泰安市中考数学试题及解析

2021 年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题〔本大题共20 小题，每题 3 分，共 60 分〕1．以下四个数：﹣ 3，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是〔〕A．﹣πB．﹣ 3 C．﹣ 1 D．﹣2．以下运算正确的选项是〔〕A．a2?a2=2a2B． a2+a2=a4C．〔1+2a〕2=1+2a+4a2D．〔﹣ a+1〕〔a+1〕=1﹣a23．以以下图案其中，中心对称图形是〔〕A．①②B．②③C．②④D．③④4．“ 2021年至 2021 年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总数高出 3 万亿美元〞，将数据 3 万亿美元用科学记数法表示为〔〕A．3×1014美元 B． 3× 1013美元 C． 3× 1012美元 D．3×1011美元5．化简〔 1﹣〕÷〔 1﹣〕的结果为〔〕A．B．C．D．6．下面四个几何体：其中，俯视图是四边形的几何体个数是〔〕A．1B．2C．3D．4．一元二次方程2﹣6x﹣6=0 配方后化为〔〕7xA．〔x﹣3〕2=15 B．〔x﹣3〕2=3 C．〔x+3〕2=15 D．〔 x+3〕2=38．袋内装有标号分别为1，2，3，4 的 4 个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，那么组成的两位数是 3 的倍数的概率为〔〕A．B．C．D．9．不等式组的解集为x＜2，那么k的取值范围为〔〕A．k＞1B．k＜1C．k≥1 D．k≤ 110．某衣饰店用 10000 元购进一批某品牌夏季衬衫假设干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10 元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，那么所列方程为〔〕A．﹣10=B．+ 10=C．﹣10=D．+ 10=11．为认识中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取局部学生进行了一次中考体育科目测试〔把测试结果分为A，B，C，D 四个等级〕，并将测试结果绘制成了以以下图的两幅不完满统计图，依照统计图中供应的信息，结论错误的选项是〔〕A．本次抽样测试的学生人数是40B．在图 1 中，∠α的度数是 126°C．该校九年级有学生500 名，估计 D 级的人数为 80D．从被测学生中随机抽取一位，那么这位学生的成绩是 A 级的概率为12．如图，△ ABC内接于⊙ O，假设∠ A=α，那么∠ OBC等于〔〕A．180°﹣2αB． 2α C．90°+αD．90°﹣α13．一次函数 y=kx﹣ m﹣2x 的图象与 y 轴的负半轴订交，且函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，那么以下结论正确的选项是〔〕A．k＜2，m＞ 0 B． k＜2，m＜ 0 C． k＞ 2， m＞0 D．k＜0，m＜014．如图，正方形 ABCD中，M 为 BC上一点，ME⊥AM，ME 交 AD 的延长线于点 E．假设 AB=12，BM=5，那么 DE 的长为〔〕A．18B．C．D．15．二次函数y=ax2+bx+c 的 y 与x 的局部对应值以下表：x﹣ 1013y﹣ 3131以下结论：①抛物线的张口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜ 1 时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0 有一个根大于4，其中正确的结论有〔〕A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个16．某班学生积极参加献爱心活动，该班50 名学生的捐款统计情况以下表：金额 /元5102050100人数4161596那么他们捐款金额的中位数和平均数分别是〔〕A．10，B． 20，C． 10，D．20，17．如图，圆内接四边形 ABCD的边 AB 过圆心 O，过点 C 的切线与边 AD 所在直线垂直于点M ，假设∠ ABC=55°，那么∠ ACD等于〔〕A．20°B．35°C． 40°D．55°18．如图，在正方形网格中，线段 A′ B是′线段 AB绕某点逆时针旋转角α获取的，点 A′与 A 对α〕应，那么角的大小为〔A．30°B．60°C． 90°D．120°19．如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 E 是边 CD上一点，且 BC=EC，CF⊥BE交 AB 于点 F，P 是 EB延长线上一点，以下结论：①BE均分∠ CBF；② CF均分∠ DCB；③ BC=FB；④ PF=PC，其中正确结论的个数为〔〕A．1B．2C．3D．420．如图，在△ ABC中，∠ C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB向点 B 以 2cm/s 的速度运动〔点 Q 运动到点 B 停止〕，在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为〔〕A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2二、填空题〔本大题共 4 小题，每题 3 分，共 12 分〕21．分式与的和为 4，那么 x 的值为．．关于x 的一元二次方程x2+〔2k﹣ 1〕x+〔 k2﹣1〕=0 无实数根，那么 k 的取值范围为．2223．工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为 150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为．24．如图，∠ BAC=30°，M 为 AC上一点， AM=2，点 P 是 AB 上的一动点， PQ⊥ AC，垂足为点Q，那么 PM+PQ 的最小值为．三、解答题〔本大题共 5 小题，共 48 分〕25．如图，在平面直角坐标系中， Rt△AOB的斜边 OA 在 x 轴的正半轴上，∠ OBA=90°，且 tan ∠ AOB= ，OB=2 ，反比率函数 y= 的图象经过点 B．（1〕求反比率函数的表达式；（2〕假设△ AMB 与△ AOB关于直线 AB 对称，一次函数 y=mx+n 的图象过点 M 、A，求一次函数的表达式．26．某水果商从批发市场用 8000 元购进了大樱桃和小樱桃各 200 千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多 20 元，大樱桃售价为每千克 40 元，小樱桃售价为每千克 16 元．（1〕大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？（2〕该水果商第二次仍用 8000 元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各 200 千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃耗费了 20%．假设小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱很多于第一次所赚钱的 90%，大樱桃的售价最少应为多少？27．如图，四边形ABCD中， AB=AC=AD，AC 均分∠ BAD，点 P 是 AC 延长线上一点，且PD⊥AD．（1〕证明：∠ BDC=∠PDC；（2〕假设 AC 与 BD 订交于点 E，AB=1，CE： CP=2：3，求 AE 的长．．如图，是将抛物线2平移后获取的抛物线，其对称轴为x=1，与 x 轴的一个交点为 A 28y=﹣ x〔﹣ 1，0〕，另一个交点为B，与 y 轴的交点为 C．（1〕求抛物线的函数表达式；（2〕假设点 N 为抛物线上一点，且 BC⊥ NC，求点 N 的坐标；（3〕点 P 是抛物线上一点，点 Q 是一次函数 y= x+ 的图象上一点，假设四边形 OAPQ为平行四边形，这样的点 P、Q 可否存在？假设存在，分别求出点 P，Q 的坐标；假设不存在，说明原由．29．如图，四边形ABCD是平行四边形， AD=AC， AD⊥ AC，E 是 AB 的中点， F 是 AC延长线上一点．（1〕假设 ED⊥EF，求证： ED=EF；（2〕在〔 1〕的条件下，假设 DC 的延长线与 FB 交于点 P，试判断四边形 ACPE可否为平行四边形？并证明你的结论〔请先补全图形，再解答〕；〔 3〕假设 ED=EF，ED 与 EF垂直吗？假设垂直给出证明．2021 年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题〔本大题共20 小题，每题 3 分，共 60 分〕1．以下四个数：﹣ 3，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是〔〕A．﹣πB．﹣ 3 C．﹣ 1 D．﹣【考点】 2A：实数大小比较．【解析】将四个数从大到小排列，即可判断．【解答】解：∵﹣ 1＞﹣＞﹣ 3＞﹣π，∴最小的数为﹣π，应选 A．2．以下运算正确的选项是〔〕2 22 2 a2422D．〔﹣ a 12A．a ?a =2a B． a + =a C．〔1 2a〕=1 2a 4a〕〔 a 1〕 =1﹣a++ +++【考点】 4F：平方差公式； 35：合并同类项； 46：同底数幂的乘法； 4C：完满平方公式．【解析】依照整式的乘法、加法法那么及完满平方公式和平方差公式逐一计算可得．【解答】解： A、a2?a2=a4，此选项错误；B、a2?a2=2a2，此选项错误；C、〔1+2a〕2=1+4a+4a2，此选项错误；D、〔﹣ a+1〕〔a+1〕=1﹣a2，此选项正确；应选： D．3．以以下图案其中，中心对称图形是〔〕 A．①②B．②③C．②④D．③④【考点】 R5：中心对称图形．【解析】依照中心对称图形的看法求解．【解答】解：①不是中心对称图形；②不是中心对称图形；③是中心对称图形；④是中心对称图形．应选：D．4．“ 2021年至 2021 年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总数高出 3 万亿美元〞，将数据 3 万亿美元用科学记数法表示为〔〕A．3×1014美元 B． 3× 1013美元 C． 3× 1012美元 D．3×1011美元【考点】 1I：科学记数法—表示较大的数．【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤ | a| ＜10， n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点搬动了多少位，n 的绝对值与小数点搬动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负数．【解答】解： 3 万亿 =3 0000 0000 0000=3× 1012，应选： C．5．化简〔 1﹣〕÷〔1﹣〕的结果为〔〕A．B．C．D．【考点】 6C：分式的混杂运算．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分即可获取结果．【解答】解：原式=÷=?=，应选A6．下面四个几何体：其中，俯视图是四边形的几何体个数是〔〕A．1B．2C．3D．4【考点】 U1：简单几何体的三视图．【解析】依照俯视图是分别从物体上面看，所获取的图形进行解答即可．【解答】解：俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱，应选：B．．一元二次方程2﹣6x﹣6=0 配方后化为〔〕7xA．〔x﹣3〕2=15 B．〔x﹣3〕2=3 C．〔x+3〕2=15 D．〔 x+3〕2=3【考点】 A6：解一元二次方程﹣配方法．【解析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得： x2﹣6x=6，配方得： x2﹣ 6x+9=15，即〔 x﹣3〕2=15，应选 A 8．袋内装有标号分别为1，2，3，4 的 4 个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，那么组成的两位数是 3 的倍数的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】 X6：列表法与树状图法．【解析】画树状图显现所有16 种等可能的结果数，再找出所成的两位数是 3 的倍数的结果数，尔后依照概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有 16 种等可能的结果数，其中所成的两位数是 3 的倍数的结果数为5，所以成的两位数是 3 的倍数的概率 = ．应选 B．9．不等式组的解集为x＜2，那么k的取值范围为〔〕A．k＞1B．k＜1C．k≥1 D．k≤ 1【考点】 CB：解一元一次不等式组．【解析】求出每个不等式的解集，依照得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式组，得∵不等式组的解集为 x＜2，∴ k+1≥2，解得 k≥1．应选： C．10．某衣饰店用 10000 元购进一批某品牌夏季衬衫假设干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10 元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，那么所列方程为〔〕A．﹣10=B．+ 10=C．﹣10=D．+ 10=【考点】 B6：由实责问题抽象出分式方程．【解析】依照题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【解答】解：设第一批购进x 件衬衫，那么所列方程为：+10=．应选： B．11．为认识中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取局部学生进行了一次中考体育科目测试〔把测试结果分为A，B，C，D 四个等级〕，并将测试结果绘制成了以以下图的两幅不完满统计图，依照统计图中供应的信息，结论错误的选项是〔〕A．本次抽样测试的学生人数是 40 B．在图 1 中，∠α的度数是 126°C．该校九年级有学生 500 名，估计 D 级的人数为 80D．从被测学生中随机抽取一位，那么这位学生的成绩是 A 级的概率为【考点】 X4：概率公式； V5：用样本估计整体； VB：扇形统计图； VC：条形统计图．【解析】利用扇形统计图以及条形统计图分别解析得出总人数以及结合α的度数、利用样本估计整体即可．【解答】解： A、本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40〔人〕，正确，不合题意；B、∵×360°=126°，∠α的度数是126°，故此选项正确，不合题意；C、该校九年级有学生500 名，估计 D 级的人数为：500×=100〔人〕，故此选项错误，吻合题意；D、从被测学生中随机抽取一位，那么这位学生的成绩A 级的概率为：，正确，不合是题意；应选： C．12．如图，△ABC内接于⊙ O，假设∠ A=α，那么∠ OBC等〕于〔A．180°﹣2αB． 2α C．90°+αD．90°﹣α【考点】 M5：圆周角定理．【解析】第一连接 OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠ OBC的度数．【解答】解：∵连接 OC，∵△ ABC内接于⊙ O，∠ A=α，∴∠ BOC=2∠A=2α，∵ OB=OC，∴∠ OBC=∠ OCB==90°﹣α．应选 D．13．一次函数 y=kx﹣ m﹣2x 的图象与 y 轴的负半轴订交，且函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，那么以下结论正确的选项是〔〕A．k＜2，m＞ 0 B． k＜2，m＜ 0 C． k＞ 2， m＞0 D．k＜0，m＜0【考点】 F5：一次函数的性质．【解析】由一次函数y=kx﹣ m﹣2x 的图象与y 轴的负半轴订交且函数值y 随自变量x 的增大而减小，可得出 k﹣2＜0、﹣ m＜0，解之即可得出结论．【解答】解：∵一次函数 y=kx﹣ m﹣2x 的图象与 y 轴的负半轴订交，且函数值y 随自变量 x 的增大而减小，∴ k﹣2＜0，﹣ m＜0，∴ k＜2，m＞ 0．应选 A．14．如图，正方形 ABCD中，M 为 BC上一点，ME⊥AM，ME 交 AD 的延长线于点 E．假设 AB=12，DE 的长为〔〕BM=5，那么A．18B．C．D．【考点】 S9：相似三角形的判断与性质；KQ：勾股定理； LE：正方形的性质．【解析】先依照题意得出△ ABM∽△ MCG，故可得出 CG的长，再求出DG 的长，依照△ MCG∽△ EDG即可得出结论．【解答】解：∵四边形 ABCD是正方形， AB=12，BM=5，∴MC=12﹣ 5=7．∵ME⊥ AM，∴∠ AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠ AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ ABM∽△ MCG，∴=，即=，解得CG=，∴ DG=12﹣=．∵AE∥BC，∴∠ E=CMG，∠ EDG=∠ C，∴△ MCG∽△ EDG，∴=，即=，解得DE=．应选 B．15．二次函数 y=ax2+bx+c 的 y 与 x 的局部对应值以下表：x﹣ 1013y﹣ 3131以下结论：①抛物线的张口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当 x＜ 1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；④方程 ax2+bx+c=0 有一个根大于 4，其中正确的结论有〔〕A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【考点】 HA：抛物线与 x 轴的交点； H3：二次函数的性质．【解析】依照二次函数的图象拥有对称性和表格中的数据，可以获取对称轴为x==，再由图象中的数据可以获适当x= 获取最大值，进而可以获取函数的张口向下以及获取函数当x ＜时， y 随 x 的增大而增大，当 x＞时， y 随 x 的增大而减小，尔后跟距x=0 时， y=1，x=﹣1 时， y=﹣3，可以获取方程 ax2+bx+c=0 的两个根所在的大体地址，进而可以解答此题．【解答】解：由表格可知，二次函数 y=ax2+bx+c 有最大值，当 x==时，获取最大值，∴抛物线的张口向下，故①正确，其图象的对称轴是直线x=，故②错误，当 x＜时， y 随x 的增大而增大，故③正确，方程ax2 +bx+c=0 的一个根大于﹣1，小于0，那么方程的另一个根大于=3，小于 3+1=4，故④错误，应选 B．16．某班学生积极参加献爱心活动，该班50 名学生的捐款统计情况以下表：金额 /元5102050100人数4161596那么他们捐款金额的中位数和平均数分别是〔〕A．10，B． 20，C． 10，D．20，【考点】 W4：中位数； VA：统计表； W2：加权平均数．【解析】依照中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；依照平均数公式求出平均数即可．【解答】解：共有 50 个数，∴中位数是第 25、26 个数的平均数，∴中位数是〔 20+20〕÷ 2=20；平均数=〔5×4 10×16 20× 15 50×9 100× 6〕；++++应选： D．17．如图，圆内接四边形 ABCD的边 AB 过圆心 O，过点 C 的切线与边 AD 所在直线垂直于点M ，假设∠ ABC=55°，那么∠ ACD等于〔〕A．20°B．35°C． 40°D．55°【考点】 MC：切线的性质； M6：圆内接四边形的性质．【解析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°﹣∠ ABC=125°，由圆周角定理求出∠ ACB=90°，得出∠ BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC=55°，由三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC﹣∠ AMC=35°，即可求出∠ ACD的度数．