(T,S)-凸直觉模糊集

第３５卷第３期　２０１４年０６月　大连大掌掌报　ＪｏＵＲＮＡＬ　ｏＦ　ＤＡＬＩＡＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｖ＿０１．３５　ＮＯ．３　Ｊｕｎ．２０１４　

（Ｔ，Ｓ）．凸直觉模糊集　

刘自新，王　森　（大连大学信息工程学院，辽宁大连ｌ１６６２２）　

摘要：在Ｋ．Ａｔａｎａｓｓｏｖ提出的直觉模糊集的概念基础上，利用Ｔ．范数和　．范数，定义了（　，　）．凸直觉模糊集，（　，　）　一直觉模糊子空间和（　，　）一直觉模糊仿射集，并讨论了（　，　）－凸直觉模糊集的一些性质，（　，　）一直觉模糊子空间和　ｆ　。　１．直觉模糊仿射集之间的关系。　关键词：７１范数；Ｓ范数；直觉模糊集；直觉模糊子空间　中图分类号：０１５９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８．２３９５（２０１４）０３．０００１．０５　收稿日期：２０１４．０３．１８　基金项目：国家自然科学基金项目（６１１７０２５５）。　作者简介：刘自新（１９６９．），男，博士，副教授，研究方向：模糊优化。　

０引言　三角范数是取值于『０，１］上的二元函数，它首先是　由Ｍｅｎｇｅｒ于１９４２年在研究统计问题时提出的【Ｊ　Ｊ，２０　世纪６０年代，Ｓｃｈｗｅｉｚｅｒ和Ｓｋｌａｒ在研究概率度量空　间时也涉及到三角范数和三角余范数的概念【２　】，　１９９８年Ｅ．Ｐ．Ｋｌｅｍｅｎｔ和Ｒ．Ｍｅｓｉａｒ对三角范数的概念进　行了新的阐述，并对其作了较系统的研究【４】。三角范　数理论在概率论、决策论、统计学、博弈论、函数方　程等领域都有着重要的应用价值Ｌ５。６Ｊ。　模糊集和凸模糊集的概念是１９６５年由ＬＡＺａｄｅｈ　首先提出来的【７］，其后一些学者在Ｚａｄｅｈ定义的基础　上进行了扩展研究，１９７１年Ｒｏｓｅｎｆｅｌｄ［８］提出了模糊　群的概念，１　９７９年Ａｎｔｈｏｎｙ和Ｓｈｅｒｗｏｏｄ［９］用　一范数　对模糊群重新进行了定义，此后众多学者又据此得到　了模糊子群的若干性质。１９７７年Ｋａｔｓａｒａｓ和ＬｉｕＬ１　ｕＪ　提出了向量空间的模糊子空间的概念。文献［１１］中用　．范数推广了凸模糊集和模糊子空间的研究成果。　１９８６年Ｋ．Ａｔａｎａｓｓｏｖ［１２］在模糊集定义的基础上，提出　了直觉模糊集的概念，许多学者对直觉模糊集的理论　和应用进行了大量的研究，使直觉模糊集理论得到了　快速的发展。文献［１３，１４１中提出了直觉模糊子空问和　直觉模糊仿射空间的概念，并对有关性质进行了讨论。　本文将文献［１３，１４１中所用的算子进行了推广，用　一　范数和　．范数给出了凸直觉模糊集和直觉模糊子空　间、直觉模糊仿射集的定义，并讨论了它们之间的关　系，所以本文也是对文献［１３—１４］的继续深入和推广。　１　预备知识　

