必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理
第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示
¤知识要点：
1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异
性、 无序性.
2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛ ｝” 括起来，基本形式为｛a 1,a 2,a 3,,a n ｝，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即 用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为｛x A |P （x ）｝，既要关注代表元素 x ，也要把 握其属性P （x ） ，适用于无限集.
3. 通常用大写拉丁字母 A ,B ,C ,表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ， 正整数集N *或N +
，整数集 Z ，有理数集 Q ，实数集R .
4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号 、 表示，例如3N ，-2N . ¤例题精讲：
【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程x （x 2 -2x -3）=0的所有实数根组成的集合；
（2）大于 2且小于 7的整数. 解：（1）用描述法表示为：｛x R |x （x 2 -2x -3）=0｝； 用列举法表示为｛0,-1,3｝.
（2）用描述法表示为：｛x Z |2 x 7｝； 用列举法表示为｛3,4,5,6｝.
【例 2】用适当的符号填空：已知 A =｛x |x =3k + 2,k Z ｝， B =｛x | x = 6m -1,m Z ｝，则有：
17 A ； － 5 A ； 17 B . 解：由3k +2=17，解得k =5Z ，所以17A ；
7 由3k +2=-5，解得k =
7
Z ，所以-5A ； 3 由6m -1=17，解得m =3Z ，所以17B . 【例3】试选择适当的方法
表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数y = x + 3与y = -2x + 6的图象的交点组成的集合；
（2）二次函数 y =x 2 - 4的函数值组成的集合；
（3）反比例函数 y = 2 的自变量的值组成的集合. x
2){y |y =x 2 -4}={y | y -4}. 2
（3）｛x |y = 2｝=｛x |x 0｝.
x
点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为｛1,4｝ ， 也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同， 分析时一定要细心.
*【例4】已知集合A = ｛a | x +a =1有唯一实数解｝，试用列举法表示集合 A ． 解：化方程 x +a =1为：x 2 - x - （a + 2） = 0 ．应分以下三种情况：
x 2 - 2 ⑴方程有等根且不是
2：由 △=0，得a = - 9 ，此时的解为x = 1 ，合．
42 ⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是- 2 ：
将 x = 2 代入得 a =- 2 ，此时另一解 x =1-2， 合．
}={(1,4)}.
解：（1）｛（x , y ）|
y =x +3
y = -2x + 6
⑶方程有一解为- 2 ，而另一解不是 2 ：将x=- 2 代入得a= 2 ，此时另一解为x=2+1，合．
综上可知，A=｛-9,- 2, 2｝．
点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.
第 2 讲§1.1.2 集合间的基本关系
¤知识要点：
1.一般地，对于两个集合A、B ，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset ），记作A B（或B A），读作“A含于B”（或“B包含A”）.
2.如果集合A是集合B的子集（A B），且集合B 是集合A的子集（B A），即集合A 与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A=B.
3.如果集合A B，但存在元素x B，且x A，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset），记作A B（或B A）.
4.不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集.
5.性质：A A；若A B，B C，则A C；若A I B= A，则A B；若A U B= A，则B A.
¤例题精讲：
【例1】用适当的符号填空：
（1）｛菱形｝｛平行四边形｝；｛等腰三角形｝｛等边三角形｝.
（2）｛x R|x2+2=0｝；0 ｛0｝；｛0｝；N ｛0｝.
解：（1），；
（2）=，∈，，.
【例2】设集合A = ｛x | x = n ,n Z｝, B = ｛x | x = n + 1 ,n Z｝，则下列图形能表示A与B关系的 A B B A A B A B是（）.
A ．
B ．C． D ．
解：简单列举两个集合的一些元素，A = ｛, - 3-1,-1,0,1,1,3,｝，B =｛,-3,-1,1,3,｝，易知B A，故答案选A．
另解：由B =｛x | x = 2n +1 , n Z｝，易知B A，故答案选A．
【例3】若集合M =x|x2+x-6=0,N=x|ax-1=0，且N M，求实数a的值. 解：由x2+x-6=0x=2或-3，因此，M = 2, -3.
(i)若a=0时，得N=，此时，N M；
(ii)若a0 时，得N = {}. 若N M,满足= 2或= -3，解得a= 或a= - .
a aa 23 故所求实数a的值为0或1或-1.
23 点评：在考察“ A B”这一关系时，不要忘记“ ” ，因为A=时存在A B. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.
【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}. 若A=B，求实数x的值.
解：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0 或x=1.
a +2
b =ax2 当a=0 时，集合B中的元素均为0 ，故舍去；当x=1 时，集合B
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