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的边 AB 过圆心 O，∴∠ ADC+∠ABC=180°，∠ ACB=90°，∴∠ ADC=180°﹣∠ ABC=125°，∠ BAC=90°﹣∠ ABC=35°，∵过点 C 的切线与边 AD 所在直线垂直于点M ，∴∠ MCA=∠ ABC=55°，∠ AMC=90°，∵∠ ADC=∠AMC+∠ DCM，∴∠ DCM=∠ ADC﹣∠ AMC=35°，∴∠ ACD=∠MCA﹣∠ DCM=55°﹣ 35°=20°；应选： A．18．如图，在正方形网格中，线段 A′ B是′线段 AB绕某点逆时针旋转角α获取的，点 A′与 A 对应，那么角α〕的大小为〔A．30°B．60°C． 90°D．120°【考点】 R2：旋转的性质．【解析】依照题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小．【解答】解：如图：显然，旋转角为90°，应选 C．19．如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 E 是边 CD上一点，且 BC=EC，CF⊥BE交 AB 于点 F，P 是 EB延长线上一点，以下结论：①BE均分∠ CBF；② CF均分∠ DCB；③ BC=FB；④ PF=PC，其中正确结论的个数为〔〕A．1B．2C．3D．4【考点】 LA：菱形的判断与性质； KG：线段垂直均分线的性质；L5：平行四边形的性质．【解析】分别利用平行线的性质结合线段垂直均分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．【解答】证明：∵ BC=EC，∴∠ CEB=∠CBE，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB=∠EBF，∴∠ CBE=∠EBF，∴① BE均分∠ CBF，正确；∵BC=EC，CF⊥BE，∴∠ ECF=∠BCF，∴② CF均分∠ DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF=∠CFB，∵∠ECF=∠BCF，∴∠CFB=∠BCF，∴BF=BC，∴③正确；∵ FB=BC，CF⊥BE，∴B 点必然在 FC的垂直均分线上，即 PB 垂直均分 FC，∴PF=PC，故④正确．应选： D．20．如图，在△ ABC中，∠ C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB向点 B 以 2cm/s 的速度运动〔点 Q 运动到点 B 停止〕，在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为〔〕A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2【考点】 H7：二次函数的最值．【解析】在 Rt△ ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为 t〔0≤t≤ 4〕，那么 PC=〔6﹣t〕cm，CQ=2tcm，利用切割图形求面积法可得出 S四边形PABQ=t2﹣ 6t+24，利用配方法即可求出四边形 PABQ的面积最小值，此题得解．【解答】解：在 Rt△ABC中，∠ C=90°，AB=10cm， BC=8cm，∴ AC==6cm．设运动时间为 t〔0≤t ≤4〕，那么 PC=〔 6﹣ t〕cm，CQ=2tcm，∴S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ= AC?BC﹣ PC?CQ= ×6×8﹣〔6﹣t 〕× 2t=t2﹣ 6t+24=〔t ﹣3〕2+15，∴当 t=3 时，四边形 PABQ的面积取最小值，最小值为15．应选 C．二、填空题〔本大题共 4 小题，每题 3 分，共 12 分〕21．分式与的和为4，那么x的值为3．【考点】 B3：解分式方程．【解析】第一依照分式与的和为4，可得：求出 x 的值为多少即可．【解答】解：∵分式与的和为4，+=4，尔后依照解分式方程的方法，∴+=4，去分母，可得： 7﹣ x=4x﹣8解得： x=3经检验 x=3 是原方程的解，∴x 的值为3．故答案为：3．．关于x 的一元二次方程x2+〔 2k﹣1〕x+〔k2﹣1〕=0 无实数根，那么 k 的取值范围为k＞．22【考点】 AA：根的鉴识式．【解析】依照鉴识式的意义获取△ =〔2k﹣ 1〕2﹣4〔k2﹣ 1〕＜ 0，尔后解不等式即可．【解答】解：依照题意得△ =〔2k﹣ 1〕2﹣4〔k2﹣ 1〕＜ 0，解得 k＞．故答案为 k＞．23．工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为 150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为2cm．【考点】 MP：圆锥的计算．【解析】直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径，进而利用勾股定理得出圆锥的高．【解答】解：由题意可得圆锥的母线长为：24cm，设圆锥底面圆的半径为：r，那么 2πr=，解得： r=10，故这个圆锥的高为：=2〔 cm〕．故答案为：2〔cm〕．24．如图，∠ BAC=30°，M 为 AC上一点， AM=2，点 P 是 AB 上的一动点， PQ⊥ AC，垂足为点Q，那么 PM+PQ 的最小值为．【考点】 PA：轴对称﹣最短路线问题．【解析】此题作点 M 关于 AB 的对称点 N，依照轴对称性找出点P 的地址，如图，依照三角函数求出 MN，∠ N，再依照三角函数求出结论．【解答】解：作点 M 关于 AB的对称点 N，过 N 作 NQ⊥ AC于 Q 交 AB 于 P，那么 NQ 的长即为 PM+PQ的最小值，连接 MN 交 AB 于 D，那么 MD⊥ AB，DM=DN，∵∠ NPB=∠APQ，∴∠ N=∠ BAC=30°，∵∠ BAC=30°，AM=2，∴MD= AM=1，∴MN=2，∴NQ=MN?cos∠ N=2× = ，故答案为：．三、解答题〔本大题共 5 小题，共 48 分〕25．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边 OA 在 x 轴的正半轴上，∠ OBA=90°，且 tan∠ AOB= ，OB=2，反比率函数y=的图象经过点B．（1〕求反比率函数的表达式；（2〕假设△ AMB 与△ AOB关于直线 AB 对称，一次函数 y=mx+n 的图象过点 M 、A，求一次函数的表达式．【考点】 G6：反比率函数图象上点的坐标特色；F8：一次函数图象上点的坐标特色；T7：解直角三角形．【解析】〔1〕过点 B 作 BD⊥OA 于点 D，设 BD=a，经过解直角△ OBD获取 OD=2BD．尔后利用勾股定理列出关于 a 的方程并解答即可；（2〕欲求直线 AM 的表达式，只需推知点 A、M 的坐标即可．经过解直角△ AOB 求得 OA=5，那么 A〔5，0〕．依照对称的性质获取： OM=2OB，结合 B〔4，2〕求得 M〔8，4〕．尔后由待定系数法求一次函数解析式即可．【解答】解：〔1〕过点 B 作 BD⊥OA 于点 D，设 BD=a，∵ tan∠AOB= = ，∴OD=2BD．∵∠ ODB=90°，OB=2，∴a2+〔 2a〕2=〔 2 〕2，解得 a=±2〔舍去﹣ 2〕，∴a=2．∴OD=4，∴B〔4，2〕，∴k=4×2=8，∴反比率函数表达式为： y= ；（2〕∵ tan∠AOB= ，OB=2 ，∴ AB= OB= ，∴ OA===5，∴A〔5，0〕．又△ AMB 与△ AOB关于直线 AB 对称， B〔4，2〕，∴OM=2OB，∴M〔8，4〕．把点 M 、 A 的坐标分别代入y=mx+n，得，解得，故一次函数表达式为：y= x﹣．26．某水果商从批发市场用 8000 元购进了大樱桃和小樱桃各 200 千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多 20 元，大樱桃售价为每千克 40 元，小樱桃售价为每千克 16 元．（1〕大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？（2〕该水果商第二次仍用 8000 元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各 200 千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃耗费了 20%．假设小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱很多于第一次所赚钱的 90%，大樱桃的售价最少应为多少？【考点】 C9：一元一次不等式的应用； 9A：二元一次方程组的应用．【解析】〔1〕依照用 8000 元购进了大樱桃和小樱桃各 200 千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20 元，分别得出等式求出答案；〔 2〕依照要想让第二次赚的钱很多于第一次所赚钱的90%，得出不等式求出答案．【解答】解：〔1〕设小樱桃的进价为每千克x 元，大樱桃的进价为每千克y 元，依照题意可得：，解得：，小樱桃的进价为每千克10 元，大樱桃的进价为每千克30 元，200× [ 〔 40﹣30〕+〔16﹣ 10〕] =3200〔元〕，∴销售完后，该水果商共赚了3200 元；（2〕设大樱桃的售价为 a 元 / 千克，（1﹣ 20%〕× 200×16+200a﹣ 8000≥ 3200× 90%，解得： a≥，答：大樱桃的售价最少应为41.6 元/ 千克．27．如图，四边形 ABCD中， AB=AC=AD，AC 均分∠ BAD，点 P 是 AC 延长线上一点，且PD⊥ AD．（1〕证明：∠ BDC=∠PDC；（2〕假设 AC 与 BD 订交于点 E，AB=1，CE： CP=2：3，求 AE 的长．【考点】 S9：相似三角形的判断与性质．【解析】〔1〕直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；〔 2〕第一过点 C 作 CM⊥PD 于点 M ，进而得出△ CPM∽△ APD，求出 EC的长即可得出答案．【解答】〔1〕证明：∵ AB=AD， AC均分∠ BAD，∴AC⊥BD，∴∠ ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ ACD=∠ADC，∴∠ ADC+∠BDC=90°，∴∠ BDC=∠PDC；（2〕解：过点 C 作 CM⊥PD 于点 M ，∵∠ BDC=∠PDC，∴ CE=CM，∵∠ CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△ CPM∽△ APD，∴ = ，设 CM=CE=x，∵ CE：CP=2：3，∴ PC= x，∵ AB=AD=AC=1，∴=，解得： x=，故 AE=1﹣=．28．如图，是将抛物线y=﹣ x2平移后获取的抛物线，其对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A 〔﹣ 1，0〕，另一个交点为B，与 y 轴的交点为 C．（1〕求抛物线的函数表达式；（2〕假设点 N 为抛物线上一点，且 BC⊥ NC，求点 N 的坐标；（3〕点 P 是抛物线上一点，点 Q 是一次函数 y= x+ 的图象上一点，假设四边形 OAPQ为平行四边形，这样的点 P、Q 可否存在？假设存在，分别求出点 P，Q 的坐标；假设不存在，说明原由．【考点】 HF：二次函数综合题．【解析】〔1〕抛物线的对称轴，所以可以设出极点式，利用待定系数法求函数解析式；（2〕第一求得 B 和 C 的坐标，易证△ OBC是等腰直角三角形，过点 N 作 NH⊥ y 轴，垂足是 H，设点 N 纵坐标是〔 a，﹣ a2+2a+3〕，依照 CH=NH即可列方程求解；（3〕四边形 OAPQ是平行四边形，那么 PQ=OA=1，且 PQ∥OA，设 P〔t ，﹣t 2+2t+3〕，代入y=x+，即可求解．【解答】解：〔1〕设抛物线的解析式是y=﹣〔 x﹣ 1〕2+k．把〔﹣ 1，0〕代入得 0=﹣〔﹣ 1﹣ 1〕2+k，解得 k=4，那么抛物线的解析式是y=﹣〔 x﹣1〕2+4，即 y=﹣x2+2x+3；（2〕在 y=﹣x2+2x+3 中令 x=0，那么 y=3，即 C 的坐标是〔 0， 3〕，OC=3．∵B 的坐标是〔3，0〕，∴ OB=3，∴ OC=OB，那么△ OBC是等腰直角三角形．∴∠ OCB=45°，过点 N 作 NH⊥y 轴，垂足是 H．∵∠ NCB=90°，∴∠ NCH=45°，∴ NH=CH，∴ HO=OC+CH=3+CH=3+NH，设点 N 纵坐标是〔 a，﹣a2+2a+3〕．∴ a+3=﹣ a2+2a+3，解得 a=0〔舍去〕或 a=1，∴ N 的坐标是〔 1，4〕；（3〕∵四边形 OAPQ是平行四边形，那么 PQ=OA=1，且 PQ∥ OA，设 P〔t ，﹣ t2 +2t+3〕，代入 y=x+ ，那么﹣ t 2+2t +3= 〔t +1〕 + ，整理，得 2t2﹣ t=0，解得 t=0 或．∴﹣ t2+2t+3 的值为 3 或．∴ P、 Q 的坐标是〔 0，3〕，〔 1， 3〕或〔，〕、〔，〕．29．如图，四边形ABCD是平行四边形， AD=AC， AD⊥ AC，E 是 AB 的中点， F 是 AC延长线上一点．（1〕假设 ED⊥EF，求证： ED=EF；（2〕在〔 1〕的条件下，假设 DC 的延长线与 FB 交于点 P，试判断四边形 ACPE可否为平行四边形？并证明你的结论〔请先补全图形，再解答〕；（3〕假设 ED=EF，ED 与 EF垂直吗？假设垂直给出证明．【考点】 LO：四边形综合题．【解析】〔1〕依照平行四边形的想知道的 AD=AC，AD⊥AC，连接 CE，依照全等三角形的判断和性质即可获取结论；〔 2〕依照全等三角形的性质获取 CF=AD，等量代换获取 AC=CF，于是获取 CP= AB=AE，依照平行四边形的判判定理即可获取四边形 ACPE为平行四边形；〔 3〕过 E 作 EM⊥DA 交 DA 的延长线于 M ，过 E 作 EN⊥FC交 FC的延长线于 N，证得△ AME ≌△ CNE，△ ADE≌△ CFE，依照全等三角形的性质即可获取结论．【解答】〔1〕证明：在 ?ABCD中，∵AD=AC， AD⊥AC，∴ AC=BC， AC⊥ BC，连接 CE，∵E 是 AB 的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠ CEF=∠AED=90°﹣∠ CED，在△ CEF和△ AED中，，∴△ CEF≌△ AED，∴ED=EF；（2〕解：由〔 1〕知△ CEF≌△ AED，CF=AD，∵ AD=AC，∴ AC=CF，∵DP∥AB，∴ FP=PB，∴ CP= AB=AE，∴四边形 ACPE为平行四边形；〔 3〕解：垂直，原由：过 E 作 EM⊥ DA 交 DA 的延长线于 M ，过 E 作 EN⊥FC交 FC的延长线于 N，在△ AME 与△ CNE中，，∴△ AME≌△ CNE，∴∠ ADE=∠CFE，在△ ADE与△ CFE中，，∴△ ADE≌△ CFE，∴∠ DEA=∠FEC，∵∠ DEA+∠DEC=90°，∴∠ CEF+∠DEC=90°，∴∠ DEF=90°，∴ED⊥EF．2021年7月4日。

绝密★启用前学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.−23的倒数为( )A. −32B. −23C. 32D. 232.下列运算正确的是( )A. 2a+3b=5abB. (a−b)2=a2−b2C. (ab2)3=a3b5D. 3a3⋅(−4a2)=−12a53.2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果.科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿年用科学记数法表示为( )A. 2.03×108年B. 2.03×109年C. 2.03×1010年D. 20.3×109年4.小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如图四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.5.把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1=35°，则∠2的度数等于( )A. 65°B. 55°C. 45°D. 60°6.为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测.在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩(单位：个)如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．根据这组数据判断下列结论中错误的是( )A. 这组数据的众数是11B. 这组数据的中位数是10C. 这组数据的平均数是10D. 这组数据的方差是4.67.如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC=115°，则∠BAC的度数是( )A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°(a,b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是( )8.一次函数y=ax+b与反比例函数y=abxA. B.C. D.9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO=40°，∠ACB=70°，则阴影部分的面积是( )πA. 43πB. 83πC. 163πD. 32310.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两.根据题意得( ) A. {11x =9y (10y +x)−(8x +y)=13B. {10y +x =8x +y 9x +13=11yC. {9x =11y (10y +x)−(8x +y)=13D. {9x =11y (8x +y)−(10y +x)=1311.如图，△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，∠A =36°.以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于点F ，交BC 于点G ，分别以点F 和点G 为圆心，大于12FG 的长为半径作弧，两弧相交于点H ，作射线BH 交AC 于点D ；分别以点B 和点D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN 交AB 于点E ，连接DE.下列四个结论：①∠AED =∠ABC ；②BC =AE ；③ED =12BC ；④当AC =2时，AD =√ 5−1.其中正确结论的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 412.如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(−6,4)；Rt △COD 中，∠COD =90°，OD =4√ 3，∠D =30°，连接BC ，点M 是BC 中点，连接AM.将Rt △COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM 的最小值是( ) A. 3B. 6√ 2−4C. 2√ 13−2D. 2二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

