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1 北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结
第一章 证明（二）
一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。
（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。
（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。
二、等腰三角形
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2b
④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2180A
2、等腰三角形的判定
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.
三、等边三角形
性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）三线合一
判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形
（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、直角三角形
（一）、直角三角形的性质
北师大版初中数学九年级上（初三数学上）课件PPT配套教案
第1章 特殊平行四边形矩形（基础阶段）
第1部分 矩形
【学习目标】
1. 理解矩形的概念.
2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.
【要点梳理】
要点一、矩形的定义
有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
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北师大版初中数学九年级上册教材分析
一、教材总体思路分析
1．本册书的主要内容有：一元二次方程、反比例函数；《证明（二）》、《证明（三）》、视图与投影；频率与概率。
一元二次方程式刻画现实世界的一个重要数学模型，是第三学段的核心内容之一。通过该内容的学习，让学生进一步领会“方程”的数学意义。在具体情境中寻求方程的近似解，以及求根公式的导出和对其形成的认知，可以帮助学生认识解方程的思想、方法，同时，也加深对“实数”的再认识，重视对估算意识和能力的培养。这对二次函数的研究也做了必要的铺垫。
反比例函数的建立过程，可以使学生再次体验“函数”的形成过程----概括原型的本质属性、抽象出函数的表达式，以及讨论图象的性质，进一步加深对函数概念的理解。
《证明（二）》、《证明（三）》的学习，可以使学生在原有基础上加强逻辑推理的训练，了解相关几何结论之间的逻辑关系，进一步感受公理化思想和演绎推理的意义与价值，增强科学理性精神，提高准确表达论证过程的技能。
《视图与投影》内容贴近生活经验，可以使学生在了解有关几何体的不同视图、以及学习投影有关知识的过程中，直接感受到“数学化”的主要历程，提高把握空间的能力，发展空间观念。
《频率与概率》进一步通过有趣的实例、操作活动考察事件发生的频率与概率的关系，让学生进一步领会随机性中隐含着一定的规律性，切实感受这些不确定现象背后存在的规律性和随机性，加深学生对概率的理解。
2．教材设计与内容组织的考虑
（1）“一元二次方程”是在问题解决过程中概括抽象得到的，利用“夹逼”的方法估算问题的近似解，所用方法体现了近似计算的重要思想。这种方法在研究无理数时曾使用过，不难意识到二次方程的讨论是在实数范围内进行的。
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一元二次方程的解法从不含一次项的简单方程入手，容易发现方程有解的条件。通过还原以递进的方式引发配方法，进一步得到方程解得一般共识，直观展示了问题解决的基本思路。把因式分解法作为方程的一种特殊解法，重点放在理解方程解的意义和处理一般方程的“降次思想”。
最新新北师大版九年级数学(上册)知识点汇总
第一章 特殊平行四边形
第二章 一元二次方程
第三章 概率的进一步认识
第四章 图形的相似
第五章 投影与视图
第六章 反比例函数
第一章 特殊平行四边形
1.1菱形的性质与判定
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
※菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴.
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
1.2 矩形的性质与判定
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．.矩形是特殊的平行四边形.
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角.（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）
※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义).
对角线相等的平行四边形是矩形.
四个角都相等的四边形是矩形.
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
1.3 正方形的性质与判定
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形.
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形.
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：
※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形.
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形.
平行四边形 菱形
矩形 正方形 一组邻边相等
一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直平分）
一内角为直角 一邻边相等
或对角线垂直 一个内角为直角
（或对角线相等）
