--全矩阵环的一类基

1 全矩阵环的一类基

摘要：1994年，Hochwald对矩阵代数上的可乘映射问题进行了探讨，证明了：

定理A（Hochwald） 若f:nnnnPP是一个保谱的可乘映射，则存在一个可逆矩阵nnTP，使得

1()fATAT，nnAP．

2004年，程美玉等将Hochwald定理中的“保谱”条件弱化为“保迹”，得到了同样的结果.

本文利用他们的结果证明了：

定理１ 设P是一个域，ijF（,1,2,,ijnL）是全矩阵环nnP中2n个nn矩阵，且满足ijkljkilFFF，（,,,1,2,,ijklnL）， 其中1,0,ijijij为Kronecker符号．则或者所有ijF（,1,2,,ijnL）全为零，或者存在可逆矩阵TnnP，使得1ijijFTET，,1,2,,ijnL，其中ijE表示(,)ij位置是1，其余位置是0的矩阵．

关键词：全矩阵环；基；可乘映射；保迹；保谱

A kind of basis of entire matrix rings

CHENG Zhi-sheng

(Department of mathematics,Xiaogan Universty, Xiaogan,Hubei 432100,China)

Abstract： In 1994 Hochwald discuss the question of multiplicative maps on matrix

algebra and had proved theorem A:

If f：nnnnPP is a multiplicative map which preserve spectral,then there 2 exists a invertible matrix nnTP make

()fA=1TAT，nnAP.

In 2004 Cheng meiyu weaken the condition of preserve spectral and get the same

conclusion.

we use their conclusions to prove theorem 1 .

Let P is a field and there are 2nmatrixs ijFnnP1,2,inL satisfy

ijkljkijFFF，the Kronecker sign 1,0,ijijij．ijF either all are zero matrixs or

there exists a invertible matrix TnnP make ijF1ijTET,(1,2,,)inL,among which

sign ijE represents a matrix which element lie in ,ij is one and others are zero.

Key words：entire matrix rings;; basis; multiplicative maps ; preserve spectral; preserve

track.

0 引言与主要结果

1994年，Hochwald在文献[1]中对矩阵代数上的可乘映射问题进行了探讨，证明了：

定理A [1] 若f:nnnnPP是一个保谱的可乘映射，则存在一个可逆矩阵

TnnP，使得

1()fATAT，nnAP．

2004年程美玉、李兴华将Hochwald定理中“保谱”条件弱化为“保迹”，证明了

定理Ｂ[２] 设P是一个域，nA是一个乘法半群且满足|,1,2,,ijaEijnL

nnnAP，aP，其中nnP是定义在P上的所有nn矩阵组成的乘法半群．若

f:nnnAP是一个保迹可乘映射，则存在一个可逆矩阵nnTP，使得

1()fATAT，nAA ．

本文利用文献[1]、[2]的结论，得到了全矩阵环的一类基及其关系，我们的 3 主要结果是：

定理1 设P是一个域，ijF（,1,2,,ijnL）是全矩阵环nnP中2n个矩阵，且满足

ijkljkilFFF，这里jk是Kronecker符号.

则或者ijF全为零，或者存在可逆矩阵TnnP，使得1ijijFTET，,1,2,,ijnL，

其中ijE表示(,)ij位置是1，其余位置是0的矩阵．

1 预备知识

本文用nnP表示域P上的全矩阵环，用trA是A的迹．用12,,,neeeL表示标准单位列向量，其中1(1,0,,0)'eL,2(0,1,,0)'eL,,L(0,0,,1)'neL，用ij表示Kronecker符号，它定义为1,0,ijijij．

定义1[1,2] 一个映射f:nnnnPP称为一个乘法映射（或称f保持乘法）．如果()()()fABfAfB，,ABnnP．

定义2[1,2] 一个乘法映射:nnnnPP被称为是保谱的，若

Spec(())Spec()AA.

其中Spec()A是A的所有的特征值的集合．

定义3[2] 一个乘法映射:nnnnPP是一个保迹的乘法映射，若

()trAtrA．

定义4 称A为幂零矩阵，如果0kA，kN，nnAP．

引理1 全矩阵环的一组基ijE(,1,2,,)ijnL满足ijkljkilEEE，这里jk表示Kronecker符号．

证明 当jk时,(')(')1'ijjlijjlililEEeeeeeeE.