山东省泰安市中考数学试卷（含解析）一、（本大题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．计算（﹣2）0+9÷（﹣3）的结果是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【分析】根据零指数幂和有理数的除法法则计算即可．【解答】解：原式=1+（﹣3）=﹣2，故选：B．【点评】本题考查的是零指数幂和有理数的除法运算，掌握任何不为0的数的零次幂为1、灵活运用有理数的除法法则是解题的关键．2．下列计算正确的是（）A．2=﹣4a2C．m3m2=m6D．a6÷a2=a4【分析】直接利用同底数幂的乘除法运算法则以及结合积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则分别化简求出答案．【解答】解：A、（a2）3=a6，故此选项错误；B、（﹣2a）2=4a2，故此选项错误；C、m3m2=m5，故此选项错误；D、a6÷a2=a4，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法运算法则以及积的乘方运算法则和幂的乘方运算等知识，正确掌握相关法则是解题关键．3．下列图形：任取一个是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．1【分析】由共有4种等可能的结果，任取一个是中心对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵共有4种等可能的结果，任取一个是中心对称图形的有3种情况，∴任取一个是中心对称图形的概率是：．故选C．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．化简：÷﹣的结果为（）A．B．C．D．a【分析】先将分式的分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算分式的加法即可．【解答】解：原式=×﹣=﹣=，故选：C．【点评】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．5．如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为（）A．90°B．120°C．135°D．150°【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，∴圆锥的底面周长为6π，∵圆锥的高是6，∴圆锥的母线长为=9，设扇形的圆心角为n°，∴=6π，解得n=120．答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．故选B．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．6．国家统计局的相关数据显示，我国国民生产总值（GDP）约为67.67万亿元，将这个数据用科学记数法表示为（）A．6.767×1013元B．6.767×1012元C．6.767×1012元D．6.767×1014元【分析】首先把5.3万亿化为53000亿，再用科学记数法表示53000，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：67.67万亿元=6.767×1013元，故选：A．【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB，证出BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．【解答】解：∵四边形AB CD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵∠C平分线为CF，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．8．如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（）A．p B．q C．m D．n【分析】根据n+q=0可以得到n、q的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决．【解答】解：∵n+q=0，∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，∴绝对值最大的点P表示的数p，故选A．【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．9．一元二次方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2=7的根的情况是（）A．无实数根B．有一正根一负根C．有两个正根D．有两个负根【分析】直接去括号，进而合并同类项，求出方程的根即可．【解答】解：∵（x+1）2﹣2（x﹣1）2=7，∴x2+2x+1﹣2（x2﹣2x+1）=7，整理得：﹣x2+6x﹣8=0，则x2﹣6x+8=0，（x﹣4）（x﹣2）=0，解得：x1=4，x2=2，故方程有两个正根．故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确利用完全平方公式计算是解题关键．10．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（）A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°，由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．11．某学校将为初一学生开设ABCDEF共6门选修课，现选取若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课”调查，将调查结果绘制成如图统计图表（不完整）选修课 A B C D E F人数 40 60 100根据图表提供的信息，下列结论错误的是（）A．这次被调查的学生人数为400人B．扇形统计图中E部分扇形的圆心角为72°C．被调查的学生中喜欢选修课E、F的人数分别为80，70D．喜欢选修课C的人数最少【分析】通过计算得出选项A、B、C正确，选项D错误，即可得出结论．【解答】解：被调查的学生人数为60÷15%=400（人），∴选项A正确；扇形统计图中D的圆心角为×360°=90°，∵×360°=36°，360°（17.5%+15%+12.5%）=162°，∴扇形统计图中E的圆心角=360°﹣162°﹣90°﹣36°=72°，∴选项B正确；∵400×=80（人），400×17.5%=70（人），∴选项C正确；∵12.5%＞10%，∴喜欢选修课A的人数最少，∴选项D错误；故选：D．【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）A．B． C．D．【分析】由y=ax2+bx+c的图象判断出a＞0，b＜0，于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一，二，四象限，即可得到结论．【解答】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b＞0，∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．故选A．【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的取值范围．13．某机加工车间共有26名工人，现要加工2100个A零件，1200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？设安排x人加工A零件，由题意列方程得（）A． =B． =C． =D．×30=×20【分析】直接利用现要加工2100个A零件，1200个B零件，同时完成两种零件的加工任务，进而得出等式即可．【解答】解：设安排x人加工A零件，由题意列方程得：=．故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出加工两种零件所用的时间是解题关键．14．当x满足时，方程x2﹣2x﹣5=0的根是（）A．1±B．﹣1 C．1﹣D．1+【分析】先求出不等式组的解，再求出方程的解，根据范围即可确定x的值．【解答】解：，解得：2＜x＜6，∵方程x2﹣2x﹣5=0，∴x=1±，∵2＜x＜6，∴x=1+．故选D．【点评】本题考查解一元一次不等式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握不等式组以及一元二次方程的解法是解题的关键，属于中考常考题型．15．在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y=（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及坐标轴上的点的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，一共有20种可能，其中取到0的有8种可能，∴顶点在坐标轴上的概率为=．故选A．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，属于中考常考题型．16．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，MN=30×2=60（海里），∵∠MNC=90°，∠CPN=46°，∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°，∵∠BMP=68°，∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，∴∠PMN=∠MPN，∴MN=PN=60（海里），∵∠CNP=46°，∴∠PNA=44°，∴PA=PNsin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里）故选：B．【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．17．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（）A．1：B．1：C．1：2 D．2：3【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到，根据三角形的角平分线定理得到=，求出AD=AB，BD=AB，过C作CE⊥AB于E，连接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE=AB，CE=AB，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴AD=AB，BD=AB，过C作CE⊥AB于E，连接OE，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴OE⊥AB，∴OE=AB，CE=AB，∴S△ADE：S△CDB=（ADOE）：（BDCE）=（）：（）=2：3．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．18．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．19．当1≤x≤4时，mx﹣4＜0，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m＞4 D．m＜4【分析】设y=mx﹣4，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：设y=mx﹣4，由题意得，当x=1时，y＜0，即m﹣4＜0，解得m＜4，当x=4时，y＜0，即4m﹣4＜0，解得，m＜1，则m的取值范围是m＜1，故选：B．【点评】本题考查的是含字母系数的一元一次不等式的解法，正确利用函数思想、数形结合思想是解题的关键．20．如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD 交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°，∴∠BPD=∠CAP，∴△BPD∽△CAP，∴BP：AC=BD：PC，∵正△ABC的边长为4，BP=x，BD=y，∴x：4=y：（4﹣x），∴y=﹣x2+x．故选C．【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD∽△CAP 是关键．二、填空题（本大题共4小题，满分12分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分，）21．将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为y=2（x+2）2﹣2．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求得即可．【解答】解：抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到y=2（x﹣1+3）2+2﹣4=2（x+2）2﹣2．故得到抛物线的解析式为y=2（x+2）2﹣2．故答案为：y=2（x+2）2﹣2．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．22．如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为．【分析】要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据∠B=30°和OB的长求得，OE可以根据∠OCE和OC的长求得．【解答】解：连接OD，如右图所示，由已知可得，∠BOA=90°，OD=OC=3，∠B=30°，∠ODB=90°，∴BO=2OD=6，∠BOD=60°，∴∠ODC=∠OCD=60°，AO=BOtan30°=，∵∠COE=90°，OC=3，∴OE=OCtan60°=，∴AE=OE﹣OA=，故答案为：．【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23．如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF 的面积为．【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出BF，根据勾股定理求出OF，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，又AB=6，AD=BC=8，∴BD==10，∵EF是BD的垂直平分线，∴OB=OD=5，∠BOF=90°，又∠C=90°，∴△BOF∽△BCD，∴=，即=，解得，BF=，则OF==，则△BOF的面积=×OF×OB=，故答案为：．【点评】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l 上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为2n+1﹣2．【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．【解答】解：由题意得OA=OA1=2，∴OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，…∴B n的横坐标为2n+1﹣2．故答案为 2n+1﹣2．【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共5小题，满分48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y=的图象经过点D，与BC的交点为N．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．【分析】（1）由正方形OABC的顶点C坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据AD=2DB，求出AD 的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出m的值，再由AM=2MO，确定出MO的长，即M坐标，将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）把y=3代入反比例解析式求出x的值，确定出N坐标，得到NC的长，设P（x，y），根据△OPM 的面积与四边形OMNC的面积相等，求出y的值，进而得到x的值，确定出P坐标即可．【解答】解：（1）∵正方形OABC的顶点C（0，3），∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，∵AD=2DB，∴AD=AB=2，∴D（﹣3，2），把D坐标代入y=得：m=﹣6，∴反比例解析式为y=﹣，∵AM=2MO，∴MO=OA=1，即M（﹣1，0），把M与D坐标代入y=kx+b中得：，解得：k=b=﹣1，则直线DM解析式为y=﹣x﹣1；（2）把y=3代入y=﹣得：x=﹣2，∴N（﹣2，3），即NC=2，设P（x，y），∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，∴（OM+NC）OC=OM|y|，即|y|=9，解得：y=±9，当y=9时，x=﹣10，当y=﹣9时，x=8，则P坐标为（﹣10，9）或（8，﹣9）．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，以及三角形面积计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．26．某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．（1）求两种球拍每副各多少元？（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．【分析】（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买直拍球拍m副，根据题意列出不等式，解不等式求出m的范围，根据题意列出费用关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，由题意得，，解得，，答：直拍球拍每副220元，横拍球每副260元；（2）设购买直拍球拍m副，则购买横拍球（40﹣m）副，由题意得，m≤3（40﹣m），解得，m≤30，设买40副球拍所需的费用为w，则w=（220+20）m+（260+20）（40﹣m）=﹣40m+11200，∵﹣40＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m=30时，w取最大值，最大值为﹣40×30+11200=10000（元）．答：购买直拍球拍30副，则购买横拍球10副时，费用最少．【点评】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式并正确解出方程组和不等式是解题的关键．27．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．（1）求证：AC2=CDBC；（2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB．①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH；②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．【分析】（1）欲证明AC2=CDBC，只需推知△ACD∽△BCA即可；（2）①连接AH．构建直角△AHC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰对等角以及等量代换得到：∠FHG=∠CAB=90°，即FH⊥GH；②利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等，则四边形AKEC是菱形．【解答】证明：（1）∵AC平分∠BCD，∴∠DCA=∠ACB．又∵AC⊥AB，AD⊥AE，∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°，∴∠DAC=∠EAB．又∵E是BC的中点，∴AE=BE，∴∠EAB=∠ABC，∴∠DAC=∠ABC，∴△ACD∽△BCA，∴=，∴AC2=CDBC；（2）①证明：连接AH．∵∠ADC=∠BAC=90°，点H、D关于AC对称，∴AH⊥BC．∵EG⊥AB，AE=BE，∴点G是AB的中点，∴HG=AG，∴∠GAH=GHA．∵点F为AC的中点，∴AF=FH，∴∠HAF=∠FHA，∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°，∴FH⊥GH；②∵EK⊥AB，AC⊥AB，∴EK∥AC，又∵∠B=30°，∴AC=BC=EB=EC．