高考数学一轮复习 5.5数列的求和名师课件 理

§6.5 数列求和 考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 知识梳理

数列求和的几种常用方法

1．公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．

(1)等差数列的前n项和公式：

Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.

(2)等比数列的前n项和公式：

Sn＝ na1，q＝1，a1－anq1－q＝a11－qn1－q，q≠1.

2．分组求和法与并项求和法

(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

(2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

4．裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

(2)常见的裂项技巧

①1nn＋1＝1n－1n＋1.

②1nn＋2＝121n－1n＋2.

③12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1.

④1n＋n＋1＝n＋1－n. 思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝a1－an＋11－q.( √ )

(2)当n≥2时，1n2－1＝121n－1－1n＋1.( √ )

(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得．

( × )

(4)求数列12n＋2n＋3的前n项和可用分组转化法求和．( √ )

教材改编题

1．数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为( )

第四节数列求和

课标解读考向预测

1.熟练掌握等差、等比数列的前n项

和公式.

2.掌握数列求和的几种常见方法.数列求和是高考考查的重点知识，预计2025年高考会

考查等差、等比数列的前n项和公式以及其他求和公

式，可能与通项公式相结合，也有可能与函数、方程、

不等式等相结合，综合命题，难度适中.

必备知识——强基础数列求和的几种常用方法

1．公式法

(1)等差数列的前n项和公式

①已知等差数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝n（a

1＋a

n）

2；

②已知等差数列的第1项和公差求前n项和Sn＝na

1＋n（n－1）

2d.

(2)等比数列的前n项和公式

当q＝1时，Sn＝na

1；当q≠1时，

①已知等比数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝a1－a

nq

1－q；

②已知等比数列的第1项和公比求前n项和Sn＝a

1（1－qn）

1－q.

2．分组求和法与并项求和法

(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和

法，分别求和后相加减．

(2)形如a

n＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．

3．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

4．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列

的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

5．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么

求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．

1．1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）

2.

2．12＋22＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）

6.

3．裂项求和常用的变形

(1)分式型：1

n（n＋k）

＝1

k1

n

－1n＋k，

1

（2n－1）（2n＋1）

＝1

21

2n－1

－12n＋1，

1

n（n＋1）（n＋2）

＝121

n（n＋1）－

1

（n＋1）（n＋2）等．

1 第四节 数列求和

1．公式法

(1)等差数列的前n项和公式：

Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－2d；

(2)等比数列的前n项和公式：

Sn＝ na1，q＝1，a1－anq1－q＝a1－qn1－q，q≠1.

2．分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

3．裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

(2)裂项时常用的三种变形：

①1nn＋＝1n－1n＋1；

②1n－n＋＝1212n－1－12n＋1；

③1n＋n＋1＝n＋1－n.

4．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．

5．倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．

6．并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 2 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝a1－an＋11－q.( )

(2)当n≥2时，1n2－1＝121n－1－1n＋1.( )

(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( )

(4)如果数列{an}是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm＝mSk.( )．

[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√

2．(教材改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋，则S5等于( )

第43讲 数列的求和

【基础知识回顾】

1．公式法

(1)等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－1d2.

推导方法：倒序相加法．

(2)等比数列{an}的前n项和Sn＝ na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1.

推导方法：乘公比，错位相减法．

(3)一些常见的数列的前n项和：

①1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12；

②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；

③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.

2．几种数列求和的常用方法

(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．

(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．

3、常见的裂项技巧

①1nn＋1＝1n－1n＋1.

②1nn＋2＝121n－1n＋2.

③12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1.

④1n＋n＋1＝n＋1－n. ⑤1nn＋1n＋2＝121nn＋1－1n＋1n＋2.

1、数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为( )

A．－200 B．－100

C．200 D．100

【答案】 D

【解析】 S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.

2、数列na的前n项和为nS，若11nann，则5S等于（ ）