设　Ｖａ，ｂ，ｃ，ｄ∈［０，１］　，　如果映射　Ｔ：［０，１］×［０，１］　［０，１］，　满足条件（１）　Ｔ（ａ，６）＝Ｔ（ｂ，　）；（２）ｒ（ｒ（ａ，６），ｃ）＝Ｔ（ａ，Ｔ（ｂ，ｃ））；　（３）　ａ　ｃ，ｂ　ｄ　Ｔ（ａ，６）　ｒ（ｃ，　）　；　（４）　ｒ（１，　）＝ａ，则称　为　．范数。如果映射　Ｓ：［０，１］×［０，１】　［Ｏ，１】，　满足条件（１）　Ｓ（ａ，６）＝Ｓ（ｂ，口）；（２）Ｓ（Ｓ（ａ，６），ｃ）＝Ｓ（ａ，Ｓ（ｂ，ｃ））；　（３）　ａ　Ｃ，ｂ≤ｄ＝　Ｓ（ａ，６）　Ｓ（ｃ，　）　；　（４）　Ｓ（ａ，０）＝ａ，则称　为　一余范数，或称为　．范数。　显然，ｍｉｎ｛ａ，６｝为最大的　一范数，而ｍａｘ｛ａ，６｝为　最小的　．范数。设Ｎ：［０，１】　ｆＯ，ｌ１且对任意　ａ∈［０，１］，Ⅳ（口）＝１一ａ，则称Ⅳ为［０，１］上的伪补。　在伪补的定义下，如果已知一个　一范数，容易证明　Ｓ（ａ，６）＝１一Ｔ（１一ａ，ｌ—ｂ为‘Ｓｆ一范数，而如果已知　一个　一范数，则Ｔ（ａ，６）＝１一Ｓ（１一ａ，ｌ一６）为　．　范数，称此时的　一范数和　．范数为对偶范数。　集合Ａ＝｛（　，／１　（　））Ｉ　∈Ｘ）称为论域　上的　一个模糊子集【７】，其中　（・）：Ｘ－４［０，１】称为模糊子　集　的隶属函数，在不致误解的情况下，模糊子集　和它的隶属函数　（　）将不加区分，同时模糊子集也　常简称为模糊集。对任意　∈［０，１］，　，Ｙ∈Ｘ，如　果　（／ｔｘ＋（１一　）　）　ｍｉｎ｛／．ｔＡ（　），　（

　）），则称　大连大学掌报　第３５卷　

为凸模糊集；如果　（２ｘ＋（１一　）　）　ｍａｘ　｛／２Ａ（　），，ＵＡ（　）｝，则称　为凹模糊集。设水表示一　个　一范数，模糊集／２：Ｒ　［０，１］称为枣．凸模糊集　¨　，如果对任意Ｘ，Ｙ∈Ｒ　，　∈［０，１］，都有　ｐ（２ｘ＋（１一；Ｏｙ）　（　）木　（　），称Ａ＝（　，／２Ａ，　Ｖ　）为　上的一个直觉模糊集【ｌ　，如果　／２Ａ：Ｘ　［０，１］，　Ｖ　：Ｘ　［０，１］为两个映射且　（　）＋Ｖ　（　）　ｌ，Ｖｘ∈Ｘ。为简便，记直觉模　糊集Ａ＝（／２Ａ，Ｖ　）。论域　上的所有直觉模糊集记　为ＩＦ（Ｘ）。设Ａ∈ＩＦ（Ｘ１，若至少存在一点Ｘ∈Ｘ，　使得１２Ａ（　）＝１，　（．］ｃ）＝０，则称　为正规的直觉　模糊集。设Ａ＝（　，ＶＡ），如果　为　上的凸模糊　集且１，　为　上的凹模糊集，则称　为　上的凸直觉　模糊集【Ｉ引。　

