闭区间[a,b]上随机系数回归模型的最优设计
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关 键 词 ：随 机 系 数 回 归模 型 ； 最优 设 计 ；恒 等 设 计
分类号： ＡＭ Ｓ ２０） ２ ０ （００ ６Ｋ ５
中图分类号： ２ ２ Ｏ １． ６
文献标识码： Ａ
１ 引 言
随机系数 回归 （ ｎ ｏ Ｃ ｅ ｃ ｎ ｇｅｓ ｎ Ｒ Ｒ） 型是一类广泛应用于社会学 、经济 Ｒａ ｄ ｍ ｏ ｆ ｉ ｔ ｉ ｅ Ｒｅｒｓｉ ， Ｃ 模 ｏ 学、生物学、心理学 、药代动力 学等科 学研究领域 的线性模型 ．在这些领域 的研究 中往往 需要
计） 的最优 性和 多组恒 等 设计 （ 即若干 组个 体采 用不 同设 计 ，但平均 观测 次数 相 同） 的最优 性 问题 ；Ｓ ｈ ａ ｅ Ｓｈ ｌ ｒ １ ｃ ｍｅ ｅ 等［ ］ ｃｗ ｂ 和 ｃ ｍｅ ｅ［ 】 ｈ ｌ ｒ １ 分别探 讨 了单位 设计域 上随机截距 模型和 随 ｔ １ ，Ｓ ｔ ２ 机 斜 率模 型在 几类经 典 设计准 则下 的最优 设计 ；Ｌｓｉ １ 在 其著作 中讨 论 了单位设 计域上 ｉ 等［】 ｋ ３
第２卷 第５ ９ 期
２ １ 年 １ 月 ０２ Ｏ
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ｖ １２ ｏ ５ ０ ９ ． ． Ｎ
Ｏｃ ．２ １ ｔ ０２
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧ Ｉ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ —８ １ ５３８（０２０—６１０ ０
启动基金．
６２ ８
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第２ 卷 ９
一
阶随机 系数 回归模 型 的Ｄ一Ａ ，一ＭＶ 和 Ｅ 最优设 计 以及 二阶 随机系 数回 归模型 的 Ｄ ， ， 一Ｉ ， 一 一 一Ａ一
和 ＭＶ 最优 设计 ；Ｌ ｏ 等【 Ｊ 一 ｕ ｍａ １ 讨论 了三 阶随机系数 回归模 型在单位 设计域上 Ｄ 最优 设计 问 ４ 一 题 ；Ｄｅ ｕｈ 和 Ｈａ ｅ［ ］ ｂ ｓｏ ｉ ｓ ５针对具有 随机截距 的一元一阶 多项式模型给 出 了均值参 数估计在 离 ｎ １ 散设计域 ｆ ，， ， 上 的ｖ一 Ｄ一 ０ １… 与 最优设计 ． 这 些现 有 文献 除 去探 讨 性质 的文 献 和讨 论 离散 数据 下 最优 设计 的【 ｌ ，其余 的 文献 中 １ 外 ５ 设计 域 均 选 取 为特 殊 的非 对 称 闭 区 间 『 １，而 相应 的结 果 并 不 能直 接 应 用 到一 般 的 闭区 ０ ］ ， 间 【，］ ．Ｌｓｉ ａ ｂ上 ｉ 等在文献 ［ ］ ｋ １ 中指 出基 于参数估计 的最优 设计其结论仅在 ［，１ ３ ０ １ 上成立，对预 测可推广至 一般 闭区间，而对逆预测 只可推广至 ｆ，１ ０ ｈ．本 文将对一般 闭区间 『，１ 随机回归 ａ ｂ上 模型的 Ｄ一Ｇ ， ， 一 Ｉ最优设计 问题进行探讨 ．证 明了这几类 最优设计可在 闭区 间端 点处 ， 一Ａ一Ｄ８ 和 一 获得 ，并给 出了依赖于设计域端点值及随机效应项方差 比值 的最优设计 的解析表达式 ．文章第 二部分 对随机 回归模型进行 了统计分 析 ，获得 了参 数估计 ；第三部分证 明了 闭区间 ｆ，１ 随 ａｂ上 机 回归模型 的最优设计可在设计域端 点上获得 的结论 ，并在此基础上给 出了几类最优设计 的解 析表达式 ；第 四部分对获得的结论进行 了简单 的讨论 ．
