例函数与一次函数的表达式;(2)若点P 为x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标.{解析}本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及等腰三角形的判定．（1）通过三角形的面积可以求出A 点的纵坐标，进而通过勾股定理求出横坐标，则点A 的坐标可求，分别代入一次函数及反比例函数解析式可以求得具体值；（2）若△ABP 是等腰三角形，则AB 可能是底也可能是腰，需要分情况讨论，当AB 是腰时，还要考虑到A 是顶点和B 是顶点两种情况，综上，需要分三种情况进行讨论，然后对结果进行验证，看是否符合题意，不要出现遗漏或错解. {答案}解：(1)过点A 作AD ⊥x 轴于点DQ OAB S V =152∴11155222OB AD AD ⨯=⨯⨯=g ∴3AD =…………………………………………………………………………………2分 Q B (5，0) ∴AB =OB =5在Rt △ABD 中，BD 2222534AB AD -=-=.∴OD =9∴A(9，3) ………………………………………………………………………………4分 Q m y x =经过点A ∴39m = ∴27m = ∴反比例函数表达式为27y x =.………………………………………………………5分 Q y kx b =+经过点A ，点B∴9350k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：34154k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴一次函数表达式为31544y x =-.…………………………………………………7分 (2)本题分三种情况 ①当以AB 为腰，且点B 为顶角顶点时，可得点P 的坐标为P 1 (0.0)、P 2(10，0) ………………………………………………………………………………………8分②当以AB 为腰，且以点A 为顶角顶点时，点B 关于AD 的对称点即为所求的点P 3(13，0) ………………………………………………………………………………9分③当以AB 为底时，作线段AB 的中垂线交x 轴于点P 4，交AB 于点E ，则点P 4即为所求 由(1)得，C (0，154-) 在Rt △OBC 中，BC254= Q cos ∠ABP 4=cos ∠OBC ∴4BE OB BP BC= ∴4552254BP = ∴4258BP = ∴42565588OP =+= ∴465(,0)8P ………………………………………………………………………11分{分值}11分{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}{难度:4-较高难度}{类别:思想方法}{类别:常考题}{类别:易错题}{考点:等腰三角形常见基本图形}{题目}22．（2019•山东省泰安市T22）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍(1)求A、B两种粽子的单价各是多少?(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变.求A种粽子最多能购进多少个?{解析}本题考查了运用分式方程和一元一次不等式解决实际问题．（1）根据题意列分式方程，需注意分式方程的解既要考虑是否有意义，还要考虑是否符合实际情况；（2）利用一元一次不等式确定A种粽子数量的取值范围，然后在范围内确定最多能购进多少.{答案}解:(1)设B种粽子的单价为x元，则A种粽子的单价为1.2x元根据题意，得15001500+=……………………………………………………………………3分11001.2x x解得: x=2.5……………………………………………………………………………5分经检验，x=2.5是原方程的根1.2x=1.2×2.5=3所以A种粽子的单价是3元，B种粽子的单价是2.5元…………………………7分(2)设A种粽子购进m个，则购进B种粽子(2600－m)个根据题意，得3m+2.5(2600－m )≤7000……………………………………………………………9分解得m≤1000所以，A种粽子最多能购进1000个. ……………………………………………11分{分值}11分{章节:[1-9-2]一元一次不等式}{难度:2-简单}{类别:常考题}{类别:易错题}{考点:其他分式方程的应用}{考点:不等式的简单应用问题}{题目}23．（2019•山东省泰安市T23）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点.(1)若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；(2)若PE⊥EC，如图②，求证:AE·A B=DE·AP;(3)在(2)的条件下，若AB=1，BC=2，求AP的长.{解析}本题考查了矩形的性质、菱形的判定、相似三角形的判定及性质、三角函数的应用等，综合性较强，熟练掌握相关图形的性质和判定是解决此题的关键．（1）根据角平分线的性质可以得到AP=PF，然后证明四边形AGFP是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判定；（2）证明两个乘积的式子相等，最常用的方法是证明它们所在的三角形相似，为此可以证明△AEP ∽△DEC，根据已知条件，根据同角的余角相等可以得到∠AEP=∠CED，根据平行线的性质和等角的余角相等可以得到∠P AE=∠CDE，问题得到解决；（3）根据（2）中的相似比求值即可.{答案}解：(1)证明:∵BP平分∠ABD，PF⊥BD，P A⊥AB∴AP=PF ∠ABP=∠CBE……………………………………………………………………1分又∵在Rt△ABP中，∠APB+∠ABP=90°在Rt△BGE中，∠BGE+∠GBE=90°∴APB=∠BGE…………………………………………………………………………………2分又:∠BGE=∠AGP∴∠APB=∠AGP∴AP=AG.∴AG=PF………………………………………………………………………………………3分∵PF⊥BD，AE⊥BD∴PF∥AG……………………………………………………………………………………4分∴四边形AGFP是平行四边形∴Y AGFP是菱形……………………………………………………………………………5分(2)∵AE⊥BD，PE⊥EC∴∠AEP+∠PED=90°，∠CED+∠PED=90°∴∠AEP=∠CED又∵∠P AE+∠ADE=90°，∠CDE+∠ADE=90∴∠P AE=∠CDE……………………………………………………………………………7分∴△AEP∽△DEC∴AE AP DE CD=∴AE·CD=DE·AP……………………………………………………………………………9分又∵CD =AB∴AE ·AB=DE ·AP ………………………………………………………………………10分(3)∵AB =1，BC =2 ∴1tan 2AE AB ADB DE AD ∠===………………………………………………………………11分 由(2)知12AP AE CD DE == ∴1122AP CD ==…………………………………………………………………………13分 {分值}13分{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:相似三角形的应用}{题目}24．