２（Ｔ，　）．凸直党模糊集　

定义２．１　设Ａ＝（　，Ｖ　）∈ＩＦ（Ｘ），Ｔ，Ｓ为对偶范数，　若对Ｖｘ，Ｙ∈Ｒ　，ｔ∈［０，１］，都有　／２　（ｚ　＋（１一ｔ）ｙ）　Ｔ（／２　（　），　（　）），　（　＋（１一ｔ）ｙ）　Ｓ（ｖ　（　），ＶＡ（　）），　则称　为（　，．Ｓｒ）．凸直觉模糊集。　特别地，如果Ｓ＝Ｖ，Ｔ＝八，则称　为（八，ｖ）　．凸直觉模糊集。　显然，（八，ｖ）一凸直觉模糊集一定是　，　）　凸直　觉模糊集。　上每个正规的（　，　）．凸直觉模糊集都是　（八，ｖ）．凸直觉模糊集。　定理２．１　对两个（　，　）．凸直觉模糊集Ａ，Ｂ，定义　（　（　，　），Ｓ（ｖ　，Ｖ　））为：　（　，　）（　）＝　（　（　），　（　）），　Ｓ（ｖ　，ＶＢ）（　）＝Ｓ（ｖ　（　），　（　）），　则（Ｔ（／２　，　），Ｓ（ｖＡ，　））为（　，　）一凸直觉模糊　集。　证明：　对Ｖｘ，Ｙ∈Ｒ　，ｔ∈【０，１］，　（　，　）（　）＝　（　（　），　（ｘ））　Ｔ（１一ＶＡ（　），１一ＶＢ（　））　＝１一Ｓ（ｖ　（　），Ｖ　（　））＝１一Ｓ（ｖ　，Ｖ日）（　）　所以，Ｔ（／２　，　Ｂ）（　）＋．Ｓｒ（　，ＶＢ）（　）　ｌ　（　，／２￣）（ｔｘ＋（１一ｔ）ｙ）＝　（　（　＋（１一ｆ）　），　（ｔｘ＋（１一ｆ）　））　Ｔ（Ｔ（ｐ　（　），ＰＡ　ＣＹ）），Ｔ（／．ｔ　（　），　（　）））　＝Ｔ（１２　（．）ｃ），Ｔ（ｐ　（　），Ｔ（ｐ　（　），ｆｉＢ（Ｙ）））　＝Ｔ（ａ　（　），Ｔ（Ｔ（ｐ　（　），　（　）），／２　（　）））　＝Ｔ（ａ　（　），　（　（　（　），　（　）），　（　）））　＝Ｔ（／２　（　），Ｔ（ｐ　（　），　（　（　），　（　）））　＝Ｔ（Ｔ（ｐ　），／２　（　），ｒ（／２　（　），／２口（　）））　＝Ｔ（Ｔ（ａＡ，　）（　），　（　，　）（　）））　Ｓ（ｖＡ，　）（　＋（１一ｔ）ｙ）＝Ｓ（ｖ　（　＋（１一ｆ）　），　Ｖ日（ｔｘ＋（１一ｆ）　））　‘ＳＩ（．ＳＩ（　（　），Ｖ　（　）），Ｓ（ｖ口（　），Ｖ　（　）））　＝Ｓ（ｖ　（　），Ｓ（ｖ　（　），　（　（．］ｃ），Ｖ　（　）））　＝Ｓ（ｖ　（　），ｓ（ｓ（ｖ　（　），　（　）），Ｖ　（　）））　＝Ｓ（ｖ　（　），ｓ（ｓ（ｖ　（　），　（　）），Ｖ　（　）））　＝Ｓ（ｖ　（　），　（　（　），Ｓ（ｖ　（　），　（　）））　＝ｓ（ｓ（ｖ　（ｘ），Ｖ　（　），Ｓ（ｖ　（　），　（　）））　＝ｓ（ｓ（ｖ　，　）（　），Ｓ（ｖ　，　）（　）））　定理２．２　假设（　，　），１　ｆ　ｎ是尺上（　，　）一凸直觉模　糊集序列，　（Ｘｌ，…，Ｘｎ）∈Ｒ　，　定义　（　，　）：Ｒ　［０，１］×［０，１］为　（　，　）（　，…，Ｘｎ）＝（　（　，…，Ｘｎ），ｊ２（ｘ￣，…，　））　＝（Ｔ（／２１（Ｘ１），…，　（　）），Ｓ（ｖ　（　），…，　（　）））　则（　，　）为尺　上的（　，．Ｓ『）一凸直觉模糊集。　证明：由定理２．１及数学归纳法可证。　定理２－３　对　任何上的（　，　）－凸直觉模糊集序列　｛（　，　））　，定义ＡｉｌＪｉ（ｘ）＝　ｉｎ　ｆ．｛／２，（ｘ）Ｉ　ｉ　ｅ　Ｉ｝，　Ｖｆ　（　）＝ｓｕｐ｛ｖｉ（ｘ）ｌ　ｆ∈Ｉ｝，则（八ｆ　，，Ｖ　）为　∈　（　，　）一凸直觉模糊集。　证明：　设　，Ｙ）∈Ｒ　，ｔ∈［０，１

