空间直线及其方程 PPT

L 1 L 2 c= o 0 m s 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 = 0
两直线垂直图示
图示
例题
已知直线
求两直线的夹角.
解 由所给方程知 s1={1，-4，1},s2={2，-2，-1}，
代入夹角公式可得
co= s |1 2 ( 4 ) ( 2 ) 1 ( 1 )| 1 2 ( 4 )2 1 2 2 2 ( 2 )2 ( 1 )2
三.直线的参数方程
由直线的对称式方程可以导出直线的参 数方程。只须设
这就是直线L的
则有 x = x 0 mt

y
=
y0
nt

z
=
z0

pt
参数方程. 这里t为参数.
例1 求过点M0 (4,-1,3)且平行于直线L1的直线方程.
解 设已知直线L1的方向向量s1={2,1,-5} s
求直线与平面交点
L： xx0 =yy0 =zz0
mn
p
s={m,n,p}
π ：Ax+By+Cz+D=0
M0(x0,y0,z0)
n={A,B,C}
怎样才能求 出交点M？
M(x,y,z)
π
图示
例题 已知平面 π2x+y+z-6=0及直线 L
求其交点.
解 令直线方程 x2=y3=z4=t
1
0
= 2i
jk
2
0
2
j 2k
ij
k

s2 = 0
0 2
= 2 i 先2求出j 两条k
直线的方向向量，
再由两个方向向 s s =0 量2 的数量积2为零

z
Π1
Π2
o
L
y
注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件 • 由两个平面确定一条直线； • 由空间的两点确定一条直线； • 由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程
r 如果一非零向量 s 平行于 r 一条已知直线L，向量 s 称为直
线L的方向向量． 设定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ L,
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1) L⊥ Π ⇐⇒ ( 2) L // Π ⇐⇒
A B C = = . m n p Am + Bn + Cp = 0.
x −1 y z +1 例 5 设直线 L : = = ，平面 2 −1 2 Π : x − y + 2 z = 3，求直线与平面的夹角. r r 解 n = {1,−1, 2}, s = {2,−1, 2},
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x + y + z + 1 = 0 . 2 x − y + 3z + 4 = 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
y0 + z 0 + 2 = 0 取 x0 = 1 ⇒ , y0 − 3 z 0 − 6 = 0
解得 y0 = 0,
r s = {m , n, p}, r n = { A, B , C },
r^r π ( s , n) = + ϕ 2
π sin ϕ = cos( − ϕ ) = cos( π + ϕ ) . 2 2
sin ϕ =
| Am + Bn + Cp | A2 + B 2 + C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2

0
= 2i
jk
2
0
2
j 2k
ij
k

s2 = 0
0 2
= 2 i 先2求出j 两条k
直线的方向向量，
再由两个方向向 s s =0 量2 的数量积2为零
证得.《提示》
小结 空间直线方程：（用三元一次方程表示） 向量式 r=r0st
A1xB1yC1zD1 =0 一般式 A2xB2yC2zD2 =0
L:x1= y =z2 4 1 3
解 （2） 求一般方程，
由

x y

=
=y
z 2
？？？
x y = z y = 2
即为所要求的一般方程.
3.将直线的一般方程L化 为标准方程
（即对称式方程）.
x y = z y = 2,
=cos( )=sin
2
两个结论：
1.若直线 L与平面π 平行，则n⊥s，于是
L // m n A B p= C 0
L // π图示
L：
xx0 =yy0 =zz0
m
n
p
s={m,n,p}
πAx+By+Cz+D=0
π
s={m,n,p}
n={A,B,C}
2.若直线 L与平面π 垂直，则则n∥s，于是
代入第四个平面方程检 验，满足该方程。
提示 任取三个平面方 程联立，解出交 点后代入并满足 第四个平面方程， 则两直线共面
4.证明两条直线 L1,L2
相互垂直.其中
x 2 y = ,
L

:

2
y

由此得 =-1 代入(*)式，得投影平面的方程为
2y-2z-2 =0 即 y-z-1=0
所以投影直线的方程为
2019年8月2日星期五
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例7
求通过直线
x x

5y z4
z 0, 0
且与平面
x

4
y

8z
12

0
成 π 角的平面． 4
解：设所求的平面为 (x 5y z) (x z 4) 0 ，
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2. 一直线过点
且垂直于直线
又和直线
相交,求此直线方程 .
解： 方法1 利用叉积.
的方向向量为
过 A 点及
面的法向量为 则所求直线的方向向量
所以
2019年8月2日星期五
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待求直线的方向向量
故所求直线方程为 方法2 利用所求直线与L2 的交点 . 设所求直线与 的交点为
例如, 当 m n 0, p 0 时, 直线方程为
2019年8月2日星期五
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3. 参数式方程 (Parametric Form )
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
得参数式方程 :
x x0 mt y y0 nt z z0 pt
将点（－3,2,5）代入，解得 D 23，即 x 4z 23 ．
同理可求过点（－3,2,5）且与 2x y 5z 1平行的平面 方程为 2x y 5z 33 ．