（2019•山东省泰安市T24）若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴、y 轴分别交于点A (3，0)、B (0，-2)，且过点C (2，-2).(1)求二次函数表达式；(2)若点P 为抛物线上第一象限内的点，且PBA S V =4，求点P 的坐标；(3)在抛物线上(AB 下方)是否存在点M ，使∠ABO =∠ABM ?若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.{解析}本题考查了二次函数的综合运用，涉及到二次函数的图像和性质．（1）根据待定系数法把三个点的坐标代入可求；（2）可以用二次函数的解析式来表示点P 的坐标(m ，224233m m -- )；若直接求PBA S V 比较困难，可以利用割补法，即：PAB POA AOB POB S S S S =+-V V V V ，从而形成关于点P 坐标的方程，然后解方程，找出符合题意的点P 的坐标；（3）可以先求出直线AB 的表达式，然后过点M作ME ⊥y 轴，垂足为E.作MD ⊥x 轴交AB 于点D ，则D 的坐标为(t ，223t -)，MD =22233t t -+，BE =22433t t -+，最后在Rt △BEM 中利用勾股定理形成关于t 的方程求解.{答案}解：(1)因为抛物线2y ax bx c =++过点(0，－2)，∴c=－2，又因为抛物线过点(3，0)，(2，－2)∴93204222a b a b +-=⎧⎨+-=-⎩，…………………………………………………………………………2分 解，得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以，抛物线表达式为224233y x x =--……………………………………………………3分 (2)连接PO ，设点P (m ，224233m m -- ) 则PAB POA AOB POB S S S S =+-V V V V ………………………………………………………………5分=2124113(2)32223322m m m ⨯--+⨯⨯-⨯g g =23m m -……………………………………………………………………………7分 由题意得23m m -=4∴m =4或m =－1(舍)∴224102333m m --= ∴点P 的坐标为(4，103).……………………………………………………………………9分(3)设直线AB 的表达式为y kx n =+，因直线AB 过点A (3，0)、B (0，－2)∴302k n n +=⎧⎨=-⎩，解，得232k n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以AB 的表达式为223y x =-……………………………………………………………10分 设存在点M 满足题意，点M 的坐标为(t ，224233t t --).过点M 作ME ⊥y 轴，垂足为E.作MD ⊥x 轴交AB 于点D ，则D 的坐标为(t ，223t -)，MD =22233t t -+，BE =22433t t -+ 又MD ∥y 轴∴∠ABO =∠MDB又∴∠ABO =∠ABM∴∠MDB =∠ABM∴MD MB =…………………………………………………………………………………12分 ∴22233MB t t =-+在Rt △BEM 中22222242()(2)333t t t t t -++=-+ 解得：118t = 所以点M 到y 轴的距离为118…………………………………………………………………13分 {分值}13分{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质}{难度:5-高难度}{类别:发现探究}{类别:常考题}{考点:其他二次函数综合题}{题目}25．（2019•山东省泰安市T25）如图，四边形ABCD 是正方形，△EFC 是等腰直角三角形，点E 在AB 上，且∠CEF =90°，FG ⊥AD ，垂足为点G.(1)试判断AG 与FG 是否相等?并给出证明；(2)若点H 为CF 的中点，GH 与DH 垂直吗?若垂直给出证明；若不垂直，说明理由.{解析}本题考查了正方形性质、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等，综合性较强，难度比较大．（1）证明线段相等，最常用的方法是证明其所在的三角形全等，为此在BC 边上取BM=BE，连接EM、AF，然后根据已知条件去证明△AEF≌△MCE即可；（2）延长GH交CD于点Q,证明DGQV是等腰三角形，然后根据“三线合一”证明DH⊥GH.{答案}解：(1)AG=FG证明如下:在BC边上取BM=BE，连接EM、AF……………………………………………1分Q四边形ABCD是正方形∴AB=BC∴AE=CM………………………………………………………………………………………2分Q∠CEF=90°∴∠AEF+∠BEC=90°又Q∠BEC+∠BCE=90°∴∠AEF=∠BCE………………………………………………………………………………4分又∵CE=EF∴△AEF≌△MCE……………………………………………………………………………5分∴∠EAF=∠EMC=135°又Q∠BAD=90°∴∠DAF=135°－90°=45°………………………………………………………………6分又Q FG⊥CD∴AG=FG.……………………………………………………………………………7分(2)DH⊥GH证明如下:延长GH交CD于点QQ四边形ABCD是正方形∴AD⊥CD又∵FG⊥AD∴FG∥CD∴∠GFH=∠DCH………………………………………………………………………9分又∵GHF=∠CHQ FH=CH∴△FGH≌△CQH……………………………………………………………………11分∴GH=HQ FG=CQ………………………………………………………………12分∴AG=CQ∴DG=DQV是等腰三角形………………………………………………………………13分∴DGQ∴DH⊥GH……………………………………………………………………………14分{分值}14分{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}难度:5-高难度}{类别:常考题}{考点:等腰直角三角形}{考点:正方形的性质}。

