第一章-振动理论基础-yyt

第2章 单自由度系统的自由振动
2.2 能量法（3）：举例II
ksa mgl T 1 m l 2
2
U 1 k a 2
2
Tmax

n2
2
ml 2 A2
U max

1 2
ka2 A2
第2章 单自由度系统的自由振动
2.3 瑞利法（1）：基本原理
考虑弹性元件分布质量 对固有频率影响的一种近 似计算方法。一般假设弹 性元件在振动过程中为均 匀变形，据此计算系统动 能，而后利用能量法计算 固有频率。
n
k I
T 2 2 I
n
k
f n 1 k 2 2 I
第2章 单自由度系统的自由振动
2.2 能量法（1） ：基本原理 对于保守系统，可由机械能守恒定律导
出系统运动方程。以T和U分别表示系统的 动能和势能，则
T+U=常数 d(T+U)/dt=0 对于自由振动为简谐振动的系统，可 据下面关系直接得到固有频率
n
k
m l 3
第2章 单自由度系统的自由振动
2.3 瑞利法（2）：举例I
yx

ym
3l2 x l3
4x3
ys mgl3 , k 48EJ
m 48EJ
l3
T

2
l 0
2
1 2
y2dx

1 17 2 35
l

ym2
Tmax

1 2

m

17 35
第1章 绪论——振动的分类
1.4 振动的分类 确定振动与随机振动 自由振动 强迫振动 自激振动 参激振动

1 1 l1 l 2 keq G J 1 G J 2 k1 k 2
1 1
1.4 振动要解决的问题：
① 振动分析：激励条件和系统属性已知，求系统响应。 ② 振动设计：一定激励条件下，来设计系统特性，使响应 满足制定的条件。 ③ 系统识别：激励与响应均已知时，来确定系统特性。 ④ 环境识别：已知振动系统性质和响应，研究激励的特性
斜率＝m
m
图1－3. 离散质量
上面对于离散系统三个组成部分进行了描述。以后，我们 将把离散系统的物理性质分别以常数 k 、 c 和 m 为参数来表 达。除非另有说明，离散系统中的弹簧和阻尼器是没有质量的， 而且离散质量具有着刚体的性质。 如果从能量角度观察离散系统的三个组成部分： 弹簧：其能量为势能 二者能够储存和释放能量。
Fs Fs1 Fs 2 (k1 k 2 ) ( x 2 x1 )
引入记号： eq k 1 k 2，有： k
Fs k eq ( x 2 x1 )
其中： keq 表示弹簧 k 1 和 k2 并联后的等效弹簧刚度。
这样，如果有
么这
n 个刚度为 k i (i 1, 2,, n) 的弹簧并联，那
汽 车 振 动 分 析
Automobile Vibration Analysis
绪
论
汽车是由多个系统组成的复杂振动系统。汽车的振动会直 接影响汽车的动力性、乘坐舒适性、操纵稳定性和通过性等性
能，甚至会造成局部零部件损坏。
关于汽车振动分析的几个主要系统： （1）发动机和传动系统
（2）制动系统
（3）转向系统 （4）悬架系统 （5）车身和车架
图1－1. 弹簧
如图1－1所示弹簧(假定为无质量)，弹簧伸长为 x1 和 x 2

振动工程研究所
1.1 单自由度系统振动方程
• 振动系统的组成
三要素：质量，刚度，阻尼
c
k
必须要素
• 振动系统的数学模型:
运动方程（力平衡给出方程）
m u(t) f(t)
mu(t) cu(t) ku(t) f (t)
振动工程研究所
方程中的弹性项
fs
u2
u1
f
f
k
def
f s (t) k (t) k[u1 (t) u2 (t)]
u
(t
)
0a
s
in(
0t
2
)
注意位移、速 度、加速度之间 得相位关系
u(t)
2 0
a
s
in(
0
t
)
2 0
u
(t
)
振动工程研究所
旋转向量法（几何法）——纵轴投影
Im
P
Q
u
a 0t
0
O
Re
Im
Im
a
0
a 0a
0
O
Re
a2 0
O
Re
a
b
c
– 复数法 z aej e j0t aej(0t )
振动工程研究所
Im(aej e j0t )
a sin(0t )
振动工程研究所
• 不同频率的简谐振动的合成不再是简谐 振动
1. 周期振动(频率可通约)
关键
u1(t) a1 sin(1t 1) 整数倍数 u2 (t) a2 sin(2t 2 )
证
1 m
明 2 n
T2 m , T1 n
T0 T1m T2n
mu(t) ku(t) 0

一、典型模型：弹簧振子
系统： 弹簧+物体
k
m
光滑表面
模型假设：
轻弹簧：质量忽略不计，形变满足Hooke定律； 物体可看作质点。 平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置
受力分析，Hooke定律： F kx 运用牛顿定律， 2
d x kx m 2 dt
改写方程
d 2x k x0 2 dt m
二、简谐振动的一般表达 1、运动[微分]方程： 如果某物理量 X 的变化规律满足微分方程
d X 2 X 2 dt
的形式，则由物理量 X 描述的振动为简谐振动。
[注] X 为相对某平衡值(机械振动时, 即平衡位置) 的偏移量! 可作为判断某运动是否简谐振动的方法。
2
2、振动表达式：（也有人称“振动方程”）
简谐振动的特征、微分方程
令
则
k /m
d x 2 x 2 dt
2
凡具有加速度方向始终位移成正比且方向相反这种 特征的运动就一定是简谐振动。
d 2x 简谐振动微分方程 2 x 0 的通解： 2 dt
x Acos(t 0 )
其中积分常数 A 和
简谐振动表达式
0 由初始条件确定。
注：实际电路中总有电阻，此时电磁振荡将不再是 无阻尼的简谐振荡。
思考：对有阻尼的 LRC 电路，如何建立振动微分 方程？其解如何？
振幅反映简谐振动离开平衡值的最大偏移量。决定了物 体的运动范围以及振动系统的能量。
2、角频率 (Angular Frequency):

频率 (Frequency):
周期 (Period):
[注意]
f 2 T 1 f 2