又EK=EB，∴EK=AC，即AK=KE=EC=CA，∴四边形AKEC是菱形．【点评】本题考查了四边形综合题，需要熟练掌握相似三角形的判定与性质，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及菱形的判定才能解答该题，难度较大．28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9=5，∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，∵AC=4，∴S四边形APCD=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，∴当x=﹣=时，∴S四边形APCD最大=，（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直线AE解析式为y=5x+5，∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），∵AE2=OA2+0E2=26∵MN=AE∴MN2=AE2，∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N=M2N，∴1+（b+2）2=26，∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13或10+b=3∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．29．（1）已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°（如图①）．求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；（3）若将（1）中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”，其它条件不变，则的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程）【分析】（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；（3）作DF∥BC交AC于F，同（1）得：△DBE≌△CFD，得出EB=DF，证出△ADF是等腰直角三角形，得出DF=AD，即可得出结果．【解答】（1）证明：作DF∥BC交AC于F，如图1所示：则∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，∴△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，∴AD=DF，∵∠DEC=∠DCE，∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，在△DBE和△CFD中，，∴△DBE≌△CFD（AAS），∴EB=DF，∴EB=AD；（2）解：EB=AD成立；理由如下：作DF∥BC交AC的延长线于F，如图2所示：同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，又∵∠DBE=∠DFC=60°，∴在△DBE和△CFD中，，∴△DBE≌△CFD（AAS），∴EB=DF，∴EB=AD；（3）解： =；理由如下：作DF∥BC交AC于F，如图3所示：同（1）得：△DBE≌△CFD（AAS），∴EB=DF，∵△ABC是等腰直角三角形，DF∥BC，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF=AD，∴=，∴=．【点评】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．。

泰安中考数学试题及答案2024一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 2x + 3 = 5x - 7B. 2x + 3 = 5x + 7C. 2x - 3 = 5x + 7D. 2x - 3 = 5x - 7答案：D2. 圆的周长公式是什么？A. C = πdB. C = 2πrC. C = πr²D. C = 2πd答案：B3. 一个数的平方根是它本身的数是？A. 0B. 1C. -1D. A和B答案：D4. 计算下列哪个表达式的结果是正数？A. (-3) × (-2)B. (-3) × 2C. (-3) + (-2)D. (-3) - 2答案：A5. 以下哪个选项表示的是锐角？A. 90°B. 120°C. 45°D. 180°答案：C6. 一个等腰三角形的底角是45°，那么顶角是多少度？A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°答案：C7. 一个数的相反数是-5，那么这个数是？A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A8. 以下哪个选项是正确的比例关系？A. 3:4 = 6:8B. 3:4 ≠ 6:8C. 3:4 = 6:9D. 3:4 ≠ 6:9答案：A9. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C10. 一个数除以-2等于-3，那么这个数是？A. 6B. -6C. 3D. -3答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的立方是-8，这个数是______。

答案：-212. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度是______。

答案：513. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是______。

答案：314. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是______。

2021 年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题〔本大题共12 小题，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分〕1．〔 4 分〕在实数|﹣ 3.14| ，﹣ 3 ，﹣，π 中，最小的数是〔〕A ．﹣B ．﹣ 3C． |﹣ 3.14|D．π2．〔 4 分〕以下运算正确的选项是〔〕633428 2 36224A ． a ÷a ＝ aB ． a ?a ＝ a C．〔 2a 〕＝ 6a D．a +a ＝ a3．〔 4 分〕 2021 年 12 月 8 日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号〞探测器，“嫦娥四号〞进入近地点约200公里、远地点约42 万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为〔〕A ．×10 9米877B ． 4.2 ×10 米C． 42 × 10 米D．4.2 × 10 米4．〔 4 分〕以下图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是〔〕A ．①②B ．②③C．②④D．③④5．〔 4 分〕如图，直线11∥ 12，∠ 1 ＝ 30 °，那么∠ 2+ ∠ 3 ＝〔〕A ． 150 °B ． 180 °C． 210 °D．240 °6．〔 4 分〕某射击运发动在训练中射击了10 次，成绩如下图：以下结论不正确的选项是〔〕A ．众数是8B．中位数是8 C．平均数是D．方差是7．〔 4 分〕不等式组的解集是〔〕A ． x≤ 2B ． x≥﹣ 2C．﹣ 2＜ x≤ 2D．﹣ 2≤ x＜ 28．〔 4分〕如图，一艘船由 A 港沿北偏东65 °方向航行30km至 B 港，然后再沿北偏西40 °方向航行至 C 港， C港在A港北偏东20 °方向，那么A，C两港之间的距离为〔〕 km．A ． 30+30B ． 30+10C．10+30D．309．〔 4 分〕如图，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形，∠ A＝119°，过点 C 的圆的切线交BO 于点P，那么∠ P 的度数为〔〕A．32 °B．31 °C． 29 °D．61 °10 ．〔4 分〕一个盒子中装有标号为1，2，3，4， 5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，那么摸出的小球标号之和大于 5 的概率为〔〕A ．B ．C．D．11．〔 4 分〕如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O ，假设⊙O 的半径为3，那么的长为〔〕A ．πB ．πC． 2πD．3π12 ．〔 4 分〕如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E为 AB 的中点， F 为 EC 上一动点，P 为 DF 中点，连接PB ，那么PB 的最小值是〔〕A ． 2B ． 4C．D．二、填空题〔本大题共6 小题，总分值24 分，只要求填写最后结果，每题填对得 4 分〕2213．〔 4 分〕关于x 的一元二次方程x ﹣〔2k﹣1〕x+k +3＝ 0 有两个不相等的实数根，那么实数 k 的取值范围是．14．〔 4 分〕?九章算术?是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？〞意思是：甲袋中装有黄金9 枚〔每枚黄金重量相同〕，乙袋中装有白银 11 枚〔每枚白银重量相同〕，称重两袋相等，两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了13 两〔袋子重量忽略不计〕，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为．15．〔 4 分〕如图，∠ AOB ＝ 90 °，∠B＝ 30 °，以点 O 为圆心， OA 为半径作弧交AB 于点 A、点 C，交 OB 于点 D，假设 OA ＝ 3，那么阴影都分的面积为．2216 ．〔 4分〕假设二次函数y＝x +bx ﹣5的对称轴为直线x＝2，那么关于x 的方程x +bx﹣5＝2x ﹣13的解为．17．〔 4分〕在平面直角坐标系中，直线l ：y＝x+1与 y 轴交于点 A 1，如下图，依次作正方形OA 1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形 C 2A3B3C3，正方形 C 3A4B4C4， ??，点A1，A2，A3，A 4， ??在直线l 上，点C1，C2，C3，C4， ??在x轴正半轴上，那么前n 个正方形对角线长的和是．18 ．〔4 分〕如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F 为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G 处，那么折痕EF的长是．三、解答题〔本大题共7 小题，总分值78 分，解容许写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤〕19 ．〔 8 分〕先化简，再求值：〔a﹣9+〕÷〔a﹣1﹣〕，其中a＝．20 ．〔 8 分〕为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛〞活动，从中随机抽取局部学生的比赛成绩，根据成绩〔成绩都高于 50 分〕，绘制了如下的统计图表〔不完整〕：组别分数人数第 1组90＜ x≤ 1008第 2组80＜ x≤ 90a第 3组70＜ x≤ 8010第 4组60＜ x≤ 70b第 5组50＜ x≤ 603请根据以上信息，解答以下问题：（1〕求出 a ， b 的值；（2〕计算扇形统计图中“第5 组〞所在扇形圆心角的度数；〔3〕假设该校共有1800 名学生，那么成绩高于80 分的共有多少人？21 ．〔 11 分〕一次函数y＝kx+b 的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与 x 轴交于点B〔5，0〕，假设OB＝AB ，且S△OAB＝．〔1〕求反比例函数与一次函数的表达式；〔2〕假设点 P 为 x 轴上一点，△ ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．22 ．〔 11分〕端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B 粽子1100个，购置 A 种粽子与购置 B 种粽子的费用相同． A 种粽子的单价是 B 种粽子单价的 1.2 倍．两种〔1〕求 A、 B 两种粽子的单价各是多少？〔2〕假设方案用不超过7000 元的资金再次购进A、 B 两种粽子共2600 个，A、B 两种粽子的进价不变．求A 种粽子最多能购进多少个？23 ．〔13 分〕在矩形 ABCD 中， AE ⊥BD 于点 E，点 P 是边 AD 上一点．（1〕假设 BP 平分∠ ABD ，交 AE 于点 G， PF ⊥ BD 于点 F ，如图①，证明四边形 AGFP 是菱形；（2〕假设 PE ⊥ EC ，如图②，求证： AE?AB ＝ DE ?AP ；〔3〕在〔 2〕的条件下，假设AB ＝ 1， BC＝ 2，求 AP 的长．224 ．〔13分〕假设二次函y＝ax +bx+c的图象与x 轴、y 轴分别交于点A〔3，0〕、B〔0 ，﹣2〕，且过点C〔2 ，﹣数2〕．〔1〕求二次函数表达式；〔2〕假设点 P 为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝ 4 ，求点P 的坐标；〔3〕在抛物线上〔AB 下方〕是否存在点M ，使∠ ABO ＝∠ ABM ？假设存在，求出点M 到y轴的距离；假设不存在，请说明理由．25 ．〔 14 分〕如图，四边形ABCD 是正方形，△EFC 是等腰直角三角形，点 E 在 AB 上，且∠CEF ＝ 90°， FG ⊥ AD ，垂足为点 C ．（1〕试判断 AG 与 FG 是否相等？并给出证明；（2〕假设点 H 为 CF 的中点， GH 与 DH 垂直吗？假设垂直，给出证明；假设不垂直，说明理由．2021 年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共12 小题，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分〕1．〔4分〕在实数|﹣ 3.14| ，﹣ 3，﹣，π 中，最小的数是〔〕A ．﹣B．﹣ 3C ．﹣D．π| 3.14|【分析】根据绝对值的大小进行比拟即可，两负数比拟大小，绝对值大的反尔小．【解答】解：∵||＝＜ |﹣ 3|＝ 3∴﹣＜〔﹣ 3〕C、 D 项为正数， A 、 B 项为负数，正数大于负数，应选： B．【点评】此题主要考查利用绝对值来比拟实数的大小，此题要掌握性质〞两负数比拟大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．2．〔 4 分〕以下运算正确的选项是〔〕633428236224A ． a ÷a ＝ aB ． a ?a ＝ a C．〔 2a 〕＝ 6a D．a +a ＝ a【分析】直接利用合并同类项法那么以及积的乘方运算法那么、同底数幂的乘除运算法那么分别计算得出答案．633【解答】解：A、a÷ a＝a，故此选项正确；426B、 a ?a＝a，故此选项错误；236C、〔 2a 〕＝ 8a，故此选项错误；2 22D、 a +a＝2a，故此选项错误；应选： A．【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法那么是解题关键．3．〔 4 分〕 2021 年 12 月 8 日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号〞探测器，“嫦娥四号〞进入近地点约200公里、远地点约42 万公里的地月转移轨道，将数据 42万公里用科学记数法表示为〔〕A ．×10 9米 B ． 4.2 ×108C． 42 × 107D．4.2 × 107米米米a× 10n1≤|a| ＜ 10 ， n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜1 时， n 是负数．8【解答】解：42万公里＝420000000m用科学记数法表示为： 4.2 × 10米，应选： B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a× 10n 的形式，其中1≤ |a|＜ 10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及n 的值．4．〔 4 分〕以下图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是〔〕A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．【解答】解：① 是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；② 是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③ 是轴对称图形且有 4 条对称轴，故本选项错误；④ 不是轴对称图形，故本选项错误．应选： A．【点评】此题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合．5．〔 4 分〕如图，直线11∥ 12，∠ 1 ＝ 30 °，那么∠ 2+ ∠ 3 ＝〔〕A ． 150 °B ． 180 °C． 210 °D．240 °【分析】过点 E 作 EF ∥ 11，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：过点 E 作 EF ∥ 11，∵11∥ 12， EF ∥ 11，∴EF ∥ 11∥ 12，∴∠ 1＝∠ AEF ＝ 30 °，∠ FEC + ∠ 3 ＝ 180 °，∴∠ 2+ ∠ 3＝∠ AEF+ ∠FEC + ∠ 3＝ 30 ° +180 °＝ 210 °，应选： C．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．6．〔 4 分〕某射击运发动在训练中射击了10 次，成绩如下图：以下结论不正确的选项是〔〕A ．众数是8B．中位数是8C．平均数是D．方差是【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．【解答】解：由图可得，数据8 出现 3 次，次数最多，所以众数为8，故 A 选项正确；10 次成绩排序后为：6， 7 ，7， 8， 8， 8， 9 ， 9 ， 10， 10 ，所以中位数是〔8+8〕＝8，故B 选项正确；平均数为〔 6+7 × 2+8 × 3+9 × 2+10 ×2〕＝ 8.2 ，故 C 选项正确；22222222方差为[〔 6 ﹣ 8.2 〕 +〔 7﹣8.2 〕+〔 7﹣ 8.2 〕 +〔 8﹣ 8.2 〕 +〔 8﹣ 8.2 〕 +〔 8﹣ 8.2 〕+〔 9 ﹣8.2 〕 +〔 9﹣ 8.2 〕 +22〔10 ﹣ 8.2 〕 + 〔 10 ﹣ 8.2 〕 ]＝ 1.56 ，故 D 选项错误；应选： D．【点评】此题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均〞得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．7．〔 4 分〕不等式组的解集是〔〕A ． x≤ 2B ． x≥﹣ 2C．﹣ 2 ＜ x ≤ 2D．﹣ 2≤ x＜ 2【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由① 得， x≥﹣ 2，由② 得， x＜ 2，所以不等式组的解集是﹣2≤ x＜ 2．应选： D．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到〔无解〕．C 港， C港8．