三角形与全等三角形经典习题及答案
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全等三角形综合复习
切记:“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
例1. 如图,,,,A F E B 四点共线,AC CE ⊥,BD DF ⊥,AE BF =,AC BD =。求证:
ACF BDE ∆≅∆。
例 2. 如图,在ABC ∆中,BE 是∠ABC 的平分线,AD BE ⊥,垂足为D 。求证:21C ∠=∠+∠。
例3. 如图,在ABC ∆中,AB BC =,90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,BE BF =,连接,AE EF 和CF 。求证:AE CF =。
例4. 如图,AB //CD ,AD //BC ,求证:AB CD =。
例5. 如图,,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线,它们交于点P 。求证:
BP 为MBN ∠的平分线。
例6.如图,D是ABC
=,ADB BAD
∆的边BC上的点,且CD AB
∆的
∠=∠,AE是ABD
中线。求证:2
=。
AC AE
例7.如图,在ABC
>,12
∆中,AB AC
∠=∠,P为AD上任意一点。求证:->-。
AB AC PB PC
全等三角形综合复习
7月22日作业
一、选择题:
1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等
D. 斜边相等
2. 根据下列条件,能画出唯一ABC ∆的是( )
A.
3AB =,4BC =,8CA =
B. 4AB =,3BC =,30A ∠=
C. 60C ∠=,45B ∠=,4AB = D . 90C ∠=,6AB =
3. 如图,已知12∠=∠,AC AD =,增加下列条件:①AB AE =;②BC ED =;③C D ∠=∠;④B E ∠=∠。其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
4. 如图,12∠=∠,C D ∠=∠,,AC BD 交于E 点,下列不正确的是( ) A.
DAE CBE ∠=∠
B.
CE DE =
C. DEA ∆不全等于CBE ∆
D. EAB ∆是等腰三角形
5. 如图,已知AB CD =,BC AD =,23B ∠=,则D ∠等于( )
A.
67
B. 46
C. 23
D. 无法确定
二、填空题:
6. 如图,在ABC ∆中,90C ∠=,ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ,
且:2:3CD AD =,10AC cm =,则点D 到AB 的距离等于__________cm ;
7. 如图,已知
AB DC =,AD BC =,,E F 是
BD 上的两点,且BE DF =,若
100AEB ∠=,30ADB ∠=,则BCF ∠=____________;
8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠,,BC BD 为折痕,则CBD ∠的大小为_________;
9. 如图,在等腰Rt ABC ∆中,90C ∠=,
AC BC =,AD 平分BAC ∠交BC 于D ,
DE AB ⊥于E ,若10AB =,则BDE ∆的周长等于____________;
10. 如图,点,,,D E F B 在同一条直线上,AB //CD ,AE //CF ,且AE CF =,若10BD =,
2BF =,则EF =___________;
三、解答题:
11. 如图,ABC ∆为等边三角形,点,M N 分别在,BC AC 上,且BM CN =,AM 与BN
交于Q 点。求AQN ∠的度数。
12. 如图,90ACB ∠=,AC BC =,D 为AB 上一点,AE CD ⊥,BF CD ⊥,交CD
延长线于F 点。求证:BF
CE =。
答案
例1. 思路分析:从结论ACF BDE ∆≅∆入手,全等条件只有AC BD =;由AE BF =两边同时减去EF 得到AF BE =,又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件,可以是CF DE =,也可以是A B ∠=∠。
由条件AC CE ⊥,BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=,再加上AE BF =,AC BD =,可以证明ACE BDF ∆≅∆,从而得到A B ∠=∠。
解答过程:
AC CE ⊥,BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠= 在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中
AE BF
AC BD
=⎧⎨
=⎩ ∴Rt ACE Rt BDF ∆≅∆(HL) ∴A B ∠=∠
AE BF =
∴AE EF BF EF -=-,即AF BE = 在ACF ∆与BDE ∆中
AF BE A B AC BD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ACF BDE ∆≅∆(SAS)
解题后的思考:本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法:一方面从问题或结论入手,看还需要什么条件;另一方面从条件入手,看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系,从而得出解题思路。
小结:本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件,而且告诉我们如何去分析一个题目,得出解题思路。
例2. 思路分析:直接证明21C ∠=∠+∠比较困难,我们可以间接证明,即找到α∠,证明2α∠=∠且1C α∠=∠+∠。也可以看成将2∠“转移”到α∠。
那么α∠在哪里呢?角的对称性提示我们将AD 延长交BC 于F ,则构造了△FBD ,可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB ,可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C 。
解答过程:延长AD 交BC 于F 在ABD ∆与FBD ∆中
90ABD FBD BD BD
ADB FDB ⎧∠=∠⎪
=⎨⎪
∠=∠=⎩ ∴ABD FBD ∆≅∆(ASA ∴2DFB ∠=∠
又
1DFB C ∠=∠+∠ ∴21C ∠=∠+∠。
解题后的思考:由于角是轴对称图形,所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。