］。对所有ｉ∈Ｉ，都有　第３期　刘自新等：（Ｔ，Ｓ）－凸直觉模糊集　

（　＋（１一ｔ）ｙ）　Ｔ（／４（ｘ），　（　））　（八ｆ　（　），八　（　））　ｖｉ（ｔｘ＋（１一ｔ）ｙ）≤　（　（　），ｖｉ（Ｙ））　Ｓ（ｖｆ　（　），Ｖ　ｖｉ（ｙ））　由此　八ｆｐ￣（ｔｘ＋（１一ｔ）ｙ）　（八ｆ　（　），八ｆＰｉ（Ｙ））　Ｖ　ｖｉ（ｔｘ＋（１一ｔ）ｙ）　Ｓ（ｖ　（　），Ｖｆｖｉ（Ｙ））　即（八ｆ，ｕｉＥ，，Ｖ　ｖｉ）为（　，　）一凸直觉模糊集。　定理２．４　假设　是一个（　，　）－凸直觉模糊集，　，…，ａ，∈Ｒ　为非负实数有限序列且∑ａ　＝１，则　ｉ＝１　ｇａ（∑　ｘｉ）　Ｔ（／２　（　），…，／２　（　））　ｉ＝１　Ｖ，４（∑　）　Ｓ（ｖ　（　），…，　（　））　１　让明：　当，｜＝１和ｒ＝２时，结论显然成立。　假设ｒ＝ｋ时不等式成立。　令∑　＝ｌ，Ｐ＝∑口　，　

则　ｃ　ｋ＋ｌ口　＝　（　喜　十＋。］则　（∑　Ｉ　∑　十　。　ｌ　

（喜考　］，　＋。　

Ｔ（Ｔ（ｐ　（　），　（ｘ２），…　（　）），／２　（Ｘｋ＋１））　＝Ｔ（ａ　（ｘ１），…，　（ｘ，））　即ｒ＝ｋ＋１时不等式也成立。　同理可证　（∑口　）　Ｓ（ｖ　（　），…，　（　））。　

３　（Ｔ，Ｓ）一直党模糊子空间　

定义３．１　上的一个直觉模糊集　称为（　，　）一直觉模　糊子空间，如果对Ｖｘ，Ｙ∈Ｒ　，Ｖａ，ｂ∈Ｒ，有　（　＋ｂｙ）　Ｔ（／ｕ　（　），　（　））　Ｖ　（ａｘ＋ｂｙ）　Ｓ（ｖ　（　），　（　））　定理３．１　如果一个直觉模糊集　满足下面的条件：　（１）　（ｏ）＝ｓｕｐｐ　（　），　（０）：ｉ　（　），　∈　∈　（２）　（ａｘ）＝　（　），Ｖ　（ａｘ）＝ＶＡ（　），ａ为非零　实数，　（３）　为（　，　）．凸直觉模糊集，　则　为（　，　１．直觉模糊子空间。　如果　为正规的直觉模糊集，则定理的必要性　成立。　证明：　设直觉模糊集　满足条件（１）～（３）。　令　，Ｙ∈Ｒ　，　，ｂ∈Ｒ　，贝０　似　＝　６　（　Ｈ　）］　

（　＋　，　

＝　６　（　＋　］］　

ｆ，　＋　］　‘５ｆ（ｖＡ（Ｈ　Ｊ　‘（　），　（　））。　

因为对　∈Ｒ　，　有，ｕＡ（一　）：／２　（　），　Ｖ　（一　）＝ｖＡ（ｘ），所以上述不等式在口，ｂ∈Ｒ一时也　成立。　同样，当ａ・ｂ＜０时也成立。　如果ａ＝ｂ＝０，我们有　ｐ￣（Ｏｘ＋Ｏｙ）＝／２　（Ｏ）＝ｓｕｐ　（　）　Ｔ（ｐ　（　），　（　））　∈Ｒ　（ｏ　＋ｏ　）＝　（０）＝ｉｎ　（　）　Ｓ（ｖ　（　），　（　））　∈　”　因此　是（　，　）．直觉模糊子空间。　如果　为正规的直觉模糊集，则存在Ｙ’∈Ｒ　，　有／２　（　１）＝１，　（　’）＝０。　条件３是显然的。　在（　，　）一直觉模糊子空间的定义中，令　ｂ＝０，Ｙ＝Ｙ’，有　，ｕＡ（ａｘ）＝　（ａｘ＋Ｏｙ’）　Ｔ（ｐ　（　），，ｔｌＡ（Ｙ’））＝　（　（　），１）＝　（　），　ＶＡ（　）＝　（ａｘ＋Ｏｙ’）　Ｓ（ｖ　（　），ＶＡ（　’））　＝Ｓ（ｖ　（　），０）＝ＶＡ（　），