〔 4 分〕如图，一艘船由 A 港沿北偏东65 °方向航行30km 至 B 港，然后再沿北偏西40 °方向航行至在 A 港北偏东20 °方向，那么A， C 两港之间的距离为〔〕km．A ． 30+30B ． 30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB ＝65 °﹣ 20 °，∠ ACB ＝ 40 ° +20 °＝ 60 °， AB ＝ 30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB ＝ 65 °﹣ 20 °，∠ ACB ＝ 40 ° +20 °＝ 60 °， AB ＝ 30，过B 作 BE ⊥AC 于 E，∴∠AEB ＝∠ CEB ＝ 90 °，在 Rt △ ABE 中，∵∠ ABE ＝ 45 °， AB ＝ 30，∴AE ＝BE ＝AB ＝ 30km ，在Rt △ CBE 中，∵∠ ACB ＝ 60 °，∴CE ＝BE ＝ 10km ，∴AC ＝AE+CE ＝ 30+10，∴A， C 两港之间的距离为〔30+10〕km，应选： B．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是根底知识比拟简单．9．〔 4 分〕如图，△ ABC是⊙ O的内接三角形，∠ A＝119°，过点C的圆的切线交BO 于点 P ，那么∠ P 的度数为〔〕A ． 32 °B ． 31 °C．29 °D．61 °【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP ＝ 90 °，由圆内接四边形的性质得出∠ODC ＝ 180 °﹣∠A＝ 61 °，由等腰三角形的性质得出∠OCD ＝∠ ODC ＝ 61 °，求出∠DOC ＝ 58 °，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：如下图：连接OC 、 CD ，∵PC 是⊙ O 的切线，∴PC ⊥OC ，∴∠ OCP ＝ 90 °，∵∠ A＝119 °，∴∠ ODC ＝ 180 °﹣∠ A ＝61°，∵OC ＝ OD ，∴∠ OCD ＝∠ ODC ＝ 61 °，∴∠ DOC ＝ 180 °﹣ 2× 61 °＝ 58 °，∴∠ P＝ 90 °﹣∠ DOC ＝ 32 °；应选： A．【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．10 ．〔 4 分〕一个盒子中装有标号为1，2， 3， 4， 5 的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，那么摸出的小球标号之和大于 5 的概率为〔〕A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于 5 的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如下图：∵共有25 种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于 5 的有 15 种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于 5 的概率为＝；应选： C．【点评】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11 ．〔 4 分〕如图，将⊙ O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，假设⊙ O 的半径为3，那么的长为〔〕A ．πB ．πC． 2πD．3π【分析】连接OA、OB，作OC⊥ AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB ，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OA 、OB，作 OC ⊥AB 于 C ，由题意得， OC ＝OA，∴∠ OAC ＝ 30 °，∵OA ＝ OB ，∴∠ OBA ＝∠ OAC ＝30 °，∴∠ AOB ＝120 °，∴的长＝＝2π，应选： C．【点评】此题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12 ．〔 4 分〕如图，矩形ABCD 中， AB ＝ 4， AD ＝2， E 为 AB 的中点， F 为 EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，那么PB 的最小值是〔〕A ． 2B ． 4C．D．【分析】根据中位线定理可得出点点P 的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP ⊥P 1P2时， PB 取得最小值；由矩形的性质以及的数据即可知BP 1⊥ P 1P2，故BP 的最小值为BP 1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点 F 与点 C 重合时，点P 在 P1处， CP 1＝DP 1，当点 F 与点 E 重合时，点P 在 P 2处， EP 2＝ DP 2，∴P1P 2∥ CE 且 P1P2＝CE当点 F 在 EC 上除点C、 E 的位置处时，有DP ＝ FP由中位线定理可知：P1P∥CE 且P1P＝CF∴点 P 的运动轨迹是线段P1P 2，∴当BP ⊥ P1P2时， PB 取得最小值∵矩形ABCD 中， AB ＝ 4， AD ＝ 2，E 为 AB 的中点，∴△ CBE 、△ ADE 、△ BCP 1为等腰直角三角形，CP 1＝ 2∴∠ ADE ＝∠ CDE ＝∠ CP 1B＝ 45 °，∠ DEC ＝ 90 °∴∠ DP 2P1＝ 90 °∴∠ DP 1P2＝ 45 °∴∠ P2P1B＝ 90 °，即 BP 1⊥ P 1P2，∴BP 的最小值为BP 1的长在等腰直角BCP 1中， CP1＝BC ＝ 2∴BP 1＝2∴PB 的最小值是2应选： D．【点评】此题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．二、填空题〔本大题共 6 小题，总分值24分，只要求填写最后结果，每题填对得 4 分〕2213．〔 4分〕关于x 的一元二次方程x﹣〔 2k ﹣ 1 〕x+k +3 ＝ 0 有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围是k．22【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝〔2k ﹣ 1 〕﹣ 4〔 k +3〕＞ 0，求出 k 的取值范围；【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，22∴△＝〔 2k ﹣ 1〕﹣4〔k +3〕＝﹣4k+1﹣12＞0，解得 k；故答案为： k．22【点评】此题考查了一元二次方程ax +bx+c ＝ 0〔 a≠0〕的根与△＝b﹣ 4ac 有如下关系：① 当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝ 0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜ 0 时，方程无实数根．14 ．〔 4 分〕?九章算术?是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？〞意思是：甲袋中装有黄金9 枚〔每枚黄金重量相同〕，乙袋中装有白银 11 枚〔每枚白银重量相同〕，称重两袋相等，两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了13 两〔袋子重量忽略不计〕，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为．【分析】根据题意可得等量关系：枚白银的重量+8 枚黄金的重量〕＝① 9 枚黄金的重量＝11 枚白银的重量；② 〔13 两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】10枚白银的重量+1解：设每枚黄金重枚黄金的重量〕﹣〔x 两，每枚白银重y1两，由题意得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．15 ．〔 4 分〕如图，∠AOB ＝ 90 °，∠假设 OA ＝ 3，那么阴影都分的面积为B＝ 30 °，以点π．O 为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，【分析】连接 OC ，作 CH ⊥ OB 于 H ，根据直角三角形的性质求出AB ，根据勾股定理求出BD ，证明△AOC 为等边三角形，得到∠AOC ＝ 60 °，∠ COB ＝ 30 °，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答】解：连接 OC ，作 CH ⊥ OB 于 H ，∵∠ AOB ＝90 °，∠ B＝ 30 °，∴∠ OAB ＝60 °， AB ＝ 2OA ＝ 6，由勾股定理得，OB ＝＝ 3 ，∵OA ＝ OC ，∠ OAB ＝ 60 °，∴△ AOC 为等边三角形，∴∠ AOC ＝ 60 °，∴∠ COB ＝ 30 °，∴CO ＝ CB ， CH ＝ OC ＝，∴阴影都分的面积＝﹣×3× 3×+ × 3 ×﹣＝π，故答案为：π．【点评】此题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．2216 ．〔 4 分〕假设二次函数y ＝ x +bx ﹣5 的对称轴为直线x ＝ 2，那么关于 x 的方程 x +bx ﹣5＝2x ﹣13的解为x1＝2，x2＝ 4 ．【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．2【解答】解：∵二次函数y ＝ x +bx ﹣5 的对称轴为直线x ＝ 2，∴，得 b ＝﹣4，22那么 x +bx ﹣5 ＝2x ﹣13可化为： x ﹣4x ﹣5＝ 2x ﹣13 ，1＝ 22解得， x， x ＝ 4．成心答案为：x1＝ 2， x2＝ 4．【点评】此题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，利用抛物线的对称性求得 b 的值是解题的关键．17 ．〔 4 分〕在平面直角坐标系中，直线 l ：y＝ x+1与 y 轴交于点 A1，如下图，依次作正方形OA 1B1C1，正方形 C 1A2B2C2，正方形 C 2A 3B3C3，正方形 C 3A 4B4C4， ??，点 A 1， A2， A3，A4， ??在直线l 上，点 C1， C2， C3， C4， ??在xn 个n轴正半轴上，那么前正方形对角线长的和是〔 2﹣1〕．【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1， A2，A3， A4的坐标，从而可以得到前n 个正方形对角线长的和，此题得以解决．【解答】解：由题意可得，点 A1的坐标为〔0 ， 1〕，点 A2的坐标为〔 1， 2 〕，点 A 3的坐标为〔 3 ， 4 〕，点 A 4的坐标为〔 7 ， 8〕， ??，∴＝1，C1A＝2，C2A＝4，C3A＝8，??，OA1234﹣∴前n 个正方形对角线长的和是：〔 OA 11223 3 4+Cn﹣1n〕＝〔 1+2+4+8+ ? +2n 1〕，+C A+C A+C A +?An ﹣1n﹣ 1n设 S＝ 1+2+4+8+ ? +2，那么2S＝2+4+8+ ?+2+2 ，n则2S ﹣S＝2 ﹣1，n∴S＝ 2 ﹣1，∴ 1+2+4+8+ ?n﹣ 1n+2＝ 2﹣1，∴前n 个正方形对角线长的和是：n×〔2 ﹣1〕，故答案为：〔 2n﹣〕，1【点评】此题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答此题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18 ．〔 4 分〕如图，矩形恰好落到CF 上的点ABCD 中， AB ＝ 3G 处，那么折痕EF，BC ＝12 ，E的长是2为 AD．中点，F 为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A【分析】连接 EC ，利用矩形的性质，求出 EG ，DE的长度，证明 EC 平分∠ DCF ，再证∠ FEC ＝ 90 °，最后证△FEC ∽△EDC ，利用相似的性质即可求出EF 的长度．【解答】解：如图，连接EC ，∵四边形 ABCD 为矩形，∴∠A＝∠ D ＝ 90°，BC ＝AD ＝ 12 ， DC ＝AB ＝ 3，∵E 为 AD 中点，∴AE ＝DE ＝AD ＝6由翻折知，△ AEF ≌△GEF ，∴AE ＝ GE＝ 6，∠ AEF ＝∠ GEF ，∠ EGF ＝∠ EAF ＝ 90 °＝∠D，∴GE＝ DE ，∴EC 平分∠ DCG ，∴∠DCE ＝∠ GCE ，∵∠GEC ＝90 °﹣GCE∠，∠ DEC ＝ 90 °﹣DCE∠，∴∠GEC ＝∠ DEC ，×180 °＝90 °，∴∠FEC ＝∠ FEG + ∠GEC＝∴∠FEC ＝∠D ＝90 °，又∵∠DCE ＝∠ GCE ，∴△FEC ∽△EDC ，∴ ，∵EC ＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为： 2．【点评】此题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接 CE ，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．三、解答题〔本大题共7 小题，总分值78 分，解容许写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤〕19 ．〔 8 分〕先化简，再求值：〔 a﹣ 9+〕÷〔 a﹣ 1﹣〕，其中a＝．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法那么化简原式，再将 a 的值代入计算可得．【解答】解：原式＝〔+〕÷〔﹣〕＝÷＝?＝，当a ＝时，原式＝＝1﹣2．【点评】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法那么及二次根式的运算能力．20 ．〔 8 分〕为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛〞活动，从中随机抽取局部学生的比赛成绩，根据成绩〔成绩都高于50 分〕，绘制了如下的统计图表〔不完整〕：组别分数人数第 1 组90＜ x≤ 1008第 2 组80＜ x≤ 90a第 3 组70＜ x≤ 8010第 4 组60＜ x≤ 70b第 5 组50＜ x≤ 603请根据以上信息，解答以下问题：（1〕求出 a ， b 的值；（2〕计算扇形统计图中“第5 组〞所在扇形圆心角的度数；〔3〕假设该校共有1800 名学生，那么成绩高于80 分的共有多少人？【分析】〔 1〕抽取学生人数10 ÷ 25% ＝ 40 〔人〕，第 2 组人数 40 × 50% ﹣ 8＝ 12 〔人〕，第 4 组人数 40 × 50% ﹣ 10 ﹣3＝ 7 〔人〕，所以a＝ 12 ，b＝ 7；〔2〕＝27°，所以“第 5 组〞所在扇形圆心角的度数为27 °；〔 3〕成绩高于80 分： 1800 ×50% ＝900〔人〕，所以成绩高于80 分的共有 900人．【解答】解：〔 1 〕抽取学生人数10÷ 25% ＝40 〔人〕，第2 组人数 40 × 50% ﹣ 8＝ 12 〔人〕，第4 组人数 40 × 50% ﹣10 ﹣ 3＝ 7〔人〕，∴a＝ 12 ， b＝ 7；（2〕＝27°，∴“第 5 组〞所在扇形圆心角的度数为27°；（3〕成绩高于 80 分： 1800 ×50% ＝ 900 〔人〕，∴成绩高于 80 分的共有 900 人．【点评】此题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．21 ．〔 11 分〕一次函数y＝kx+b 的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与 x 轴交于点B〔5，0〕，假设OB＝AB ，且S△OAB＝．〔1〕求反比例函数与一次函数的表达式；〔2〕假设点 P 为 x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．【分析】〔 1〕先求出OB，进而求出AD ，得出点 A 坐标，最后用待定系数法即可得出结论；〔2〕分三种情况，① 当AB ＝ PB 时，得出 PB＝5，即可得出结论；②当 AB ＝ AP 时，利用点P 与点 B 关于 AD 对称，得出DP ＝ BD ＝ 4，即可得出结论；2222③当 PB ＝ AP 时，先表示出 AP＝〔 9﹣ a〕 +9，BP＝〔 5﹣ a〕，进而建立方程求解即可得出结论．A作AD⊥x轴于D，【解答】解：〔 1 〕如图 1 ，过点∵B〔 5 ，0〕，∴OB ＝ 5 ，∵S△OAB＝，∴ × 5×AD ＝，∴AD ＝ 3，∵OB ＝ AB ，∴AB ＝5，在 Rt △ ADB 中， BD ＝＝4，∴OD ＝ OB+BD ＝ 9，∴A〔 9 ，3〕，将点 A 坐标代入反比例函数y＝中得， m＝ 9×3＝ 27 ，∴反比例函数的解析式为y＝，将点 A〔 9 ， 3 〕， B〔 5， 0〕代入直线y＝ kx+b 中，，∴，∴直线AB 的解析式为y＝x﹣；（2〕由〔 1 〕知， AB ＝ 5，∵△ ABP 是等腰三角形，∴①当 AB ＝ PB 时，∴PB ＝5，∴P〔 0 ，0〕或〔 10 ， 0〕，②当 AB ＝ AP 时，如图2，由〔 1〕知， BD ＝ 4 ，易知，点P 与点 B 关于 AD 对称，∴DP ＝ BD ＝ 4 ，∴OP ＝ 5+4+4 ＝ 13 ，∴ P〔 13 ， 0〕，③当 PB ＝ AP 时，设P〔 a ， 0 〕，∵A〔 9 ，3〕， B〔5， 0〕，2222∴AP＝〔9﹣a〕+9，BP＝〔5﹣a〕，22∴〔 9﹣ a〕 +9 ＝〔 5﹣ a〕∴a＝，∴P〔， 0〕，即：满足条件的点P 的坐标为〔0， 0 〕或〔 10 ， 0〕或〔 13 ， 0〕或〔， 0〕．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解此题的关键．22 ．〔 11 分〕端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进 A、 B 两种粽子 1100 个，购置 A 种粽子与购置 B 种粽子的费用相同． A 种粽子的单价是 B 种粽子单价的 1.2 倍．〔1〕求 A、 B 两种粽子的单价各是多少？〔2〕假设方案用不超过7000 元的资金再次购进 A 、 B 两种粽子共2600 个， A、B 两种粽子的进价不变．求 A 种粽子最多能购进多少个？【分析】〔 1〕设 B 种粽子单价为 x 元/ 个，那么 A 种粽子单价为元 /个，根据数量＝总价÷单价结合用3000 元购进A、 B 两种粽子 1100个，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；〔2〕设购进 A 种粽子 m 个，那么购进 B 种粽子〔 2600 ﹣m〕个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：〔 1〕设 B 种粽子单价为x 元 /个，那么 A 种粽子单价为 1.2x 元 /个，根据题意，得：+＝ 1100 ，解得： x＝ 2.5 ，经检验， x＝2.5 是原方程的解，且符合题意，∴ 1.2x ＝ 3 ．答： A 种粽子单价为 3 元 /个， B 种粽子单价为 2.5 元 /个．〔2〕设购进 A 种粽子 m 个，那么购进 B 种粽子〔 2600 ﹣ m 〕个，依题意，得：3m+2.5 〔 2600 ﹣ m〕≤ 7000 ，解得： m≤ 1000 ．答： A 种粽子最多能购进1000 个．【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：式方程；〔 2〕根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23 ．〔 13 分〕在矩形ABCD 中， AE ⊥BD 于点 E，点 P 是边 AD 上一点．（1〕假设 BP 平分∠ ABD ，交 AE 于点 G， PF ⊥ BD 于点 F ，如图①，证明四边形（2〕假设 PE ⊥ EC ，如图②，求证： AE?AB ＝ DE ?AP ；（3〕在〔 2 〕的条件下，假设 AB ＝ 1，BC ＝ 2，求 AP 的长．