向量
一．知识清单 向量有关概念
1．有向线段： 叫做有向线段，它包含 三个要素 2．向量： 叫做向量 3．向量的长度（或模）： 就是此向量的长度 4．向量的表示： 表示向量，如AB a 或 5．零向量： 叫做零向量，记作
0 6．单位向量： 叫做单位向量
7．平行向量： 叫做平行向量（也叫做共线向量）。如向量a 与b 平行（或共线），记作//a b
8．相等向量： 叫做相等向量。如果向量a 与b 相等，记作a =b 二．基础训练
1．在下列各命题中，真命题为（ ）
A 两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
B 模为0的向量与任一向量平行
C 向量就是有向线段
D a =b 是a b =的必要不充分条件 2．下列命题中，假命题是（ ） A 向量AB 与向量BA 长度相等
B 两个相等向量若起点相同，则终点必相同
C 只有零向量的模等于0
D 共线的单位向量相等
3．已知下列命题：①a=b,b=c,则a=c; ②若a//b,b//c 则a//c ；③若a=b,则a//b; ④若a//b,则a=b.其中命题正确的序号是（ ）
A ①③
B ②③
C ④③
D ①②
4．在四边形ABCD 中， AB DC =，且AB AD =，则四边形ABCD 是 5．如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的三边BC 、CA 和AB 的中点，试写出： （1）与EF 平行的向量； （2）与EF 相等的向量；
B
C
D
三．强化训练
1．下列说法正确的是（ ）
A 方向相同或相反的向量是平行向量
B 零向量的长度是0
C 长度相等的向量叫相等向量
D 共线向量是在一条直线上的向量
2．下列命题中，真命题的个数为（ ） ① 若a b =，则a =b 或a =b -
② 若AB DC =，则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点 ③ 若a =b ，b c =，则a =c ④ 若//a b ，//b c ，则//a c
A 4
B 3
C 2
D 1
3．下列命题，正确的是（ ） A a b a b =⇒= B a b a b >⇒> C //a b a b =⇒ D
00a a =⇒=
4．如图，ABCD 是边厂为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC 平行且长度为
的向量个数是
A B
C
D
向量的加法与减法
一．知识清单
1． 向量加法的定义
已知向量a 、b ，在平面内任取一点A 作AB =a ，BC =b ，则向量 叫做a 与b 的和，记作 ，既a +b= =AC ，如图 求两个向量和的运算，叫做 。
对于零向量与任一向量a ，任然有0+a=a+0= 。 向量加法有 法则与 法则。
（1）向量加法的三角形法则
根据向量加法的定义求向量的方法，叫向量加法的三角形法则，使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合，既用同一个字母来表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。如a=AB ,b=BC ,c=CD 则a+b+c=
AB BC CD AD ++=。
（2）向量加法的平行四边形法则
向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点 到同一点，再以这两个已知向量为 作平行四边形，则 就是这两个已知向量的和。
以点A 为起点作向量AB =a,AD =b,以AB 、AD 为邻边作
ABCD 。
则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和，记作a+b=AC 向量的加法满足交换律、结合律
（1）交换律： 。 （2）结合律： 。 以上运算对多个向量也是成立的 2． 向量的减法
1．相反向量：与a 的向量，叫做a 的相反向量，记作 。零向量的相反向量仍是 。
2．向量的减法：向量a 加上向量b 的 ，叫做a 与b 的差，记作：a-b 。求两个向量差的运算，叫做 。已知a 、b ，如图，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ,则 =a-b ,既a-b 可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量，如图。 （1）-(-a)=a ;
（2）a+(-a)=(-a)+a=0
（3）a 、b 为相反向量，则a=-b,b=-a,a+b=0;
（4）差向量是由减向量的终点指向被减向量的终点。 3．两个向量的和与差仍是 二．基础训练
1．化简以下各式：（1）AB BC CA ++；（2）AB AC BD CD -+-；（3）OA OD AD -+
（4）NQ QP MN MP ++-，结果为零向量的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4
2．已知8,5AB AC ==，则BC 的取值范围是
3．在如图所示的四边形
ABCD 中，设AB =a ，AD =b ，则DC
a +
b a b
a a
b
a
b
a+b
O A
C
D
B
等于
4．设a 、b 是非零向量，则“a b a b -=+”成立的充要条件是（ ） A a 、b 方向相同 B a 、b 方向相反 C a=b D a b =
5．在矩形ABCD 中，3AB =，1BC =，则向量（AB AD AC ++）的长度等于
6．如图M 是线段AB 的中点，求证：对于任意一点O ，
1
()2
OM OA OB =+成立。
7． 在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则必有（ ） A 0AD = B 00AB AD ==或 C ABCD 是矩形 D ABCD 是正方形
三．强化训练
1．在四边形ABCD 中，AC AB AD =+，试判断四边形的形状
2．如图，在四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ） A AB DC = B AD AB AC += C AB AD BD -= D 0AD CB += 3．在
ABCD 中，AB =a ，AD =b ，AN =3NC ，M 为BC 的
中点，则MN = （用a ，b 表示）。
4．如图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD 等于（ ）
A 12BC BA +
B 1
2BC BA -+ C 12BC BA -- D 1
2
BC BA -
5．给出下列命题：（1）若向a 与b 平行，则a 与b 方向相反或者相同；（2）ABC ∆中，必有0AB BC CA ++=；（3）四边形ABCD 是平
行四边形的充要条件是AB DC =；（4）若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a+a-b 与a 、b 之一方向相同。其中正确的是（ ） A
（1）（2） B （3）（
4） C （1）（4） D （2）（3）
M
B
A
B
C
D
C