当jk时,(')(')(')'0'0.ijklijklijklilEEeeeeeeeeee 4 下面给出引理1的逆命题：

引理2 设有2n个nn矩阵ijFnnP,(,1,2,,)ijnL，满足

ijkljkilFFF (1)

则所有ijF (,1,2,,)ijnL或者全为零，或者全不为零．

证明 若存在某0stF (,stN)，则对,1,2,,ijnL，有

00.ijissttjistjFFFFFF

证毕．

引理3 满足1的非零矩阵ijF(,1,2,,)ijnL是nnP的一组基．

证明 若110.nnijijijkF,ijkR,1,2,,.ijnL (2)

2式两边同时左乘ssF,右乘ttF得

110.nnijssijttijkFFF,1,2,,.stnL (3)

当,,ijst时，有0.ssijttFFF

因此(3)式等价于0.ststkF即0.stk

证毕．

引理4 满足（1）的1122,,,nnFFFL是nnP中n个彼此正交的非零幂等矩阵．

证明 由（1）得iiiiiiFFF，即2iiiiFF；当ij时，0iijjFF，即得

1122,,,nnFFFL是nnP中n个彼此正交的非零幂等矩阵．

引理5 幂零矩阵A的特征值全为零.

证明 设为A的任意特征值,为A的属于的特征向量，即A，则

0kkA（0），即得0.

证毕.

引理6 ().ijijtrF 5 证明 当ij时,由于1122,,nnFFFL是nnP中n个彼此正交的非零幂等矩阵,根据文献[2]中的引理2ii,可逆矩阵TnnP,使得1.iiiiTFTE1,2,.inL

从而

()()1iiiitrFtrE

当ij时,由于20ijijijFFF,因此ijF是幂零矩阵,根据引理5,有

0000iitrFL.

故

()ijijtrF

证毕.

2 定理的证明

在证明定理1之前，我们首先构造映射

:nnnnPP

Aa11nnijijijaF

其中ijaP,ijF满足条件1

下面我们逐步证明所具有的性质：

引理7 是nnnnPP上的乘法映射.

证明 Aijnna,nnPijnnBb,nnP有111.nnnikkjijijkABabF

而 1111nnnnijijijijijijABaFbF

111.nnnikkjijijkabF

故 ABAB. 6 证毕.

引理8 是保迹的.

证明 Aijnna,nnP11nnijijijtrAtraF11nnijijijatrF.

由于引理6知： 1niiitrAatrA.

从而 trAtrA.

引理[2]9 若是乘法映射,并且保迹，则存在可逆矩阵T,使得

1.ATAT

定理１的证明

构造上述映射,由引理[2]9得,存在可逆矩阵T,使得1.ATAT

即

11nnijijijaF 1111nnijijijTATTaET

故

1ijijFTET．

致谢 毕业论文终于顺利完成了，在此，要特别感谢我的指导老师—胡付高副教授给予我的大力支持与悉心指导！

7 [参考文献]

[1] Hochwald S H．Multiplicative maps on matrices that preserve the spectrum[J]．Lin. Alg.

Appl. ,1994 ,212/ 213 :339-351

[2] 程美玉,李兴华.保持矩阵迹的乘法映射[J].数学杂志,2004,24(1) :46

[3] Beasley L B,Pullman N L.Linear operators preserving idempotent matrices over field[J].

Lin.Alg.Appl.1991,146:7-20

[4] 李强,曹重光.反对称矩阵空间行列式保持映射[J].黑龙江大学自然科学学报,2005,

22(1):86-88

[5] 安桂梅,侯晋川.反对称矩阵空间行列式保迹映射[J].山西师范大学学报(自然科学版),

2002,16(1):1-4

[6] 曹重光,张显.幂保持加法映射[J].数学进展,2004,33(1):103-109

[7] 曹重光,张显.保特征2的域上幂等矩阵的线性算子[J].数学研究与评论, 1996,

16(1);147-149

[8] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京:高等教育出版社,2000