〔 1〕找准等量关系，正确列出分AGFP 是菱形；【分析】〔 1〕想方法证明AG ＝ PF ， AG ∥PF ，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA ＝ PF 即可解决问题．〔2〕证明△ AEP ∽△ DEC ，可得＝，由此即可解决问题．（3〕利用〔 2〕中结论．求出 DE ， AE 即可．【解答】〔 1 〕证明：如图①中，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ BAD ＝90 °，∵AE ⊥BD ，∴∠ AED ＝90 °，∴∠ BAE+ ∠ EAD ＝ 90 °，∠ EAD + ∠ ADE ＝ 90 °，∴∠ BAE ＝∠ ADE ，∵∠ AGP ＝∠ BAG+ ∠ ABG ，∠ APD ＝∠ ADE+ ∠ PBD ，∠ ABG ＝∠ PBD ，∴∠ AGP ＝∠ APG ，∴AP ＝AG ，∵PA⊥ AB ，PF ⊥ BD ， BP 平分∠ ABD ，∴PA ＝ PF ，∴PF ＝ AG，∵AE ⊥BD ， PF ⊥ BD ，∴PF ∥ AG，∴四边形AGFP 是平行四边形，∵PA＝ PF ，∴四边形AGFP 是菱形．〔2〕证明：如图② 中，∵AE ⊥BD ， PE ⊥ EC ，∴∠ AED ＝∠ PEC ＝ 90 °，∴∠ AEP ＝∠ DEC ，∵∠ EAD + ∠ ADE ＝ 90 °，∠ ADE + ∠ CDE ＝90 °，∴∠ EAP ＝∠ EDC ，∴△ AEP ∽△ DEC ，∴＝，∵AB ＝CD ，∴AE ?AB ＝ DE ?AP ；（3〕解：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝ 2，∠ BAD ＝ 90 °，∴BD ＝＝，∵AE ⊥BD ，∴S△ABD＝?BD?AE ＝?AB?AD ，∴AE ＝，∴DE ＝＝，∵AE ?AB ＝ DE ?AP ；∴AP ＝＝．【点评】此题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．224 ．〔 13 分〕假设二次函数 y＝ ax +bx+c 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点A〔 3，0〕、 B〔 0 ，﹣ 2〕，且过点C〔 2 ，﹣2〕．〔1〕求二次函数表达式；〔2〕假设点 P 为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝ 4，求点 P 的坐标；〔3〕在抛物线上〔AB 下方〕是否存在点M，使∠ ABO ＝∠ ABM ？假设存在，求出点M 到 y 轴的距离；假设不存在，请说明理由．【分析】〔 1〕用 A、 B、 C 三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．〔2〕设点 P 横坐标为t，用 t 代入二次函数表达式得其纵坐标．把t 当常数求直线BP 解析式，进而求直线BP 与 x 轴交点 C 坐标〔用 t 表示〕，即能用t 表示 AC 的长．把△ PBA 以 x 轴为界分成△ABC 与△ ACP ，即得到 S △PBA＝ AC 〔OB+PD 〕＝ 4，用含 t 的式子代入即得到关于t 的方程，解之即求得点P 坐标．〔3〕作点 O 关于直线AB 的对称点E，根据轴对称性质即有AB 垂直平分OE ，连接 BE 交抛物线于点M ，即有 BE ＝OB ，根据等腰三角形三线合一得∠ABO ＝∠ ABM ，即在抛物线上〔AB下方〕存在点M 使∠ ABO ＝∠ ABM ．设AB 与 OE 交于点 G ，那么 G 为 OE 中点且 OG ⊥ AB ，利用△ OAB 面积即求得OG 进而得OE 的长．易求得∠OAB ＝∠BOG ，求∠ OAB 的正弦和余弦值，应用到Rt △ OEF 即求得 OF 、 EF 的长，即得到点 E 坐标．求直线BE 解析式，把 BE 解析式与抛物线解析式联立，求得 x 的解一个为点 B 横坐标，另一个即为点M 横坐标，即求出点M 到 y 轴的距离．【解答】解：〔 1〕∵二次函数的图象经过点A〔3， 0〕、 B〔 0，﹣ 2〕、 C〔 2，﹣ 2〕∴解得：2∴二次函数表达式为y＝x ﹣x﹣ 2〔2〕如图 1，设直线BP 交 x 轴于点 C ，过点P 作 PD ⊥ x 轴于点D 2设 P〔 t，t ﹣t﹣ 2〕〔 t＞ 3 〕2∴OD ＝ t， PD ＝t﹣t ﹣ 2设直线BP 解析式为y＝ kx ﹣22把点 P 代入得： kt﹣ 2＝t ﹣t﹣ 2∴k＝ t ﹣∴直线BP ： y ＝〔t﹣〕x﹣2当y ＝ 0 时，〔 t﹣〕x﹣2＝0，解得：x＝∴C 〔， 0〕∵t ＞ 3∴t ﹣ 2＞ 1∴，即点 C 一定在点 A 左侧∴AC ＝3﹣∵S△＝S△△＝AC?OB+AC?PD ＝AC〔 OB+PD 〕＝ 4 PBA ABC +S ACP∴＝ 4解得： t1＝ 4， t2＝﹣ 1 〔舍去〕2∴t ﹣ t ﹣ 2＝∴点 P 的坐标为〔 4 ，〕〔3〕在抛物线上〔AB 下方〕存在点M，使∠ ABO ＝∠ ABM ．如图 2，作点 O 关于直线AB 的对称点 E ，连接 OE 交 AB 于点 G，连接 BE 交抛物线于点M，过点 E 作 EF ⊥ y 轴于点 F∴AB 垂直平分OE∴BE ＝OB ， OG ＝ GE∴∠ ABO ＝∠ ABM∵A〔 3 ，0〕、 B〔0，﹣ 2〕，∠ AOB ＝ 90 °∴OA ＝ 3 ， OB ＝ 2， AB ＝∴sin ∠OAB ＝，cos∠ OAB＝∵S△AOB＝OA?OB ＝AB?OG∴OG ＝∴OE ＝ 2OG ＝∵∠ OAB + ∠ AOG ＝∠ AOG+ ∠ BOG ＝ 90 °∴∠ OAB ＝∠ BOG∴Rt △ OEF 中， sin ∠∴EF ＝OE＝∴E〔，﹣〕BOG，＝OF ＝，OE＝cos ∠BOG ＝设直线把点 E ∴直线BE 解析式为代入得：BE ： y ＝﹣y ＝ ex ﹣ 2e﹣ 2＝﹣x﹣ 2，解得：e＝﹣2当﹣x﹣ 2＝x ﹣x﹣ 2，解得： x1＝ 0〔舍去〕， x2＝∴点 M 横坐标为，即点M 到 y 轴的距离为．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用．第〔3〕题点的存在性问题，可先通过画图确定满足∠ABO ＝∠ ABM 的点 M 位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段的长．25 ．〔14 分〕如图，四边形ABCD 是正方形，△EFC 是等腰直角三角形，点 E 在 AB 上，且∠ CEF ＝ 90 °， FG ⊥ AD ，垂足为点 C ．〔1〕试判断AG 与 FG 是否相等？并给出证明；〔2〕假设点 H 为 CF 的中点， GH 与 DH 垂直吗？假设垂直，给出证明；假设不垂直，说明理由．【分析】〔 1〕过点 F 作 FM ⊥ AB 交 BA 的延长线于点M ，可证四边形AGFM 是矩形，可得AG ＝ MF ， AM ＝ FG ，由“AAS 〞可证△ EFM ≌△ CEB ，可得 BE ＝ MF ， ME ＝ BC ＝ AB ，可得BE＝ MA ＝ MF ＝ AG ＝FG ；〔2〕延长 GH 交 CD 于点 N ，由平行线分线段成比例可得，且 CH ＝ FH ，可得 GH ＝ HN ， NC ＝ FG ，即可求 DG ＝ DN ，由等腰三角形的性质可得DH ⊥ HG ．【解答】解：〔 1〕 AG ＝FG ，理由如下：如图，过点 F 作 FM ⊥ AB 交 BA 的延长线于点M∵四边形ABCD 是正方形∴AB ＝BC ，∠ B ＝90 °＝∠ BAD∵FM ⊥ AB ，∠ MAD ＝ 90 °， FG ⊥ AD∴四边形AGFM 是矩形。

泰安市2022年初中学业水平考试数学试题注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页，考试时间120分钟．2．答题前请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 3．考试结束后，监考人员将本试题和答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来）1. 计算()162⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A. -3 B. 3C. -12D. 12【答案】B 【解析】【分析】直接计算即可得到答案． 【详解】()162⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=162⨯ =3 故选：B ．【点睛】本题考查有理数的乘法，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的知识． 2. 下列运算正确的是（ ） A. 624x x -= B. 236a a a --⋅= C. 633x x x ÷= D. ()222x y x y -=-【答案】C 【解析】【分析】根据合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相除，完全平方公式，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、624x x x -=，故本选项错误，不符合题意； B 、23-⋅=a a a ，故本选项错误，不符合题意； C 、633x x x ÷=，故本选项正确，符合题意；D 、()2222x y x xy y -=-+，故本选项错误，不符合题意； 故选：C【点睛】本题主要考查了合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相除，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 3. 下列图形：其中轴对称图形的个数是（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】对每个图形逐一分析，能够找到对称轴的图形就是轴对称图形． 【详解】从左到右依次对图形进行分析：第1个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 第2个图在水平方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 第3个图找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 第4个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 因此，第1、2、4都是轴对称图形，共3个． 故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴．4. 2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（ ） A. 60.44810⨯度 B. 444.810⨯度 C. 54.4810⨯度 D. 64.4810⨯度【答案】C 【解析】【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a ×10n ，n 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【详解】解：44.8万度=448000度=54.4810⨯度． 故选：C【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形的式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 是正整数，正确确定a 的值和n 的值是解题的关键． 5. 如图，12l l ∥，点A 在直线1l 上，点B 在直线2l 上，AB BC =，25C ∠=︒，160∠=︒，则2∠的度数是（ ）A. 70︒B. 65︒C. 60︒D. 55︒【答案】A 【解析】【分析】先根据等边对等角求出∠BAC 的度数，然后根据平行线的性质求出∠ABD 的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵AB =BC ， ∴∠BAC =∠C =25°， ∵12l l ∥， ∴∠ABD =∠1=60°，∴∠2=180°-∠C -∠BAC -∠ABD ==180°-25°-25°-60°=70°， 故选A ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确求出∠BAD 和∠ABD 的度数是解题的关键．6. 如图，AB 是⊙O 的直径，ACD CAB ∠=∠，2AD =，4AC =，则⊙O 的半径为（A. B. C.【答案】D【解析】【分析】连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，根据OA=OC，可得∠ACD=∠ACE，从而得到AE=AD=2，然后根据勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，∵OA=OC，∴∠ACE=∠CAB，∠=∠，∵ACD CAB∴∠ACD=∠ACE，∴AD AE=，∴AE=AD=2，∵CE是直径，∴∠CAE=90°，∴CE===∴⊙O故选：D．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键．7. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（）A. 最高成绩是9.4环B. 平均成绩是9环C. 这组成绩的众数是9环D. 这组成绩的方差是8.7【答案】D 【解析】【分析】根据统计图即可判断选项A ，根据统计图可求出平均成绩，即可判断选项B ，根据统计图即可判断选项C ，根据所给数据进行计算即可判断选项D ．【详解】解：A 、由统计图得，最高成绩是9.4环，选项说法正确，不符合题意； B 、平均成绩：1(9.48.49.29.28.898.6999.4)910⨯+++++++++=，选项说法正确，符合题意；C 、由统计图得，9出现了3次，出现的次数最多，选项说法正确，不符合题意；D 、方差：22222222221(9.49)(8.49)(9.29)(9.29)(8.89)(99)(8.69)(99)(99)(9.49)0.09610⎡⎤⨯-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦，选项说法错误，符合题意； 故选D ．【点睛】本题考查了平均数，众数，方差，解题的关键是理解题意掌握平均数，众数和方差的计算方法．8. 如图，四边形ABCD 中．60A ∠=︒，AB CD ∥，DE AD ⊥交AB 于点E ，以点E 为圆心，DE 为半径，且6DE =的圆交CD 于点F ，则阴影部分的面积为（ ）A. 6π-B. 12π-C. 6πD.12π 【答案】B 【解析】【分析】过点E 作EG ⊥CD 于点G ，根据平行线的性质和已知条件，求出30EDG AED ∠=∠=︒，根据ED =EF ，得出30DFE FDE ∠=∠=︒，即可得出1803030120DEF ∠=︒-︒-︒=︒，解直角三角形，得出GE 、DG ，最后用扇形的面积减三角形的面积得出阴影部分的面积即可．【详解】解：过点E 作EG ⊥CD 于点G ，如图所示：∵DE ⊥AD ， ∴∠ADE =90°， ∵∠A =60°，∴∠AED =90°-∠A =30°， ∵AB CD ，∴30EDG AED ∠=∠=︒， ∵ED =EF ，∴30DFE FDE ∠=∠=︒，∴1803030120DEF ∠=︒-︒-︒=︒， ∵EG CD ⊥， ∴DG FG =，∵DE =6，30EDF ∠=︒， ∴132EG DE ==，cos30DG DE =⨯︒=∴2DF DG == ∴DEF DEF S S S ∆=-阴影扇形21206133602π⨯=-⨯12π=-，． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，扇形面积计算公式，解直角三角形，作出辅助线，求出∠DEF =120°，DF 的长，是解题的关键． 9. 抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：x -2 -1 0 6 y461下列结论不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下B. 抛物线的对称轴为直线12x =C. 抛物线与x 轴的一个交点坐标为()2,0D. 函数2y ax bx c =++的最大值为254【答案】C 【解析】【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可【详解】解：由题意得42046a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得116a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为22125624y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线12x =，该函数的最大值为254，故A 、B 、D 说法正确，不符合题意； 令0y =，则260x x -++=， 解得3x =或2x =-，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C 说法错误，符合题意； 故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．10. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ） A. ()316210x x -=B. ()316210x -=C.()316210x x -=D. 36210x =【答案】A 【解析】【分析】设这批椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为3（x −1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵这批椽的数量为x 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x −1）文，依题意得：3（x −1）x ＝6210， 故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，60ABC ∠=︒，2BC AB =．下列结论：①AB AC ⊥；②4AD OE =；③四边形AECF 是菱形；④14BOE ABC S S =△△．其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】【分析】通过判定ABE ∆为等边三角形求得60=︒∠BAE ，利用等腰三角形的性质求得30EAC ∠=︒，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解： 点E 为BC 的中点，22BC BE CE ∴==，又2BC AB = ，AB BE ∴=，60ABC ∠=︒ ，ABE ∴∆是等边三角形，60BAE BEA ∴∠=∠=︒，30EAC ECA ∴∠=∠=︒，90BAC BAE EAC ∴∠=∠+∠=︒，即AB AC ⊥，故①正确；在平行四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC =，AO CO =，CAD ACB ∴∠=∠，在AOF ∆和COE ∆中，CAD ACB OA OCAOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOF COE ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，∴四边形AECF 是平行四边形，又AB AC ⊥ ，点E 为BC 的中点，AE CE ∴=，∴平行四边形AECF 是菱形，故③正确；AC EF ∴⊥，在Rt COE ∆中，30ACE ∠=︒， 111244OE CE BC AD ∴===，故②正确； 在平行四边形ABCD 中，OA OC =， 又 点E 为BC 的中点，ΔΔΔ1124BOE BOC ABC S S S ∴==，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个， 故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．