数学物理方法复习
- 格式:doc
- 大小:394.40 KB
- 文档页数:8
数 学 物 理 方 法
教 材:梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版]
内 容:第一篇 复变函数论 第二篇 数学物理方程
第一章 复变函数 一、复数
1、复数的定义
iy x z +=——代数式
)sin (cos ϕϕρi z +=——三角式
ϕρi e z =——指数式 重点:复数三种表示式之间的转换!
实部: z x Re = 虚部:z y Im = 模:2
2y x z +==ρ
主辐角:
)
(arg x y
arctg z = ,2a r g 0π<≤z
辐角:
π
k z Argz 2arg +=
),2,1,0( ±±=k
共轭复数:iy x z +=
*
z x i y =- 2、复数的运算:加、减、乘、除、乘方、开方
(1)、加法和减法
(2)、乘法和除法
)
)((221121iy x iy x z z ++=)()(12212121y x y x i y y x x ++-=
)
()(212121y y i x x z z ±+±=±1
11iy
x z +=2
22iy x z +=
2
1z z *2
2*21z
z z z ⋅⋅=
2
2
222211))((y x iy x iy x +-+=2
2
22211222222121y x y x y x i y x y y x x +-+++=
(2)、乘法和除法
12
1111122222(cos sin )(cos sin )i i z i e
z i e
ϕϕρϕϕρρϕϕρ=+==+=
▶两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;
▶两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。
(3) 复数的乘方和开方(重点掌握) )]sin()[cos(21212
1
21ϕϕϕϕρρ-+-=i z z )
(2
121ϕϕρρ-=i e 12121212[cos()sin()]
z z i ρρϕϕϕϕ=+++)
(2121ϕϕρρ+=i e n i n e z )(ϕρ
=ϕρ
in n e =)
sin (cos ϕϕρn i n n +=或 (n 为正整数的情况)
棣莫弗公式:
ϕϕϕϕn i n i n
sin cos )sin (cos +=+
复数的乘、除、乘方和开方运算,采用三角式或指数式往往比代数式来得方便。
二、六种初等复变函数: 1. 幂函数 n z w =
2 .指数函数 周期为2πi ,
3. 三角函数
周期为2π
4、双曲函数
2
z
z e e shz --=
2z
z e e c h z -+=
、
5、根式函数
12π2πcos sin n n
k k z i n n ϕϕρ
++⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭
)
1,,2,1,0(-=n k n
k i
n
e
π
ϕρ2+=
z
e w = cos ,2
iz iz
e e z -+=sin ,
2iz iz
e e z i
--=周期为2πi
ϕρi e
z =n k i
n e
w πϕρ2+=)
(,,,1210-=n k
6、对数函数
222z z x y ρ*==+13=
三、解析函数
),(),()(y x iv y x u z f +=
1、 柯西-黎曼方程
z
w ln =ln z iArgz
=+π
k z Argz 2arg +=
,,10±=k 例2:复数e z
的模为
x
e
,辐角为
2,0,1,2,
y k k π+=±±
z
x iy
e e
+=x iy
e e
=
例3:已知 13
22z i
=
+,表示成指数形式为:
2,0,1,2,
y k k π+=±±
例4:已知 i z i = 或 i z i = ,可以化简为:
2
(2)k e ππ-+ 或
2
2k e
π
π
+
例1:已知 ,则 13 23z
i =+zz *
=
直角坐标系:⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂x v y u y v x u 极坐标系:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ρϕ
ρϕρρv u v u 11
2、解析函数性质:
(1)若
),(),()(y x iv y x u z f += 是解析函数,则0=∇⋅∇v u
(2)若函数
iv u z f +=)( 在区域 B 上解析,
则 u 和v 必为B 上的相互共轭调和函数。
第五章 傅里叶变换 一、傅里叶级数
1、周期函数(T=2l)的傅里叶展开
一般周期函数:(5.1.3)、(5.1.5);——P69-70 傅里叶级数 奇函数:(5.1.8)、(5.1.9); ——P71傅里叶正弦级数 偶函数:(5.1.10)、(5.1.11);——P71 傅里叶余弦级数 2、定义在有限区间(0,l)上的函数的傅里叶展开
对函数f(x)的边界(区间的端点x=0, x=l )上的行为提出限制,即满足一定的边界条件,这常常就决定了如何延拓。
(1)、边界条件为f(0)=0,f(l)=0
——应延拓成以2l 为周期的奇函数(奇延拓)
1()sin k k k f x b x l π∞
==∑ 02()s i n l k k x b f x dx l l π=⎰
(2)、边界条件为
(0)0,()0f f l ''==
——应延拓成以2l 为周期的偶函数(偶延拓)
01()cos k k k f x a a x l π∞
==+∑ 02()cos l k k k x a f x dx l l πδ=⎰
001()l a f x dx l =⎰
02()c o s (
0)
l k k x
a f x dx
k l l π=≠⎰