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2019版泰安中考数学阶段检测试卷(一)(含答案)

2019版泰安中考数学阶段检测试卷(一)(含答案)

阶段检测一一、选择题1.在12,0,-1,-12这四个数中,最小的数是( ) A.12 B .0 C.-12 D.-12.(2018江苏南京)计算a 3·(a 3)2的结果是( )A.a 8B.a 9C.a 11D.a 183.(2017山东滨州)计算-(-1)+|-1|,结果为( )A.-2B.2C.0D.-14.(2018青岛)斑叶兰被列为国家二级保护植物,它的一粒种子重约0.000 000 5 克.将0.000 000 5用科学记数法表示为( )A.5×107B.5×10-7C.0.5×10-6D.5×10-65.下列式子是分式的是( )A.x 2B .x x+1 C.x 2+y D.x π6.(2018深圳)下列运算正确的是( )A.a 2·a 3=a 6B.3a-a=2aC.a 8÷a 4=a 2D.√a +√b =√ab7.如果(a m b n )2=a 8b 6,那么m 2-2n 的值是( )A.10B.52C.20D.328.(2017重庆B 卷)若二次根式√a -2有意义,则a 的取值范围是( )A.a≥2B.a≤2C.a>2D.a≠29.已知实数x,y 满足|x-4|+√y -8=0,则以x,y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A.20或16B.20C.16D.以上均不对10.已知A=4x 2-4,B=1x+2+12-x ,其中x≠±2,则A 与B 的关系是( )A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B11.(2018淄博)“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米,则下面所列方程中正确的是( )A.60x -60(1+25%)x =30 B.60(1+25%)x -60x =30 C.60×(1+25%)x -60x =30 D.60x -60×(1+25%)x x =30二、填空题12.(2018江苏连云港)分解因式:16-x 2= .13.若x,y 为实数,且|x+2|+√y -3=0,则(x+y)2 018的值为 .14.(2017滨州)计算:√3+(√3-3)0-|-√12|-2-1-cos 60°= . 15.(2018滨州)若分式x 2-9x -3的值为0,则x 的值为 .16.(2018淄博)将从1开始的自然数按如图所示的规律排列,例如位于第3行第4列的数是12,则位于第45行第8列的数是 .三、解答题17.(1)(2018浙江舟山)计算:2(√8-1)+|-3|-(√3-1)0;(2)(5a 2-ab+1)-2(2a 2-2ab +12);(3)(√6-4√12+3√8)÷(2√2);(4)(m +2-5m -2)÷m -32m -4.18.设3<a<4,且|a-3|-|a-4|=0,求-4a2+8a-3的值.19.(2018广东深圳)先化简,再求值:(xx-1-1)÷x2+2x+1x2-1,其中x=2.20.(2017威海)先化简x 2-2x+1x2-1÷(x-1x+1-x+1),然后从-√√合适的整数作为x的值代入求值.21.(2018湖南娄底)先化简,再求值:(1x+1+1x-1)÷xx+2x+1,其中x=√2.22.已知x 为整数,且2x+3+23-x +2x+18x 2-9为整数,求所有符合条件的x 值的和.阶段检测卷 答案精解精析阶段检测一一、选择题1.D2.B a 3·(a 3)2=a 3·a 6=a 3+6=a 9.3.B 原式=1+1=2.4.B ∵5前边有7个0,∴0.000 000 5=5×10-7.5.B ∵x 2,x 2+y,x π的分母中均不含有字母,∴它们都不是分式.∵x x+1的分母中含有字母,∴它是分式.故选B.6.B7.A ∵(a m b n )2=a 2m ·b 2n =a 8·b 6,∴2m=8,2n=6,∴m=4,n=3,∴m 2-2n=10.8.A ∵二次根式√a -2有意义,∴a -2≥0,即a≥2.9.B ∵|x -4|≥0,√y -8≥0,|x -4|+√y -8=0,∴|x -4|=0,x=4,√y -8=0,y=8.根据三角形的三边关系可知:4,4,8不能成为三角形的三边长;4,8,8可以成为三角形的三边长,且周长为20.10.C ∵B=1x+2+12-x =1x+2-1x -2=x -2-(x+2)x -4=-4x -4,∴A 与B 互为相反数.11.C 实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米,则原来每天绿化的面积为x 1+25%万平方米,依题意得60x 1+25%-60x =30,即60×(1+25%)x -60x =30.二、填空题12.答案 (4+x)(4-x)13.答案 1解析 由题意,得{x +2=0,y -3=0,解得{x =-2,y =3,∴(x+y)2 018=(-2+3)2 018=1. 14.答案 -√3解析 ①√3=√3;②(√3-3)0=1;③√12=√4×√3=2√3;④2-1=12;⑤原式=√3+1-2√3-12-12=-√3. 15.答案 -3解析 分式的值为零,分子为零,分母不为零.16.答案 2 018解析 观察题图可知:第n 行第1列的数是n 2,∴第45行第1列的数是2 025,∴第45行第8列的数是2 025-7=2 018.三、解答题17.解析 (1)原式=4√2-2+3-1=4√2.(2)原式=5a 2-ab+1-4a 2+4ab-1=a 2+3ab. (3)原式=(√6-2√2+6√2)÷(2√2)=(√6+4√2)÷(2√2) =√32+2.(4)原式=(m+2)(m -2)-5m -2·2m -4m -3 =m 2-9m -2·2(m -2)m -3=(m -3)(m+3)m -2·2(m -2)m -3=2m+6.18.解析 ∵3<a<4,|a -3|-|a-4|=0, ∴a -3+(a-4)=0,解得a=72. 把a=72代入-4a 2+8a-3得: -4×(72)2+8×72-3 =-4×494+28-3=-49+28-3=-24. 19.解析 (x x -1-1)÷x 2+2x+1x 2-1 =x -x+1x -1·(x+1)(x -1)(x+1)2 =1x+1.当x=2时,原式=13.20.解析x 2-2x+1x -1÷(x -1x+1-x +1) =(x -1)2(x+1)(x -1)÷x -1-(x -1)(x+1)x+1 =x -1x+1·x+1x -1-x 2+1 =x -1-x (x -1)=-1x .∵-√√x+1≠0,x -1≠0,x≠0,x 是整数, ∴x=-2时,原式=-1-2=12. 21.解析 原式=x -1+1(x+1)(x -1)·(x+1)2x =x (x+1)(x -1)·(x+1)2x =x+1x -1.当x=√,原式=√2+1√2-1=3+2√. 22.解析 2x+3+23-x +2x+18x 2-9=2x+6x 2-9=2x -3.∵x为整数且2也是整数,x-3∴x-3=±2或±1,则x=5或1或4或2.故所有符合条件的x值的和为12.。