12. 如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，4BC =．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．ADMBAP ∠=∠，则BM 的最小值为（）A.52B.12532D.2-【答案】D 【解析】【分析】证明=90AMD ︒∠，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的园上，从而计算出答案．【详解】设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形 ∴+=90BAP MAD ︒∠∠ ∵ADMBAP ∠=∠∴+=90MAD ADM ︒∠∠ ∴=90AMD ︒∠∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的园上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵222BO AB AO =+，1==22AO AD ∴29413BO =+=∴BO =∵2BN BO AO =-=故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果）13. -=__________．【答案】【解析】【分析】先计算乘法，再合并，即可求解．-3=-==，故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．14. 如图，四边形ABCD 为平行四边形，则点B 的坐标为________．【答案】()2,1--【解析】【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．【详解】解： 四边形ABCD 为平行四边形，∴DA CB ∥，即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致，将D 点平移到A 的过程是：:134x --=-（向左平移4各单位长度）；:220y -=（上下无平移）；∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --，即()2,1B --， 故答案为：()2,1--．【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．15. 如图，在ABC 中，90B ∠=︒，⊙O 过点A 、C ，与AB 交于点D ，与BC 相切于点C ，若32A ∠=︒，则ADO ∠=__________【答案】64︒##64度【解析】【分析】根据同弧对应的圆心角是圆周角的2倍计算出DOC ∠，再根据//AB OC ，内错角ADO DOC ∠=∠得到答案．【详解】如下图所示，连接OC从图中可以看出，DAC ∠是圆弧 DC对应的圆周角，DOC ∠是圆弧 DC 对应的圆心角 得264DOC DAC ︒∠=∠=．∵BC 是圆O 的切线∴OC BC ⊥∵90B ∠=︒∴AB BC ⊥∴//AB OC∴64ADO DOC ︒∠=∠=故答案为：64︒．【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理、平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆和平行线的相关知识．16. 如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角30DPC ∠=︒，已知窗户的高度2m AF =，窗台的高度1m CF =，窗外水平遮阳篷的宽0.8m AD =，则CP 的长度为______（结果精确到0.1m ）．【答案】4.4m##4.4米【解析】【分析】根据题意可得AD ∥CP ，从而得到∠ADB =30°，利用锐角三角函数可得tan 0.46m AB AD ADB =⨯∠=≈，从而得到BC =AF +CF -AB =2.54m ，即可求解．【详解】解：根据题意得：AD ∥CP ，∵∠DPC =30°，∴∠ADB =30°，∵0.8m AD =，∴tan 0.80.46m AB AD ADB =⨯∠=≈， ∵AF =2m ，CF =1m ，∴BC =AF +CF -AB =2.54m ， ∴ 2.54 4.4m tan tan 30BC CP BPC ︒==≈∠， 即CP 的长度为4.4m ．故答案为：4.4m .【点睛】本题主要考查了解直角三角形、平行线的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．17. 将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【解析】【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y当99y =时 221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质． 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，点E 是BC 的中点，将正方形ABCD 沿AE 折叠，得到点B 的对应点为点F ，延长EF 交线段DC 于点P ，若6AB =，则DP 的长度为___________．【答案】2【解析】【分析】连接AP ，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt △AFP ≌Rt △ADP （HL ），可得PF ＝PD ，设PF ＝PD ＝x ，则CP ＝CD −PD ＝6−x ，EP ＝EF ＋FP ＝3＋x ，然后根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：连接AP ，如图所示，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝AD ＝6，∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ＝12AB ＝3，由翻折可知：AF ＝AB ，EF ＝BE ＝3，∠AFE ＝∠B ＝90°，∴AD ＝AF ，∠AFP ＝∠D ＝90°，在Rt △AFP 和Rt △ADP 中， AP AP AF AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AFP ≌Rt △ADP （HL ），∴PF ＝PD ，设PF ＝PD ＝x ，则CP ＝CD −PD ＝6−x ，EP ＝EF ＋FP ＝3＋x ，在Rt △PEC 中，根据勾股定理得：EP 2＝EC 2＋CP 2，∴（3＋x ）2＝32＋（6−x ）2，解得x ＝2，则DP 的长度为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．三、解答题（本大题共7小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19. （1）化简：244224a a a a -⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭ （2）化简：52312>34x x -+- 【答案】（1）22a a +；（2）1x <【解析】【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法；（2）根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1”的步骤解一元一次不等式．【详解】（1）解：原式()2224424a a a a ---=⨯-- 224424a a a a a --=⨯-- ()()()42224a a a a a a -+-=⨯-- ()2a a =+22a a =+（2）解：()()212452>331x x ⨯--+24208>93x x -++209>3248x x ----29>29x --1x <【点睛】本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则以及解一元一次不等式的基本步骤是解题关键．20. 2022年3月23日．“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A 组：7580x ≤<，B 组：8085x ≤<．C 组：8590x ≤<，D 组：9095x ≤<，E 组：95100x ≤≤，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数直方图中，所抽取学生成绩的中位数落在 组；（2）补全学生成绩频数直方图：（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）400 名，D（2）见解析（3）1680人（4）见解析，3 5【解析】【分析】（1）用C组的人数除以C组所占的百分比可得总人数，再用总人数乘以B组所占的百分比，可求出m，从而得到第200位和201位数落在D组，即可求解；（2）求出E租的人数，即可求解；（3）用学校总人数乘以成绩优秀的学生所占的百分比，即可求解；（4）根据题意，画树状图，可得共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种，再根据概率公式计算，即可求解．【小问1详解】解：9624%400÷=名，所以本次调查一天随机抽取400 名学生的成绩，频数直方图中40015%60m=⨯=，∴第200位和201位数落在D组，即所抽取学生成绩的中位数落在D组；故答案为：400，D【小问2详解】解：E组的人数为40020609614480----=名，补全学生成绩频数直方图如下图：【小问3详解】解：该校成绩优秀的学生有1448030001680400+⨯=（人）；【小问4详解】解：根据题意，画树状图如图，共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种，∴恰好抽中一名男生和一名女生的概率为123205P ==． 【点睛】本题主要考查了频数直方图和扇形统计图，用样本估计总体，利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．21. 如图，点A 在第一象限，AC x ⊥轴，垂足为C ，OA =，1tan 2A =，反比例函数k y x=的图像经过OA 的中点B ，与AC 交于点D ．（1）求k 值；（2）求OBD 的面积．【答案】（1）2（2）32 【解析】【分析】（1）在Rt ACO ∆中，90ACO ∠=︒，1tan 2A =，再结合勾股定理求出2OC =，4AC =，得到()2,4A ，再利用中点坐标公式即可得出()1,2B ，求出k 值即可；（2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据AD y ∥轴，选择AD 为底，利用O B D O A D B A D S S S =-△△△代值求解即可得出面积．小问1详解】【解：根据题意可得，在Rt ACO ∆中，90ACO ∠=︒，1tan 2A =， 2AC OC ∴=，222(2)OC OC ∴+=，2OC ∴=，4AC =，()2,4A ∴，OA 的中点是B ，()1,2B ∴，2k ∴=；【小问2详解】解：当2x =时，1y =，()2,1D ∴，413AD ∴=-=，∴O B D O A D B A D S S S =-△△△()11332321222=⨯⨯-⨯⨯-=． 【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及到勾股定理，三角函数求线段长，中点坐标公式、待定系数法确定函数关系式中的k ，平面直角坐标系中三角形面积的求解，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．22. 泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A 种茶30盒，B 种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒，B 种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A 、B 两种茶每盒的价格．【答案】A 种茶每盒100元，B 种茶每盒150元【解析】【分析】设第一次购进A 种茶每盒x 元，B 种茶每盒y 元，根据第一次购进了A 种茶30盒，B 种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒，B 种茶15盒，共花费5100元列出方程组求解即可．【详解】解：设第一次购进A 种茶每盒x 元，B 种茶每盒y 元，根据题意，得30206000,1.220 1.2155100.x y x y +=⎧⎨⨯+⨯=⎩ 解，得100,150.x y =⎧⎨=⎩∴A 种茶每盒100元，B 种茶每盒150元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确设出未知数列出方程组求解是解题的关键．23. 如图，矩形ABCD 中，点E 在DC 上，DE BE =，AC 与BD 相交于点O ．BE 与AC 相交于点F ．（1）若BE 平分CBD ∠，求证：BF AC ⊥；（2）找出图中与OBF 相似的三角形，并说明理由;（3）若3OF =，2EF =，求DE 的长度．【答案】（1）证明见解析（2）ECF △，BAF △与OBF 相似，理由见解析（3）3【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；（2）根据判定两个三角形相似判定定理，找到相应的角度相等即可得出；（3）根据OBF ECF ∽△△得出329OA BF =+，根据OBF BAF ∽△△得出()233BF OA =+，联立方程组求解即可．【小问1详解】证明：如图所示：四边形ABCD 为矩形，234∴∠=∠=∠，DE BE = ，的12∠∠∴=，13∠∠∴=，又BE 平分DBC ∠，16∴∠=∠，36∴∠=∠，又3∠ 与5∠互余，6∴∠与5∠互余，BF AC ∴⊥；【小问2详解】解：ECF △，BAF △与OBF 相似．理由如下：12∠=∠ ，24∠∠=，14∴∠=∠，又OFB BFO ∠=∠ ，OBF BAF ∴∽△△，13∠=∠ ，OFB EFC ∠=∠，OBF ECF ∴∽△△；【小问3详解】解：OBF ECF ∽△△，EF CF OF BF ∴=， 23CF BF∴=， 32CF BF ∴=，在矩形ABCD 中对角线相互平分，图中OA OC =3OF FC FC =+=+， 329OA BF ∴=+①，OBF BAF ∽△△，OF BF BF AF∴=， 2BF OF AF ∴=⋅，矩形ABCD 中3AF OA OF OA =+=+，()233BF OA ∴=+②，由①②，得1B F =±（负值舍去），213D E B E ∴==++=+．在【点睛】本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．24. 若二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()2,0A -，()0,4B -，其对称轴为直线1x =，与x 轴的另一交点为C ．（1）求二次函数的表达式；（2）若点M 在直线AB 上，且在第四象限，过点M 作MN x ⊥轴于点N ．①若点N 在线段OC 上，且3MN NC =，求点M 的坐标；②以MN 为对角线作正方形MPNQ （点P 在MN 右侧），当点P 在抛物线上时，求点M 的坐标．【答案】（1）2142y x x =-- （2）①836,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；②1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；（2）①先求出直线AB 的表达式为24y x =--，然后设点N 的坐标为()0m ,．可得(),24M m m --．可得到24MN m =+，4NC m =-．再由3MN NC =，即可求解；②连接PQ 与MN 交与点E ．设点M 的坐标为(),24t t --，则点N 的坐标为(),0t 根据正方形的性质可得E 的坐标为(),2t t --，进而得到P 的坐标()22,2t t +--．再由点P 在抛物线上，即可求解．【小问1详解】解： 二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()0,4-，4c ∴=-．又 抛物线经过点()2,0A -，对称轴为直线1x =，1,24240,b a a b ⎧-=⎪∴⎨⎪--=⎩ 解得∶1,21,a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的表达式为2142y x x =--． 【小问2详解】解∶①设直线AB 的表达式为y kx n =+．点A ，B 的坐标为()2,0A -，()0,4B -，∴204k n n -+=⎧⎨=-⎩， 解得∶24k n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的表达式为24y x =--．根据题意得∶点C 与点()2,0A -关于对称轴直线1x =对称，()4,0C ∴．设点N 的坐标为()0m ,．MN x ⊥ 轴，(),24M m m ∴--．∴24MN m =+4NC m ∴=-．3MN NC =()2434m m ∴+=-， 解，得85m =． ∴点M 的坐标836,55⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②连接PQ 与MN 交与点E ．设点M 的坐标为(),24t t --，则点N 的坐标为(),0t四边形MPNQ 是正方形，PQ M N ∴⊥，NE EP =，12NE MN =． ∵MN ⊥x 轴， //PQ x ∴轴．∴E 的坐标为(),2t t --．2NE t ∴=+．222ON EP ON NE t t t ∴+=+=++=+．∴P 的坐标()22,2t t +--．点P 在抛物线2142yx x =--上， ()()212222422t t t ∴+-+-=--． 解，得112t =，22t =-． 点P 在第四象限，2t ∴=-舍去． 即12t =． ∴点M 坐标为1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．25. 问题探究（1）在ABC 中，BD ，CE 分别是ABC ∠与BCA ∠的平分线．①若60A ∠=︒，AB AC =，如图，试证明BC CD BE =+；②将①中的条件“AB AC =”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由．迁移运用（2）若四边形ABCD 是圆内接四边形，且2ACB ACD ∠=∠，2CAD CAB ∠=∠，如图，试探究线段AD ，BC ，AC 之间的等量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②结论成立，见解析；（2）AC AD BC =+，见解析【解析】【分析】（1）①证明ABC 是等边三角形，得出E 、D 为中点，从而证明BC CD BE =+；②在BC 上截取BG BE =，根据角平分线的性质，证明EBF GBF ≌△△，DFC GFC ≌△△，从而得到答案；（2）作点B 关于AC 的对称点E ，证明2360∠+∠=︒，从而得到60M ∠=︒，再根据AE 、DC 分别是MAC ∠、MCA ∠的角平分线，得到AC AD BC =+．【详解】（1）①60A ∠=︒ ，AB AC =，的AB AC BC ∴==．又BD Q 、CE 分别是ABC ∠、BCA ∠的平分线．∴点D 、E 分别是AC 、AB 的中点．1122BE AB BC ∴==，1122CD AC BC ==． BC BE CD ∴=+．②结论成立，理由如下：设BD 与CE 交于点F ，由条件，得12∠=∠，34∠=∠．又60A ∠=︒120ABC BCA ∴∠+∠=︒．()113602ABC BCA ∴∠+∠=∠+∠=︒． 120BFC ∴∠=︒．∴5660∠=∠=︒．在BC 上截取BG BE =．由∵BF =BF ，∴EBF GBF ≌△△．7660∴∠=∠=︒860∴∠=︒．85∴∠=∠．又∵CF =CF ，∴DFC GFC ≌△△．DC GC ∴=∴BC BG GC BE CD =+=+．（2）AC AD BC =+，理由如下：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180DAB BCD ∠+∠=︒．∵2ACB ACD ∠=∠，2CAD CAB ∠=∠∴21DAC ∠=∠，22BCA ∠=∠，∴3132180∠+∠=︒．∴1260∠+∠=︒．作点B 关于AC 的对称点E ，连结CE ，EA ，CE 的延长线与AD 的延长线交于点M ，AE 与CD 交于点F ，∴13∠=∠，BC CE =．∴2360∠+∠=︒．∴2223120∠+∠=︒∴120MAC MCA ∠+∠=︒∴60M ∠=︒∵AE 、DC 分别是MAC ∠、MCA ∠的角平分线由②得AC AD BC =+．【点睛】本题考查三角形、等边三角形、全等三角形、圆的内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形、等边三角形、全等三角形、圆的内接四边形的相关知识。