闭区间 ［ ｂ上随机系数回归模型的最优设计木 ａ］ ，
程 靖 岳 荣 先 ，
（一巢 湖 学 院 数 学 系 ， 安 徽 巢 湖 ２ ８ ０ ； ２ 上 海 师 范大 学数 理 学 院 ，上 海 ２ ０ ３ ） １ ３００ 一 ０ ２ ４
摘
要 ：随机 系数回归模 型是一类 广泛 应用 于社会学、经济学、生物学、心理学、药代动力学等科学研究
领 域的线性模 型．本文讨论 了闭区间 ［ ｂ上 随机 系数回归模型基 于 Ｄ ， ．Ａ ， 和 Ｉ最优准 ａ ］ ， 一Ｇ ， ．Ｄ ． 一
则下 的几类最优 设计 问题 ．证 明了在 设计准 则满足 实值单 调的条件 下最优设计可在设计域端点处 获 得 的结 论 ，并 给 出 了这 几 类 设 计 准 则 下 最 优 设 计 的解 析 表 达 式 ．
对 同一个试验 单元 （ 或个 体） 的一项 或几项指标在某 个 区域上进行 重复测量 ，而观测 点 （ 如观测 的时间点 、空 间的分配等） 的选择都 在试验者 的控 制之下 ．由此 获得 的数据不仅包 含群体效应 的信 息，还 包含个体效应 的信息 ，能很好 的反映 出个体 间的差异和个体 内部 的变化 ，随机系数 回归模型 是对这类 数据进 行统计 分析 的重要工 具 ．与 经典 的 （ 固定系数 ） 回归模 型相 比较 ，随 机系 数 回归模型在 分析 具有群 体效应 中的个体 效应或 是多群 组层级 结构 的数据 方面具有 很大 的优越性 ，因此这类模型引起 了研 究者越 来越 大 的兴趣 ．Ｌ ｎ ｆｒ ［ 在其著作 中应用随机系数 ｏ ｇｏｄ１ ］
收稿 日期： ０ ０１—９ 作者简介：程靖 （９９ Ｏ ２ １—０１． １７ 年１ 月生） ，女，博士． 究方向：试验 设计与分析． 研
基金项 目： 国家 自 科学基 金 （ １ ７ １ ８ ；教育部高校博士点专项科研基金 （Ｏ ０ １ ７ ｌ ０ ２ ：上海市高校 研 然 １０ １６） ２ １ ３ ２ １０ ０ ） 究院 （０ ０４ ；科学计算上海市重点学科 （３４ ５； Ｅ ３０ ） Ｓ ００ ） 上海市教育委员会科研创新项 目（ｌｚ ｌ） 安徽省高等学校 １ｚｌ ６； 优秀人才青年基金项 目（０２ ＱＲ １０： 安徽省高等学校省级 自然科学研究项 目 （ ２ １Ｂ１８ ；巢湖 学院科研 ２１ Ｓ Ｌ ５） ＫＪ０ ２ １）
模型 来描述 了包括公 司的财政可信 度 、老 鼠体重 、孕期监测 、房屋价格 、ＧＥ Ｒ成绩有 效性 以 及奥 运会男子 短跑项 目成绩等 多个领 域 的各类 问题 ；Ｌｓ ｉ Ｎ ｍｍｉ， 则应用 随机系数 回归 ｉ 和 ｕ ｋ ［３ ２】
模型 描述树干 曲线模 型 ，较 好地 容纳 了林分密度 、林地 类型 、气候 以及 遗传 因素对木材 的影 响 ；Ｐ ｎ 和 Ｙ ｈ ｉ］ 随机 系数 回归模 型应用 于质量监测． ｅａ ｏ ａ［ 将 ４ 在上 世纪 九十 年代 之前 ，随 机系 数 回归模 型 的研 究 多集 中在参数 估计 和参 数检验 的 问题 上 ，最 近十 几年 ，有一 些 学者对 较 为 简单 的 随机 系数模 型 的最 优 设计 问题进 行 了较 为深 入 的讨 论 ．Ｌｓｉ ５ 】 ｉ 等［７对一 阶 随机 系 数 回归 模 型 中斜 率参 数 的估 计 、预 测和 逆预 测 提 出 了最 ｋ － 优 设计 ；Ｅ ｔｏｚ ｅ 等 【 考 虑 了一 般 随 机 系数 回 归模 型 中基 于 群 体参 数 估计 的最优 设计 问 ｎｈ ｌ ｒ ８ ｎ 】 题 ；Ｓ ｈ ｌ ｒ Ｊ ］ 别考 虑 了随机 系数 回归模 型 中单组恒 等设计 ｆ ｃｍｅ ｅ［ ￣分 ｔ ｇ 即所 有个体 都采用 相 同设