山东泰安2019中考试题-数学(解析版)

山东泰安2019中考试题-数学(解析版)

山东泰安2019中考试题-数学（解析版）一、选择题1、〔2018泰安〕以下各数比﹣3小的数是〔〕A 、0B 、1C 、﹣4D 、﹣1考点：有理数大小比较。

解答：解：依照两负数比较大小，其绝对值大的反而小，正数都大于负数，零大于一切负数， ∴1＞﹣3，0＞﹣3，∵|﹣3|=3，|﹣1|=1，|﹣4|=4，∴比﹣3小的数是负数，是﹣4、应选C 、2、〔2018泰安〕以下运算正确的选项是〔〕A 、2(5)5-=-B 、21()164--=C 、632x x x ÷=D 、325()x x =考点：二次根式的性质与化简；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；负整数指数幂。

解答：解：A 、2(5)55-=-=，因此A 选项不正确；B 、21()164--=，因此B 选项正确； C 、633x x x ÷=，因此C 选项不正确；D 、326()x x =，因此D 选项不正确、应选B 、3、〔2018泰安〕如下图的几何体的主视图是〔〕A 、B 、C 、D 、考点：简单组合体的三视图。

解答：解：从正面看易得第一层有1个大长方形，第二层中间有一个小正方形、 应选A 、4、〔2018泰安〕一粒米的质量是0.000021千克，那个数字用科学记数法表示为〔〕A 、42110-⨯千克B 、62.110-⨯千克C 、52.110-⨯千克D 、42.110-⨯千克考点：科学记数法—表示较小的数。

解答：解：0.000021=52.110-⨯；应选：C 、5、〔2018泰安〕从以下四张卡片中任取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是〔〕A、0B 、C 、D 、考点：概率公式；中心对称图形。

解答：解：∵在这一组图形中，中心对称图形只有最后一个，∴卡片上的图形是中心对称图形的概率是、应选D、6、〔2018泰安〕将不等式组841163x xx x+<-⎧⎨≤-⎩的解集在数轴上表示出来，正确的选项是〔〕A 、B 、C 、D 、考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。

2019年山东省泰安市肥城市中考数学二模试卷(Word 含解析)

2019年山东省泰安市肥城市中考数学二模试卷(Word 含解析)