泰安市2023年初中学业水平考试数学试题一、选择题1.【答案】D 【解析】解：∵23132⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴23-的倒数是32-，故选：D ．2.【答案】D【解析】解：2a 和3b 不是同类项，不能合并，故A 选项错误，不符合题意；222()2a b a ab b -=-+，故B 选项错误，不符合题意；()3236ab a b =，故C 选项错误，不符合题意；()3253412a a a ⋅-=-，故D 选项正确，符合题意；故选：D ．3.【答案】B【解析】解：20.3亿年2030000000=年92.0310=⨯年，故选B ．4.【答案】D【解析】解：A 选项，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B 选项，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C 选项，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D 选项，是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项符合题意；故选：D ．5.【答案】B【解析】解：如图所示，过点O 作OE ∥AB ，∵AB CD ，∴OE AB CD ∥∥，∴21EOC AOE ==∠∠，∠∠，∵90AOC EOC AOE =+=︒∠∠∠，∴1290∠+∠=︒，∵135∠=︒，∴290155∠=︒-=︒∠，故选B ．6.【答案】B【解析】解：A 选项，这组数据中出现次数最多的是11，故众数是11，正确，不符合题意；B 选项，这组数据重新排序为：6，7，9，10，10，11，11，11，11，14，故中位数是101110.52+=，错误，符合题意；C 选项，这组数据的平均数是71110116141110119100101010+++++++++==，故平均数是10，正确，不符合题意；D 选项，这组数据的平均数是10，方差是2222(107)(1011)(109) 4.610S ⎡⎤-+-++-⎣⎦== ，故方差是4.6，正确，不符合题意；故选：B ．7.【答案】A【解析】解：∵115ADC ∠=︒，∴65B ∠=︒，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴180906525BAC ∠=︒-︒-︒︒=，故选：A ．8.【答案】D【解析】解：A 选项，∵一次函数图象经过第一、二、三象限，∴00a b >>，，∴0ab >，∴反比例函数ab y x=的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A 不符合题意；B 选项，∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴00a b <>，，∴0ab <，∴反比例函数ab y x=的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B 不符合题意；C 选项，∵一次函数图象经过第一、三、四象限，∴00a b ><，，∴0ab <，∴反比例函数ab y x=的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C 不符合题意；D 选项，∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴00a b <>，，∴0ab <，∴反比例函数ab y x =的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D 符合题意；故选D ．9.【答案】C【解析】解：∵OC OB =，OA OC =，40CAO ∠=︒，∴40OCA OAC ∠=∠=︒，OCB OBC ∠=∠，∵70ACB ∠=︒，∴704030OBC OCB ACB ACO ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴180302120BOC ∠=︒-︒⨯=︒，∴22120116ππ4π36033S r ︒=⨯=⨯⨯=︒阴影，故选：C ．10.【答案】C【解析】解：设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得，()()91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩，故选C ．11.【答案】C【解析】∵ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，∴()1180722ABC C A ∠=∠=︒-∠=︒，由作图知，BD 平分ABC ∠，MN 垂直平分BD ，∴1362ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒，EB ED =，∴EBD EDB ∠=∠，∴EDB CBD ∠=∠，∴DE BC ∥，∴AED ABC ∠=∠，①正确；ADE C ∠=∠，∴AED ADE ∠=∠，∴AD AE =，∵A ABD ∠=∠，∴AD BD =，∵72BDC A ABD ∠=∠+∠=︒，∴BDC C ∠=∠，∴BC BD =，∴BC AE =，②正确；设ED x =，BC a =，则AD a =，BE x =，∴CD BE x ==，∵AED ABC △∽△，∴ED AD AD BC AC AD DC ==+，∴x a a a x =+，∴220x ax a +-=，∵0x >，∴12x a -=，即12ED BC -=，③错误；当2AC =时，2CD AD =-，∵12CD AD -=，∴122AD AD -=-,∴1AD =，④正确∴正确的有①②④，共3个．故选：C ．12.【答案】A【解析】解：如图所示，延长BA 到E ，使得AE AB =，连接OE CE ，，∵Rt AOB △的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(64)-，，∴46AB OB ==，，∴4AE AB ==，∴8BE =，∵点M 为BC 中点，点A 为BE 中点，∴AM 是BCE 的中位线，∴12AM CE =；在Rt COD 中，9030COD OD D ∠=︒=∠=︒，，∴43OC ==，∵将Rt COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C 在以O 为圆心，半径为4的圆上运动，∴当点M 在线段OE 上时，CE 有最小值，即此时AM 有最小值，∵10OE ==，∴CE 的最小值为1046-=，∴AM 的最小值为3，故选A ．二、填空题13.【答案】4a >-##4a-<【解析】解：∵关于x 的一元二次方程240x x a --=有两个不相等的实数根，∴()()22Δ44410b ac a =-=--⨯⋅->，∴4a >-，故答案为：4a >-．14.【答案】6.9【解析】解：设光盘的圆心为O ，三角尺和光盘的切点为C ，连接OC OB OA ，，，如下图所示：∵AC AB ，分别为圆O 的切线，∴OA 为BAC ∠的角平分线，即OC AC OB AB ⊥⊥，，又∵60CAD ∠=︒,∴1602OAC OAB BAC ∠=∠=∠=︒，在Rt AOB △中，60OAB ∠=︒，4cm AB =，∴tan tan 60OB OAB AB ∠=︒=，4OB =∴ 6.9cm OB ≈=，则这张光盘的半径为6.9cm ；故答案为：6.9．15.【答案】254【解析】解：利用配方法，将一般式化成顶点式：234y x x =--+232524x =-++（ 二次函数开口向下，∴顶点处取最大值，即当32x =-时，最大值为254．故答案为：254．16.【答案】55【解析】解：如图所示，过点E 作EF AB ⊥于F ，由题意得，AB AD DE AD ⊥，⊥，∴四边形ADEF 是矩形，∴2m AF DE EF AD ===，，设m BF x =，则()2m AB AF BF x =+=+，在Rt ABC △中，tan AB ACB AC ∠=，∴()252m tan tan506AB x AC x ACB +==≈+︒∠，在Rt BEF △中，tan BF BEFEF ∠=，∴2m tan tan 26.6BF x EF x BEF ==≈∠︒，∵EF AD =，∴()522606x x =++，∴53x ≈，∴255m AB x =+≈，故答案为：55．17.【答案】4.5【解析】解：∵16AC BC ==，∴A B ∠=∠，由折叠的性质可得B B '∠=∠，∴A B '∠=∠，又∵AFD B FG ∠=∠'，∴AFD B FG ' ∽，∴AF DF B F GF ='，即874GF=，∴ 3.5GF =，∴ 4.5CG AC AF GF =--=，故答案为：4.5．18.【答案】(2023,3-【解析】解：由图形可得：()()()()()()2356892,0,3,0,5,0,6,0,8,0,9,0,A A A A A A 如图：过1A 作1AB x ⊥轴，∵12,OA A ∴111cos601,sin 603,OB OA A B OA =︒⨯==︒⨯=∴(13A ,同理：(((4774,,7,,10,,A A A ∴()()(3133131,0,3,0,31,n n n A n A n A n -+-+()31n +为偶数，(3131,n A n ++为奇数；∵202336741÷= ，2023为奇数∴(20232023,A ．故答案为(2023,．三、解答题19.【答案】（1）25x x -+；（2）25x -<<【解析】解：（1）2211025224x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭()()()252412222x x x x x x x ++-⎛⎫=-÷ ⎪+++-⎝⎭()()()222525x x x x x +-+=⋅++25x x -=+；（2）2731132x x x +>⎧⎪⎨+->⎪⎩①②解不等式①得：2x >-，解不等式②得：5x <，∴不等式组的解集为25x -<<20.【答案】（1）200，108（2）见解析（3）13【解析】（1）解：14480200360︒÷=︒名，∴本次竞赛共有200名选手获奖，∴C 级的人数为2008020025%1060--⨯-=名，∴扇形统计图中扇形C 的圆心角度数是60360108200︒⨯=度，故答案为：200，108；（2）解：B 级的人数为20025%50⨯=名，补全统计图如下：（3）解：设这三个出口分别用E 、F 、G 表示，列表如下：EF G E（E ，E ）（F ，E ）（G ，E ）F（E ，F ）（F ，F ）（G ，F ）G （E ，G ）（F ，G ）（G ，G ）由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的结果数有3种，∴参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率3193==．21.【答案】（1）4y x =-；（2）10x -<<；（3）()9,0-．【解析】（1）∵4OE =，AE y ⊥轴，∴()0,4E ，点A 的纵坐标为4，∵点A 在122y x =-+图象上，∴当4y =时，422x =-+，解得：1x =-，∴点A 坐标为()1,4-，∵反比例函数2k y x=的图象过点A ，∴144k =-⨯=-，∴反比例函数的表达式为：4y x =-；（2）如图，在第二象限内，当12y y <时，10x -<<，（3）如图，过A 作AM x ⊥轴于点M ，∵AE y ⊥轴，∴90AEO EOM OMA ∠=∠=∠=︒，∴四边形AEOM 是矩形，∴4AM OE ==，1OM AE ==，∵PA AB ⊥，∴90PAD ∠=︒，即：90PAM DAM ∠+∠=︒，∵90DAM ADM ∠+∠=︒，∴PAM ADM ∠=∠，∴DAM APD ∠=∠，∴PAD AMD ∽，∴AD PD MD AD=，由22y x =-+得：0y =时，220x -+=，解得：1x =，∴点()1,0D ，∴AD ==2MD =，∴252=∴10PD =，∴点()9,0P -．22.【答案】这个学校九年级学生有300人．【解析】解：设零售价为x 元，批发价为y ，根据题意可得：50603600360060x y y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：1210x y =⎧⎨=⎩，则学校九年级学生360012300÷=人．答：这个学校九年级学生有300人．23.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴1902AB CD AD BC ADC ABC BAD AC BD ====︒=∥，，∠∠，，由折叠的性质可得AD AG =，90AGF ADF ∠=∠=︒，∴90AGE DAB ==︒∠∠，∵AC AE =，AC BD =，∴AE BD =，∴()Rt Rt HL ABD GEA △≌△，∴AEG DBA ∠=∠，∴BD EF ∥，又∵BE DF ∥，∴四边形DBEF 是平行四边形；（2）证明：∵四边形DBEF 是平行四边形，∴BE DF =，由折叠的性质可得GF DF =，∴BE GF =，∵CD AB ∥，∴HFG E =∠∠，又∵18090FGH AGF MBE ∠=︒-∠=︒=∠，∴()ASA FGH EBM △≌△，∴FH ME =．24.【答案】（1）60︒（2）见详解（3）见详解【解析】（1）∵EF AD ⊥，∴90EFA EFD ∠=∠=︒，∵EF EF =，AF DF =，∴EFA EFD ≌，∴EA ED =，∵ABC 、CDE 是两个等腰直角三角形，∴45ACB BAC CED CDE Ð=Ð=°=Ð=Ð，AB BC =，∴18090EGC BCA CED Ð=°-Ð-Ð=°，∴GC DE ⊥，∴等腰直角CDE 中，EG GD =，∴GC 是线段ED 的垂直平分线，∴EA AD =，∴EA AD DE ==，即EAD 是等边三角形，∴60AED ∠=︒；（2）在（1）中有GC DE ⊥，EF AD ⊥，∴90AGE AGD AFH Ð=Ð=Ð=°，又∵EHG AHF Ð=Ð，∴HEG HAF Ð=Ð，∴EHG ADG ∽△△；（3）过H 点作HK BC ⊥于点K ，如图，∵HK BC ⊥，45BCH ∠=︒，∴90HKB HKC ∠=∠=︒，∴45KHC KCH ∠=∠=︒，即是等腰Rt KHC △，∴HK KC =，∵180EHK HKE HEK ∠=︒-∠-∠，45DEC ∠=︒，HEK HEG DEC ∠=∠+，∴45EHK HEG ∠=︒-∠，∵GC 是线段ED 的垂直平分线，∴EAG DAG ∠=∠，在（1）中已证明HEG DAG ∠=∠，∴HEG EAG ∠=∠，∵45BAE BAC EAG EAG ∠=∠-∠=︒-∠，∴45BAE HEG EHK ∠=︒-∠=∠，∵90B HKE ∠=∠=︒，∴ABE HKE ∽，∴AE ABHE HK =，∵AB BC =，HK KC =，∴AE AB BCHE HK KC ==，∵HK BC ⊥，AB BC ⊥，∴HK AB ∥，∴ABC HKC ∽，∴BC AC KC HC =，∴AE ACHE HC =．25.【答案】（1）254y x x =++（2）5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或5,162⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）正确，820,39D ⎛⎫--⎪⎝⎭【解析】（1）解：将(4,0),(1,0)A B --代入24y ax bx =++得：1644040a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：15a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为：254y x x =++；（2）解：由抛物线254y x x =++可知，其对称轴为直线52x =-，()0,4C ，设直线BC 解析式为：y kx c =+，将()1,0B -，()0,4C 代入解得：44k c =⎧⎨=⎩，∴直线BC 解析式为：44y x =+，此时，如图所示，作PQ x ∥轴，交BC 于点Q ，∵点P 在二次函数对称轴上，∴设5,2P m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则4,4m Q m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴456424m m PQ -+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴()116642242BCP C B m m S PQ y y ++=-=⨯⨯= ，∵要使得BCP 面积为5，∴652m +=，解得：4m =或16m =-，∴P 的坐标为5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或5,162⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）解：正确，820,39D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，理由如下：如图所示，连接AC ，BC ，设AC 与对称轴交点为K ，对称轴与x 轴交点为H ，连接BK ，延长AD 与对称轴交于点M ，由（1）、（2）可得4OA OC ==，=90AOC ∠︒，∴45CAO ∠=︒，AC =，根据抛物线的对称性，AK BK =，∴45KAB KBA ∠=∠=︒，90AKB ∠=︒，∵3AB =，∴2AK BK ==，∴522CK AC AK =-=，在Rt CKB 中，5tan 3CK CBK BK ∠==，∵90CBK ACB ∠+∠=︒且90DAB ACB +=︒∠∠，∴DAB CBK ∠=∠，∴5tan tan 3DAB CBK ∠=∠=，即：在Rt AHM 中，53HM AH =，∵()53422AH =---=，∴355232HM =⨯=，∴55,22M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设直线AM 解析式为：y sx t =+，将()4,0A -、55,22M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入解得：53203s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AM 解析式为：52033y x =--，联立25452033y x x y x ⎧=++⎪⎨=--⎪⎩，解得：83209x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或40x y =-⎧⎨=⎩（不合题，舍去）∴小明说法正确，D 的坐标为820,39D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．。