分类号： ＡＭ Ｓ ２０） ２ ０ （００ ６Ｋ ５
中图分类号： ２ ２ Ｏ １． ６
文献标识码： Ａ
１ 引 言
随机系数 回归 （ ｎ ｏ Ｃ ｅ ｃ ｎ ｇｅｓ ｎ Ｒ Ｒ） 型是一类广泛应用于社会学 、经济 Ｒａ ｄ ｍ ｏ ｆ ｉ ｔ ｉ ｅ Ｒｅｒｓｉ ， Ｃ 模 ｏ 学、生物学、心理学 、药代动力 学等科 学研究领域 的线性模型 ．在这些领域 的研究 中往往 需要
计） 的最优 性和 多组恒 等 设计 （ 即若干 组个 体采 用不 同设 计 ，但平均 观测 次数 相 同） 的最优 性 问题 ；Ｓ ｈ ａ ｅ Ｓｈ ｌ ｒ １ ｃ ｍｅ ｅ 等［ ］ ｃｗ ｂ 和 ｃ ｍｅ ｅ［ 】 ｈ ｌ ｒ １ 分别探 讨 了单位 设计域 上随机截距 模型和 随 ｔ １ ，Ｓ ｔ ２ 机 斜 率模 型在 几类经 典 设计准 则下 的最优 设计 ；Ｌｓｉ １ 在 其著作 中讨 论 了单位设 计域上 ｉ 等［】 ｋ ３
第２卷 第５ ９ 期
２ １ 年 １ 月 ０２ Ｏ
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阶随机 系数 回归模 型 的Ｄ一Ａ ，一ＭＶ 和 Ｅ 最优设 计 以及 二阶 随机系 数回 归模型 的 Ｄ ， ， 一Ｉ ， 一 一 一Ａ一
和 ＭＶ 最优 设计 ；Ｌ ｏ 等【 Ｊ 一 ｕ ｍａ １ 讨论 了三 阶随机系数 回归模 型在单位 设计域上 Ｄ 最优 设计 问 ４ 一 题 ；Ｄｅ ｕｈ 和 Ｈａ ｅ［ ］ ｂ ｓｏ ｉ ｓ ５针对具有 随机截距 的一元一阶 多项式模型给 出 了均值参 数估计在 离 ｎ １ 散设计域 ｆ ，， ， 上 的ｖ一 Ｄ一 ０ １… 与 最优设计 ． 这 些现 有 文献 除 去探 讨 性质 的文 献 和讨 论 离散 数据 下 最优 设计 的【 ｌ ，其余 的 文献 中 １ 外 ５ 设计 域 均 选 取 为特 殊 的非 对 称 闭 区 间 『 １，而 相应 的结 果 并 不 能直 接 应 用 到一 般 的 闭区 ０ ］ ， 间 【，］ ．Ｌｓｉ ａ ｂ上 ｉ 等在文献 ［ ］ ｋ １ 中指 出基 于参数估计 的最优 设计其结论仅在 ［，１ ３ ０ １ 上成立，对预 测可推广至 一般 闭区间，而对逆预测 只可推广至 ｆ，１ ０ ｈ．本 文将对一般 闭区间 『，１ 随机回归 ａ ｂ上 模型的 Ｄ一Ｇ ， ， 一 Ｉ最优设计 问题进行探讨 ．证 明了这几类 最优设计可在 闭区 间端 点处 ， 一Ａ一Ｄ８ 和 一 获得 ，并给 出了依赖于设计域端点值及随机效应项方差 比值 的最优设计 的解析表达式 ．文章第 二部分 对随机 回归模型进行 了统计分 析 ，获得 了参 数估计 ；第三部分证 明了 闭区间 ｆ，１ 随 ａｂ上 机 回归模型 的最优设计可在设计域端 点上获得 的结论 ，并在此基础上给 出了几类最优设计 的解 析表达式 ；第 四部分对获得的结论进行 了简单 的讨论 ．
闭区间 ［ ｂ上随机系数回归模型的最优设计木 ａ］ ，
程 靖 岳 荣 先 ，