2019年中考数学二模试卷一、选择题1．2019的相反数的倒数是（）A．B．C．2019D．﹣20192．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为（）A．2.1×109B．0.21×109C．2.1×108D．21×1073．下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．22019﹣22018＝22018B．2a2•3a3＝6a6C．（﹣2a）3＝6a3D．a2+a3＝a55．某校四个环保小组一天收集废纸的数量分别为：10，x，9，8，（单位千克）已知这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是（）A．8.5B．9C．9.5D．86．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（）A．4cm B．5cm C．cm D．cm7．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（）A．勾股定理B．直径所对的圆周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圆周角所对的弦是直径8．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣＜a≤﹣B．﹣≤a≤﹣C．﹣≤a＜﹣D．﹣＜a＜﹣9．一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离S（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，下列说法：①甲、乙两地之间的距离为560km；②快车速度是慢车速度的1.5倍；③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；④相遇时，快车距甲地320km其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（m，1）两点，当k1x+b＜时，x的取值范围为（）A．x＜2B．2＜x＜6C．x＞6D．0＜x＜2或x＞6 11．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM 上，BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣12．如图所示为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列结论：①ac＜0；②x＞1时，y随x的增大而增大；③a+b+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；其中正确的个数有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，只要求填写最后结果.）13．＝．14．已知如图，∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AE平分∠BAD，当∠ADC：∠CDE＝3：2，且∠AED＝60°时，求∠BED的度数为度．15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为．16．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．17．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE 折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，BE的长为．18．如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后动点P的坐标是．三、解答题（共7小题，满分0分.解笞应写出必夏的文字说明、证明过程或推演步骤，）19．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2+．20．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝﹣x+4与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．（1）求k、m、n的值．（2）根据图象写出当y1＞y2时，x的取值范围．（3）若一次函数图象与x轴、y轴分别交于点N、M，则求出△AON的面积．21．随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．22．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．23．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？24．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．25．等腰直角△ABC和等腰直角△ACD，M、N分别在直线BC、CD上．（1）如图1所示，M、N分别在线段BC、CD上，若AM⊥MN，求证：AM＝MN．（2）若M、N分别在线段BC、CD外（还在直线BC、CD上），根据题意，画出图形，那么（1）的结论是否依然成立，若成立，写出证明过程；若不成立，说明原因；（3）如图2，若AM＝MN，求证：AM⊥MN．参考答案一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．2019的相反数的倒数是（）A．B．C．2019D．﹣2019【分析】根据相反数的意义，倒数的定义，直接可得结论．解：因为a的相反数是﹣a，所以2019的相反数是﹣2019；又﹣2019的倒数是﹣，所以2019的相反数的倒数是﹣．故选：B．2．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为（）A．2.1×109B．0.21×109C．2.1×108D．21×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将210000000用科学记数法表示为：2.1×108．故选：C．3．下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（）A．B．C．D．【分析】根据平移的性质，结合图形对小题进行一一分析，选出正确答案．解：∵只有B的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；故选：B．4．下列运算正确的是（）A．22019﹣22018＝22018B．2a2•3a3＝6a6C．（﹣2a）3＝6a3D．a2+a3＝a5【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．解：A、原式＝22018×（2﹣1）＝22018，符合题意；B、原式＝6a5，不符合题意；C、原式＝﹣8a3，不符合题意；D、原式不能合并，不符合题意．故选：A．5．某校四个环保小组一天收集废纸的数量分别为：10，x，9，8，（单位千克）已知这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是（）A．8.5B．9C．9.5D．8【分析】根据题意先确定x的值，再根据定义求解．解：∵这组数据的众数和平均数相等，∴＝x，解得：x＝9，则这组数据为10、9、9、8，所以这组数据的中位数为＝9，故选：B．6．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（）A．4cm B．5cm C．cm D．cm【分析】由勾股定理求出AB，由折叠的性质得出∠DEB＝90°，AE＝BE＝AB＝5，在Rt△BDE中，由三角函数即可求出DE的长．解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，tan B＝＝＝，由折叠的性质得：∠DEB＝90°，AE＝BE＝AB＝5，∴tan B＝＝，∴DE＝BE＝×5＝（cm）．故选：C．7．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（）A．勾股定理B．直径所对的圆周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圆周角所对的弦是直径【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．解：由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC＝a为半径画弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．故选：B．8．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣＜a≤﹣B．﹣≤a≤﹣C．﹣≤a＜﹣D．﹣＜a＜﹣【分析】首先解不等式组，利用a表示出不等式组的解集，然后根据不等式组只有4个整数解即可求得a的范围．解：，解①得x＞8，解②得x＜2﹣4a，则不等式组的解集是8＜x＜2﹣4a．∵不等式组有四个整数解，∴不等式组的整数解是9，10，11，12．∴12＜2﹣4a≤13，解得：﹣≤a＜﹣．故选：C．9．一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离S（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，下列说法：①甲、乙两地之间的距离为560km；②快车速度是慢车速度的1.5倍；③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；④相遇时，快车距甲地320km其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据函数图象直接得出甲乙两地之间的距离；根据题意得出慢车往返分别用了4小时，慢车行驶4小时的距离，快车3小时即可行驶完，进而求出快车速度以及利用两车速度之比得出慢车速度；设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，由（3x+4x）×4＝560，可得x＝20，从而得出快车的速度是80km/h，慢车的速度是60km/h．由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离，当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，可求出此时两车之间的距离即可．解：由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560千米，故①正确；由题意可得出：慢车和快车经过4个小时后相遇，出发后两车之间的距离开始增大直到快车到达甲地后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知快车经过3个小时后到达甲地，此段路程慢车需要行驶4小时，因此慢车和快车的速度之比为3：4，故②错误；∴设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，∴（3x+4x）×4＝560，x＝20∴快车的速度是80km/h，慢车的速度是60km/h．由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为4×60＝240km，故④错误，当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为240﹣3×60＝60km，故③正确．故选：B．10．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（m，1）两点，当k1x+b＜时，x的取值范围为（）A．x＜2B．2＜x＜6C．x＞6D．0＜x＜2或x＞6【分析】先把A点坐标代入y＝中求出k2得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．解：把A（2，3）代入y＝得k2＝2×3＝6，∴反比例函数解析式为y＝，把B（m，1）代入y＝得m＝6，则B（6，1），∴当k1x+b＜时，x的取值范围为0＜x＜2或x＞6．故选：D．11．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM 上，BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣【分析】作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG ＝DB＝2x，然后根据平行线的性质即可求得．解：作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEC＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；∴∠BDE＝∠FEG，在△DBE与△EGF中∴△DBE≌△EGF，∴EG＝DB，FG＝BE＝x，∴EG＝DB＝2BE＝2x，∴GC＝y﹣3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，CG：BC＝FG：AB，即＝，∴y＝﹣．