一 几何与函数问题的参考答案

几何与函数问题的参考答案

【典型例题】

【例1】（上海市）（1）取AB中点H，联结MH，

MQ为DE的中点，MHBE∥，1()2MHBEAD．

又ABBEQ，MHAB．

12ABMSABMHg△，得12(0)2yxx；

（2）由已知得22(4)2DEx．

Q以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，

1122MHABDE，即2211(4)2(4)222xx．

解得43x，即线段BE的长为43；

（3）由已知，以AND，，为顶点的三角形与BME△相似，

又易证得DAMEBM．

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADNBEM；②ADBBME．

①当ADNBEM时，ADBEQ∥，ADNDBE．DBEBEM．

DBDE，易得2BEAD．得8BE；

②当ADBBME时，ADBEQ∥，ADBDBE．

DBEBME．又BEDMEB，BEDMEB△∽△．

DEBEBEEM，即2BEEMDEg，得2222212(4)2(4)2xxxg．

解得12x，210x（舍去）．即线段BE的长为2．

综上所述，所求线段BE的长为8或2．

【例2】（山东青岛）（1）在Rt△ABC中，522ACBCAB，

由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，

若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，

∴ACAQABAP，∴5542tt，∴710t．

（2）过点P作PH⊥AC于H．

∵△APH ∽△ABC， 图① B

A Q P

C H ∴BCPHABAP，∴3PH55t，∴tPH533，

∴ttttPHAQy353)533(221212．

（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．

∴)24(32)5(tttt， 解得：1t．

若PQ把△ABC面积平分，则ABCAPQSS21， 即－253t＋3t=3．

∵ t=1代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．

（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，

若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．

∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．

∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．

∴ABBPACPN， ∴54tPN，

∴54tPN， ∴54tCMQM，

∴425454ttt，解得：910t．

∴当910t时，四边形PQP ′ C 是菱形．

此时37533tPM， 9854tCM，

在Rt△PMC中，9505816494922CMPMPC，

∴菱形PQP ′ C边长为9505．

【例3】（山东德州）（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

∴ △AMN ∽ △ABC．

∴ AMANABAC，即43xAN．

∴ AN＝43x．

∴ S=2133248MNPAMNSSxxx．（0＜x＜4）

（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =21MN． P ′ B

A Q P

C

图② M N 在Rt△ABC中，BC ＝22ABAC=5．

由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

∴ AMMNABBC，即45xMN．

∴ 54MNx，

∴ 58ODx．过M点作MQ⊥BC 于Q，则58MQODx．

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴ △BMQ∽△BCA．

∴ BMQMBCAC．

∴ 55258324xBMx，25424ABBMMAxx．

∴ x＝4996．

∴当x＝4996时，⊙O与直线BC相切．

（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴ △AMO ∽ △ABP．

∴ 12AMAOABAP． AM＝MB＝2．

故以下分两种情况讨论：

① 当0＜x≤2时，2Δ83xSyPMN．

∴ 当x＝2时，2332.82y最大

② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形，

∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC，

∴ 四边形MBFN是平行四边形．

∴ FN＝BM＝4－x． A

B C M N

D

图（ 2） O

Q

A

B C M N

P

图 （ 4） O

E F A

B C M N

P

图 （3） O A

B C M N

P

图 （1） O ∴ 424PFxxx．

又△PEF ∽ △ACB．

∴ 2PEFABCSPFABS．∴ 2322PEFSx．

MNPPEFySS＝222339266828xxxx．

当2＜x＜4时，29668yxx298283x．

∴ 当83x时，满足2＜x＜4，2y最大．

综上所述，当83x时，y值最大，最大值是2．

【例3】（山东德州）（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

∴ △AMN ∽ △ABC．

∴ AMANABAC，即43xAN．

∴ AN＝43x．

∴ S=2133248MNPAMNSSxxx．（0＜x＜4）

（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =21MN．

在Rt△ABC中，BC ＝22ABAC=5．

由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

∴ AMMNABBC，即45xMN．

∴ 54MNx，

∴ 58ODx．过M点作MQ⊥BC 于Q，则58MQODx．

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴ △BMQ∽△BCA．

∴ BMQMBCAC．

∴ 55258324xBMx，25424ABBMMAxx． ∴ x＝4996． A

B C M N

D

图（ 2） O

Q

A

B C M N

P

图 （1） O ∴ 当x＝4996时，⊙O与直线BC相切．

（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴ △AMO ∽ △ABP．

∴ 12AMAOABAP． AM＝MB＝2．

故以下分两种情况讨论：

① 当0＜x≤2时，2Δ83xSyPMN．

∴ 当x＝2时，2332.82y最大

② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形，

∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC，

∴ 四边形MBFN是平行四边形．

∴ FN＝BM＝4－x．

∴ 424PFxxx．

又△PEF ∽ △ACB．

∴ 2PEFABCSPFABS．∴ 2322PEFSx．

MNPPEFySS＝222339266828xxxx．

当2＜x＜4时，29668yxx298283x．

∴ 当83x时，满足2＜x＜4，2y最大．

综上所述，当83x时，y值最大，最大值是2．

【学力训练】

1、（山东威海）（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．

∵ AB∥CD，

∴ DG＝CH，DG∥CH． A

B C M N

P

图 （ 4） O

E F A

B C M N

P

图 （3） O ∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．

∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，

∴ △AGD≌△BHC（HL）．

∴ AG＝BH＝2172GHAB＝3．

∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5，

∴ DG＝4．

∴ 174162ABCDS梯形．

（2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，

∴ ME＝NF，ME∥NF．

∴ 四边形MEFN为矩形．

∵ AB∥CD，AD＝BC，

∴ ∠A＝∠B．

∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，

∴ △MEA≌△NFB（AAS）．

∴ AE＝BF．

设AE＝x，则EF＝7－2x．

∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，

∴ △MEA∽△DGA．

∴ DGMEAGAE．∴ ME＝x34．

∴ 6494738)2(7342xxxEFMESMEFN矩形．

当x＝47时，ME＝37＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为649．

（3）能．

由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝x34．

若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF．

即 34x7－2x．解，得 1021x．

∴ EF＝21147272105x＜4． C D

A B E F N M

G H

C D

A B E F N M

G H