（一巢 湖 学 院 数 学 系 ， 安 徽 巢 湖 ２ ８ ０ ； ２ 上 海 师 范大 学数 理 学 院 ，上 海 ２ ０ ３ ） １ ３００ 一 ０ ２ ４
摘
要 ：随机 系数回归模 型是一类 广泛 应用 于社会学、经济学、生物学、心理学、药代动力学等科学研究
领 域的线性模 型．本文讨论 了闭区间 ［ ｂ上 随机 系数回归模型基 于 Ｄ ， ．Ａ ， 和 Ｉ最优准 ａ ］ ， 一Ｇ ， ．Ｄ ． 一
则下 的几类最优 设计 问题 ．证 明了在 设计准 则满足 实值单 调的条件 下最优设计可在设计域端点处 获 得 的结 论 ，并 给 出 了这 几 类 设 计 准 则 下 最 优 设 计 的解 析 表 达 式 ．
对 同一个试验 单元 （ 或个 体） 的一项 或几项指标在某 个 区域上进行 重复测量 ，而观测 点 （ 如观测 的时间点 、空 间的分配等） 的选择都 在试验者 的控 制之下 ．由此 获得 的数据不仅包 含群体效应 的信 息，还 包含个体效应 的信息 ，能很好 的反映 出个体 间的差异和个体 内部 的变化 ，随机系数 回归模型 是对这类 数据进 行统计 分析 的重要工 具 ．与 经典 的 （ 固定系数 ） 回归模 型相 比较 ，随 机系 数 回归模型在 分析 具有群 体效应 中的个体 效应或 是多群 组层级 结构 的数据 方面具有 很大 的优越性 ，因此这类模型引起 了研 究者越 来越 大 的兴趣 ．Ｌ ｎ ｆｒ ［ 在其著作 中应用随机系数 ｏ ｇｏｄ１ ］
收稿 日期： ０ ０１—９ 作者简介：程靖 （９９ Ｏ ２ １—０１． １７ 年１ 月生） ，女，博士． 究方向：试验 设计与分析． 研
基金项 目： 国家 自 科学基 金 （ １ ７ １ ８ ；教育部高校博士点专项科研基金 （Ｏ ０ １ ７ ｌ ０ ２ ：上海市高校 研 然 １０ １６） ２ １ ３ ２ １０ ０ ） 究院 （０ ０４ ；科学计算上海市重点学科 （３４ ５； Ｅ ３０ ） Ｓ ００ ） 上海市教育委员会科研创新项 目（ｌｚ ｌ） 安徽省高等学校 １ｚｌ ６； 优秀人才青年基金项 目（０２ ＱＲ １０： 安徽省高等学校省级 自然科学研究项 目 （ ２ １Ｂ１８ ；巢湖 学院科研 ２１ Ｓ Ｌ ５） ＫＪ０ ２ １）
模型 来描述 了包括公 司的财政可信 度 、老 鼠体重 、孕期监测 、房屋价格 、ＧＥ Ｒ成绩有 效性 以 及奥 运会男子 短跑项 目成绩等 多个领 域 的各类 问题 ；Ｌｓ ｉ Ｎ ｍｍｉ， 则应用 随机系数 回归 ｉ 和 ｕ ｋ ［３ ２】
模型 描述树干 曲线模 型 ，较 好地 容纳 了林分密度 、林地 类型 、气候 以及 遗传 因素对木材 的影 响 ；Ｐ ｎ 和 Ｙ ｈ ｉ］ 随机 系数 回归模 型应用 于质量监测． ｅａ ｏ ａ［ 将 ４ 在上 世纪 九十 年代 之前 ，随 机系 数 回归模 型 的研 究 多集 中在参数 估计 和参 数检验 的 问题 上 ，最 近十 几年 ，有一 些 学者对 较 为 简单 的 随机 系数模 型 的最 优 设计 问题进 行 了较 为深 入 的讨 论 ．Ｌｓｉ ５ 】 ｉ 等［７对一 阶 随机 系 数 回归 模 型 中斜 率参 数 的估 计 、预 测和 逆预 测 提 出 了最 ｋ － 优 设计 ；Ｅ ｔｏｚ ｅ 等 【 考 虑 了一 般 随 机 系数 回 归模 型 中基 于 群 体参 数 估计 的最优 设计 问 ｎｈ ｌ ｒ ８ ｎ 】 题 ；Ｓ ｈ ｌ ｒ Ｊ ］ 别考 虑 了随机 系数 回归模 型 中单组恒 等设计 ｆ ｃｍｅ ｅ［ ￣分 ｔ ｇ 即所 有个体 都采用 相 同设