故选：A．12．如图所示为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列结论：①ac＜0；②x＞1时，y随x的增大而增大；③a+b+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；其中正确的个数有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据抛物线的开口方向和与y轴的交点即可判断a和c的符号，从而可判断①；再根据抛物线与x轴的交点坐标，结合抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，从而可判断②和④；根据当x＝1时，y＜0，将x＝1代入解析式中即可判断③．解：由图象可知：抛物线的开口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①正确；∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3，故④正确；∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故②正确；∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故③错误．综上，正确的有3个．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，只要求填写最后结果.）13．＝2﹣．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：原式＝2﹣3×＝2﹣，故答案为：2﹣．14．已知如图，∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AE平分∠BAD，当∠ADC：∠CDE＝3：2，且∠AED＝60°时，求∠BED的度数为度．【分析】根据∠ADC：∠CDE＝3：2，设∠ADC＝3x°，∠EDC＝2x°，根据平行线的性质得出方程90﹣x+60+5x＝180，求出x即可．解：∵∠ADC：∠CDE＝3：2，设∠ADC＝3x°，∠EDC＝2x°，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∴∠DAB＝180°﹣3x°，∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA；∴∠DAE＝∠BAE＝∠BEA＝90°﹣x°，∵AD∥BC，∴∠BED+∠ADE＝180°，∵∠AED＝60°，即90﹣x+60+5x＝180，∴∠CDE＝，∴∠ADE＝，∵AD∥BC，∴∠CED＝180°﹣∠ADE＝．故答案为：．15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为．【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．解：∵CE＝5，△CEF的周长为18，∴CF+EF＝18﹣5＝13．∵F为DE的中点，∴DF＝EF．∵∠BCD＝90°，∴CF＝DE，∴EF＝CF＝DE＝6.5，∴DE＝2EF＝13，∴CD＝＝＝12．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF＝（BC﹣CE）＝（12﹣5）＝．故答案为：．16．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200（﹣1）米（结果保留根号）．【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．解：由于CD∥HB，∴∠CAH＝∠ACD＝45°，∠B＝∠BCD＝30°在Rt△ACH中，∵∴∠CAH＝45°∴AH＝CH＝1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B＝∴HB＝＝＝＝1200（米）．∴AB＝HB﹣HA＝1200﹣1200＝1200（﹣1）米故答案为：1200（﹣1）17．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE 折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，BE的长为或3．【分析】分两种情形：如图1中，当A，B′，C共线时，∠EB′C＝90°．如图2中，当点B′落在AD上时，∠CEB′＝90°，分别求解即可．解：如图1中，当A，B′，C共线时，∠EB′C＝90°．四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，∵AB＝AB′＝3，∴CB′＝5﹣3＝2，设BE＝EB′＝x，则EC＝4﹣x，在Rt△CEB′中，∵CE2＝B′E2+B′C2，∴（4﹣x）＝22+x2，∴x＝，如图2中，当点B′落在AD上时，∠CEB′＝90°，此时四边形ABEB′是正方形，∴BE＝AB＝3，综上所述，满足条件的BE的值为或3．18．如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后动点P的坐标是（2019，2）．【分析】分析点P的运动规律，找到循环次数即可．解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．∴2019＝4×504+3当第504循环结束时，点P位置在（2016，0），在此基础之上运动三次到（2019，2）故答案为：（2019，2）三、解答题（共7小题，满分0分.解笞应写出必夏的文字说明、证明过程或推演步骤，）19．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2+．【分析】先进行通分，再把除法转化成乘法，然后约分，最后把x的值代入计算即可．解：（﹣）÷＝（+）×＝×＝×＝，当x＝2+时，原式＝＝2+2．20．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝﹣x+4与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．（1）求k、m、n的值．（2）根据图象写出当y1＞y2时，x的取值范围．（3）若一次函数图象与x轴、y轴分别交于点N、M，则求出△AON的面积．【分析】（1）把A（1，m）、B（n，1）两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值；（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；（3）先根据一次函数的解析式求出N的坐标，再利用三角形面积公式即可求出△AON 的面积．解：（1）把A（1，m）、B（n，1）两点的坐标代入y1＝﹣x+4，得m＝﹣1+4＝3，﹣n+4＝1，n＝3，则A（1，3）、B（3，1）．把B（3，1）代入y2＝，得k＝3×1＝3；（2）∵A（1，3）、B（3，1），∴由函数图象可知，y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜3；（3）∵一次函数y1＝﹣x+4的图象与x轴交于点N，∴N（4，0），ON＝4，∵A（1，3），∴△AON的面积＝×4×3＝6．21．随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了100名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为108°；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．【分析】（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用QQ的百分比即可求出QQ的扇形圆心角度数．（2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图．（3）用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计1500名学生中喜欢用微信进行沟通的人数即可求出答案；（4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，∴此次共抽查了：20÷20%＝100人喜欢用QQ沟通所占比例为：＝，∴QQ”的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°（2）喜欢用短信的人数为：100×5%＝5人喜欢用微信的人数为：100﹣20﹣5﹣30﹣5＝40补充图形，如图所示：（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：×100%＝40%∴该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%＝600人（4）列出树状图，如图所示所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：＝故答案为：（1）100；108°22．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB＝AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；（2）根据∠BAC＝45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA＝∠BAC＝45°，再由AB ＝AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，由（1）得：AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，即BD＝2，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2．23．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有+10＝，解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．（2）3x＝3×120＝360，设每件衬衫的标价y元，依题意有（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150．答：每件衬衫的标价至少是150元．24．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH＝HG＝2，∴QG＝×2＝4，∴|﹣x2+3x|＝4，当﹣x2+3x＝4时，△＝9﹣16＜0，方程无实数根，当﹣x2+3x＝﹣4时，解得x＝﹣1或x＝4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．25．等腰直角△ABC和等腰直角△ACD，M、N分别在直线BC、CD上．（1）如图1所示，M、N分别在线段BC、CD上，若AM⊥MN，求证：AM＝MN．（2）若M、N分别在线段BC、CD外（还在直线BC、CD上），根据题意，画出图形，那么（1）的结论是否依然成立，若成立，写出证明过程；若不成立，说明原因；（3）如图2，若AM＝MN，求证：AM⊥MN．【分析】（1）延长DC，交AB的延长线于H，连接HM，根据同角的余角相等得到∠NMC＝∠BAM，根据等腰直角三角形的性质得到∠BCH＝45°，得到BC是AH的垂直平分线，根据等腰三角形的判定定理证明；（2）分点N在线段DC的延长线上和点N在线段CD的延长线上两种情况，根据等腰三角形的判定和性质证明；（3）仿照（1）的证明方法证明．解：（1）延长DC，交AB的延长线于H，连接HM，∵AM⊥MN，∴∠NMC+∠AMB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∴∠NMC＝∠BAM，∵等腰直角△ABC和等腰直角△ACD，∴∠MCD＝135°，∴∠BCH＝45°，∴△BHC为等腰直角三角形，∴BC＝BH，∵AB＝BC，∴AB＝BH，∴BC是AH的垂直平分线，∴AM＝BH，∴∠BHM＝∠BAM，∴∠NMC＝∠BHM，∵∠NMC+∠MNC＝45°，∠BHM+∠MHC＝45°，∴∠MHC＝∠MNC，∴HM＝MN，∴AM＝MN；（2）（1）的结论依然成立，第一种情况：如图3所示，延长DC，交AB的延长线于H，连接HM；由（1）可知，MC是AH的垂直平分线，∴AM＝MH，∴∠BAM＝∠BHM，∵AM⊥MN，∴∠NMC+∠AMB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∴∠NMC＝∠BAM，∴∠BHM＝∠NMC，∵∠MHN＝∠BHM+45°，∠MNH＝∠NMC+45°，∴∠MHN＝∠MNH，∴MN＝MH，∴AM＝MN；第二种情况：如图4所示，仿照第一种情况的证明方法，可以证明AM＝MN；（3）如图2，延长DC，交AB的延长线于H，连接HM，由（1）可得BC是AH的垂直平分线，∴HM＝AM＝MN，∴∠MAB＝∠MHB，∠MHC＝∠MNC∵∠MHB+∠MHC＝45°，∠MNC+∠NMC＝45°，∴∠MHB＝∠NMC，∵∠MHB＝∠MAB，∴∠BAM＝∠NMC，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∴∠AMB+∠NMC＝90°，∴∠AMN＝90°，∴AM⊥MN．。

