1 §9.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲解读
考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度
1.直线与圆的位置关系 ①能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;
②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;
③初步了解用代数方法处理几何问题的思想 掌握 2017课标全国Ⅱ,9;
2016课标全国Ⅱ,4;
2016课标全国Ⅲ,16;
2014课标Ⅱ,16 选择题
填空题 ★★☆
2.圆与圆的位置关系
掌握
2015湖北,14;
2013重庆,7 填空题
解答题 ★★☆
分析解读 1.能够根据给定直线和圆的方程,选用代数或几何方法,判断直线和圆、圆与圆的位置关系.2.会根据圆的切线方程、公共弦方程及弦长等有关知识解决有关直线与圆的问题.3.灵活运用数形结合的方法.4.本节在高考中以位置关系、弦长问题为主,分值约为5分,属中档题.
五年高考
考点一 直线与圆的位置关系
1.(2017课标全国Ⅱ,9,5分)若双曲线C:
-
=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )
A.2 B. C. D.
答案 A
2.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
A.-
B.-
C. D.2
答案 A
3.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知直线l:mx+y+3m- =0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2 ,则|CD|= .
答案 4
4.(2014课标Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是 .
答案 [-1,1]
教师用书专用(5—11)
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直线与圆的位置关系
知识集结
知识元
不含有参数的直线与圆位置关系
知识讲解
1．直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断． 2 / 21
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
例题精讲
不含有参数的直线与圆位置关系
例1.
已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是
．
【答案】
5﹣
【解析】
题干解析:设点P（cosu，sinu），P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu），d2=3﹣cosu，∴d1+d2=（10﹣3cosu+4sinu）+3﹣cosu=5+（4sinu﹣8cosu）=5+sin（u﹣t），∴它的最小值=5﹣．故答案为：5﹣．
例2.
点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为 ．
【答案】
【解析】 3 / 21
题干解析:圆心（0，0）到直线x+y﹣2=0的距离d==．再由d﹣r=﹣1，知最小距离为1．故答案为：．
例3.
经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（ ）
A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0
C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=0
【答案】A
【解析】
题干解析:
圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心（1，﹣1），与直线2x﹣y=0平行的直线的斜率为：2，
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法位置关系
几何法
代数法
相交 d0
相切 d＝r Δ＝0
相离 d>r Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．
方法位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|
的实数解
内切 d＝|r1－r2|
(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( )
(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )
(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (教材习题改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1]
B．[－1，3]
C．[－3，1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选C.由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，所以|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1，故选C.
圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为( )
A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0
直线与圆的位置关系(复习课)
【彳见縣哩】
［例1］自点P(—6,7)发出的光线谢到兀轴上的点A
处，被兀轴反射，其反射光线所在直线与Wx2+y2~8x—
6y+21=0相切于点0•求光线?所在直线方程• 题型一 与圆有关的切线问题
［解］如图，作圆X2+J2-8X- 6J+21=0关于x轴的对称圆x2-\-y2—\ +6j+21=0,由几何光学原理，知直
由于/的斜率必存在，故可设直线人y—7=氐（兀+6）,即滋
-y+6E+7=0・
由圆兀$+丿2—8兀+6^+21=0的圆心（4，一3）到直线/的距离 线/与I +j2—8x+6y+21=0 相切.
等于半径，知
故光线/所在直线的方程为3兀+4j-io=0或4兀+3j+3=0.
l4A;+3+6^+7l 10MI+1I
讥2+1 寸疋+1 3 4
解得比=一二或氐=—
［类题通法］
过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法: 111
(1)设切线斜率，用判别式法;
(2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长;
(3)设切点(K，Jo)，用切线公式法.
⑴过A(3,4)的圆C的切线方程;
(2)在两坐标轴上的截距相等的圆C的切线方程.
解：⑴当所求直线的斜率存在时，设过4(3,4)的直线方程为丁
—4=k(jx—3),即 kx—j+4—3&=0,
4
所以切线方程为丿一4=3(兀一3),即4x—3j=0.
当所求直线的斜率不存在时，直线方程为兀=3,也符合题意. 故所求直线方程为4x—3y=0或兀=3. ［对点训练］
(x-2)2+(y-l)2 = l.求:
12/1-1+4-3/11
(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为专+》=1或y=
kx9
解得a=3±\[i,吃=0或疋=：・ 故所求切线方程为兀+丿=3±^血或y = 0或y =|r. 于是由圆心(2,1)到切线距离为1,得 =1或 13—a\
［例2］已知直线/： j = - ^-x+m与圆x2+y2=l在第一象