2019年山东省中考数学真题分类汇编 专题04 三角形 (解析版)

2019年山东省中考数学真题分类汇编 专题04 三角形 (解析版)

专题04 三角形一、选择题1．（2019山东枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°【答案】C ．【解析】解：如图，∵∠ACD ＝90°、∠F ＝45°， ∴∠CGF ＝∠DGB ＝45°，则∠α＝∠D +∠DGB ＝30°+45°＝75°，故选：C ．2．（2019山东淄博）如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B ．若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（ ）A ．2aB ．52a C ．3a D ．72a 【答案】C ．【解析】解：∵∠CAD ＝∠B ，∠ACD ＝∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ， ∴2()ACD BCAS AC SAB =，即14BCA a S =， 解得，△BCA 的面积为4a ，∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C．3．（2019山东青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】A．【解析】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，∵BF＝BF，∴△ABF∽△EBF（ASA），∴AF＝EF，AB＝BE，∴AD＝DE，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴△ABD≌△EAD（SSS），∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，故选：A．4．（2019山东临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B．【解析】解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，∴△ADE ≌△CFE （AAS ）， ∴AD ＝CF ＝3，∵AB ＝4，∴DB ＝AB ﹣AD ＝4﹣3＝1． 故选：B ．5．（2019山东枣庄）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A ′B ′C ′的位置．已知△ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA ′＝1，则A ′D 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B ．【解析】解：∵S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9，且AD 为BC 边的中线， ∴S △A ′DE ＝12S △A ′EF ＝92，S △ABD ＝12S △ABC ＝8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '， ∴A ′E ∥AB ， ∴△DA ′E ∽△DAB ，则2()A DE ABDS A D AD S''=，即2992()1816A D A D '=='+，解得A ′D ＝3或A ′D ＝﹣37（舍）， 故选：B ．6．（2019山东泰安）如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（ ）km ．A．B．C．D．【答案】B．【解析】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝，如图，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝，AB＝30km，∴AE＝BE＝2在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，BE＝，∴CE＝3∴AC＝AE+CE＝∴A，C两港之间的距离为（km，故选：B．7．（2019山东聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180°C．OE+OF BC D．S四边形AEOF＝12S△ABC【答案】C．【解析】解：连接AO，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，选项A正确；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，选项B正确；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝12S△ABC，选项D正确．故选：C．8．（2019山东淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD ＝12AC 时，tan α1＝34； 如图2，当CD ＝13AC 时，tan α2＝512；如图3，当CD ＝14AC 时，tan α3＝724；……依此类推，当CD ＝11n +AC （n 为正整数）时，tan αn ＝ ．【答案】22122n n n++．【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n +1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n +1，2(21)12n +-，2(21)12n ++中的中间一个．∴tan αn ＝221(21)12n n ++-＝22122n n n++．故答案为：22122n n n++．9．（2019山东滨州）如图，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＞OC ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC ＝BD ；②∠AMB ＝40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BMC ．其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B ．【解析】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝40°， ∴∠AOB +∠AOD ＝∠COD +∠AOD ， 即∠AOC ＝∠BOD ， ∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正确；正确的个数有3个；故选：B．二、填空题10．（2019山东枣庄）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】9.5．【解析】解：过D作DE⊥AB，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°， ∴∠ADE ＝53°，∵BC ＝DE ＝6m ， ∴AE ＝DE •tan53°≈6×1.33≈7.98m ，∴AB ＝AE +BE ＝AE +CD ＝7.98+1.5＝9.48m ≈9.5m ， 故答案为：9.511．（2019山东德州）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO =70°，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO =50°，那么AC 的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【答案】1.02．【解析】解：由题意可得： ∵∠ABO =70°，AB =6m ，∴sin70°=6AO AOAB ≈0.94， 解得：AO =5.64（m ），∵∠CDO =50°，DC =6m ，∴sin50°=6CO≈0.77， 解得：CO =4.62（m ），则AC =5.64-4.62=1.02（m ）， 答：AC 的长度约为1.02米． 故答案为：1.02．12．（2019山东临沂）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则△ABC 的面积是 ．【答案】【解析】解：∵DC ⊥BC ，∴∠BCD ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝30°， 延长CD 到H 使DH ＝CD ， ∵D 为AB 的中点，∴AD ＝BD ， ∴△ADH ≌△BCD （SAS ），∴AH ＝BC ＝4，∠H ＝∠BCD ＝90°，∵∠ACH ＝30°，∴CH ＝，∴CD ＝，∴△ABC 的面积＝2S △BCD ＝2×12×4×＝，故答案为：13．（2019山东枣庄）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若AB ＝2，则CD ＝ ．．【解析】解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ， 在Rt △ABC 中，∠B ＝45°，∴BC AB＝，BF＝AF＝AB，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF∴CD＝BF+DF﹣BC﹣，．14．（2019山东聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝12BC，连接FE并延长交AB于点M．若BC＝a，则△FMB的周长为．【答案】92 a．【解析】解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2a，AC．∵DE是中位线，∴CE＝2a．在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE＝a，∴∠FEC＝30°．∴∠A＝∠AEM＝30°，∴EM＝AM．△FMB周长＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝92 a．故答案为92 a．三、解答题15．（2019山东淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E ＝∠C ．【答案】见解析【解析】证明：∵∠BAE ＝∠DAC ∴∠BAE +∠CAE ＝∠DAC +∠CAE ∴∠CAB ＝∠EAD ，且AB ＝AD ，AC ＝AE ∴△ABC ≌△ADE （SAS ）． ∴∠C ＝∠E ．16．（2019山东菏泽）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛B 位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C 处，测得小岛B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC 的长．【答案】（﹣）海里． 【解析】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意，得：∠BAD ＝60°，∠BCD ＝45°，AC ＝80， 在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°，∴tan60°＝BDAD，∴AD在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴AC＝AD+CDBD＝80，∴BD＝120﹣∴BC BC＝﹣，答：BC的距离是（）海里．17．（2019山东聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A 处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00 1.41≈1.73）【答案】17米．【解析】解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝20，∴BE＝x﹣20，在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣20），∴2（x﹣20）＝x，解得：x＝40（米），在Rt△DAE中，DE＝AE tan30°＝40≈17（米），∴CD＝CE﹣DE＝40﹣3答：大楼部分楼体CD的高度约为17米．18．（2019山东临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的长．【答案】km．【解析】解：作BE⊥AD于点E，∵∠CAB＝30°，AB＝4km，∴∠ABE＝60°，BE＝2km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝2km，∴BD＝km，即BD的长是km．19．（2019山东潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）【答案】【解析】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1∴tan∠ABE3=，∴∠ABE＝30°，∴AE＝12AB＝100，∵AC＝20，∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴14CEDE=，即8014ED=，解得，ED＝320，∴CD=答：斜坡CD的长是20．（2019山东青岛）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，co s42°≈34，tan42°≈9 10）【答案】134米．【解析】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，则CE∥DF，∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120，DF＝CE，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，∴DF＝cos32°•BD＝80×1720≈68，BF＝sin32°•BD＝80×1732≈852，∴BE＝EF﹣BF＝1552，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68，∴AE＝CE•tan42°＝68×910＝3065，∴AB＝AE+BE＝1552+3065≈134m，答：木栈道AB的长度约为134m．21．（2019山东威海）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝35，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．【答案】不会触碰到汽车货厢顶部，理由见解析．【解析】解：∵BH＝0.6米，sinα＝35，∴AB＝0.613sin5BHα==米，∴AH＝0.8米，∵AF＝FC＝2米，∴BF＝1米，作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，∵EF＝FB＝AB＝1米，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，∴EK＝FJ＝AH，BJ＝BH，∴BJ+EK＝0.6+0.8＝1.4＜2，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．22．（2019山东菏泽）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝，AD＝3，求△PDE的面积．【答案】（1）见解析；（2）910． 【解析】解：（1）∵△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°．∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAC ﹣∠EAF ＝∠EAD ﹣∠EAF ， 即∠BAE ＝∠DAC ， ∴△ABE ≌△ADC （SAS ）， ∴∠ABE ＝∠ACD ，∵∠ABE +∠AFB ＝∠ABE +∠CFP ＝90°， ∴∠CPF ＝90°， ∴BP ⊥CD ；（2）在△ABE 与△ACD 中，90AE ADEAB CAB AB AC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）， ∴∠ABE ＝∠ACD ，BE ＝CD ， ∵∠PDB ＝∠ADC ， ∴∠BPD ＝∠CAB ＝90°， ∴∠EPD ＝90°， ∵BC ＝，AD ＝3， ∴DE ＝，AB ＝6， ∴BD ＝6﹣3＝3，CD=∵△BDP ∽△CDA ， ∴BD PD PBCD AD AC ==，36PD PB==， ∴PDPB∴PE ＝，∴△PDE 的面积＝1925510⨯⨯=． 23．（2019山东枣庄）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且∠BMN ＝90°，当∠AMN ＝30°，AB ＝2时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且∠EDF ＝90°，求证：BE ＝AF ； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且∠BMN ＝90°，求证：AB +AN AM ．【答案】（1；（2）证明见解析；（3）见解析． 【解析】（1）解：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD ＝BD ＝DC ，∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∠BAD ＝∠CAD ＝45°，∵AB ＝2，∴AD ＝BD ＝DC ，∵∠AMN ＝30°，∴∠BMD ＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠MBD ＝30°，∴BM ＝2DM ，由勾股定理得，BM 2﹣DM 2＝BD 2，即（2DM ）2﹣DM 2）2，解得，DM ＝3，∴AM ＝AD ﹣DM ﹣3； （2）证明：∵AD ⊥BC ，∠EDF ＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，∴∠AME＝90°，则AE AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，∴△BME≌△AMN（ASA），∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE AM．。