专题04 图形折叠问题(选填题重难点题型)-2018年中考数学重难点题型讲练(原卷版)

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中考指导：近年来，图形折叠问题特别是矩形折叠问题一直是各地中考试题中一道靓丽的风景线.将矩形按不同要求进行折叠可以产生丰富多彩的几何问题.其中，创设开放的折叠情境，使矩形的顶点在折叠后的图形中的落点位置不固定，形成两解类中考压轴填空题的命题形式正悄然兴起. 折叠矩形纸片是轴对称变换，属于全等图形的范畴.可以先从边、角、形三方面思考折叠前后有哪些相等的线段、角和全等三角形，然后联想已知条件，看看又能产生哪些新的结论.这当中，尤其要注意将矩形折叠中产生的角平分线与矩形的两组对边分别平行结合在一起思考，往往会发现等腰三角形.面对折叠后的“静止”图形，你会发现解决这类折叠问题的关键有二点:一是在折叠操作(或“凭空想象”)中，弄清楚各种情况，画出相应状态下的静态图形;二是利用轴对称知识将分散的几何条件(边长)集中到某一个直角三角形中，再设未知数，运用勾股定理构建方程求解.

典型例题解析:

【例1】（2017年内蒙古赤峰二中中考数学二模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，沿着BE将△ABE折叠，点A刚好落在BF上，若AB=2，则AD=________．

【答案】22

【解析】如图，连接EF，

∵点E、点F是AD、DC的中点，

∴AE=ED，CF=DF=12CD=12AB=1，

由折叠的性质可得AE=A′E，

∴A′E=DE，

在Rt△EA′F和Rt△EDF中，

{ EAEDEFEF ，

∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），

∴A′F=DF=1，

2 ∴BF=BA′+A′F=AB+DF=2+1=3，

在Rt△BCF中，

BC=22223122BFCF．

∴AD=BC=22 ．

点睛：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF，证明Rt△EA′F≌Rt△EDF，得出BF的长，再利用勾股定理解答即可．

【例2】（河南省周口市西华县2018届九年级第一次模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为_____．

【答案】或．

【解析】如图1所示；点E与点C′重合时，

在Rt△ABC中，BC==4，

由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE，则EB=2，

设DC=ED=x，则BD=4-x，

在Rt△DBE中，DE2+BE2=DB2，即x2+22=（4-x）2，

解得：x=，

∴DE=；

如图2所示：∠EDB=90时，

3

由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°，

∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，

∴四边形ACDC′为矩形，

又∵AC=AC′，

∴四边形ACDC′为正方形，

∴CD=AC=3，

∴DB=BC-DC=4-3=1，

∵DE∥AC，

∴△BDE∽△BCA，

∴，即，

解得：DE=，

点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，结合题意，正确地进行分类讨论并画出相应的图形是解题的关键.

【例3】（2018年河南省驻马店市实验中学第一次中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝83，AD＝10，点E是CD的中点，将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图②，折痕为MN，连接ME，NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图③，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则下列结论：①ME∥HG；②△MEH是等边三角形；③∠EHG＝∠AMN；④tan∠EHG＝536.其中正确的个数是( )

4

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】C

【解析】解：如图③，由折叠可得，∠MEN=∠A=90°，HG⊥NE，即ME⊥EN，HG⊥EN，∴EM∥GH，故①正确；

∵EM∥GH，∴∠NME=∠NHG，由折叠可得，∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，∴∠AMN=∠EHG，故③正确；

如图2，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x．∵点E是CD的中点，AB=CD=83，∴DE=12CD=43．在Rt△DEM中，∵DM2+DE2=EM2，∴（43）2+x2=（10﹣x）2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4．∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，∴∠DEM=∠ENF．∵∠D=∠EFN=90°，∴△DME∽△FEN，∴DEEMFNEN，即437.410EN，∴EN=3736，∴AN=3736，∴tan∠AMN=ANMN=536，∴tan∠EHG=536，故④正确；

又∵tan60°=3＞536，∴∠AMN≠60°，即∠EMH≠60°，∴△MEH不是等边三角形，故②错误，∴正确的结论有3个．故选C．

点睛：本题属于四边形综合题，主要考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形对应边成比例，求得EN的长度．解决折叠问题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

强化训练

1．（2018年浙江省宁波市鄞州区中考数学模拟）在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为（ ）

A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或6

2．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若

5 BE＝6cm，则CD＝( )

A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm

3．如图,矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果60BAF,则DAE 等于 (

)

A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°

4．（陕西省宝鸡市凤翔县2017-2018学年九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（ ）

A. 12 B. 10 C. 8 D. 6

5．（辽宁省大石桥市水源镇九年一贯制学校2018届九年级下学期月考）如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE=HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④ 235ADAB，其中正确的结论是（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

6．（安徽合肥市2018届初三名校大联考一）如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠，点D落在矩形ABCD内部的点D处,则CD的最小值是

6

A. 2 B. 5 C. 252 D. 252

7．（广东省广州三中2017年中考数学一模）如图，把一矩形纸片OABC放入平面直角坐标系xoy中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，现将纸片OABC沿OB折叠，折叠后点A落在点A'的位置，若OA=1，OB=2，则点A'的坐标为（ ）

A. 1322， B. 1322， C. 3455， D. （ 31，

8．（2018年广东省深圳市中考数学突破模拟二）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（ ）

①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=12AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．

A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②

9．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=4，BC=

6，则FD的长为（ ）

A. 85 B. 4 C. 94 D. 23

10．（2018年湖北省咸宁市咸安区中考数学模拟）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则CFCD的值是（ ）

7

A. 1 B. 12 C. 13 D. 14

11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是（ ）

A. 35 B. 45 C. 12 D. 32

12．如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为43且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（ ）

A. 1 B. 3 C. 2 D. 23

13．（2017年安徽省安庆一中中考数学三模）如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3），按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（ ）

A. 都是等腰梯形 B. 都是等边三角形

C. 两个直角三角形，一个等腰三角形 D. 两个直角三角形，一个等腰梯形

14．如图，将一张三角形纸片折叠，使点落在边上，折痕，得到；再继续将纸片沿的对称轴折叠，依照上述做法，再将折叠，最终得到矩形，若中，和的长分别为和，则矩形的面积为（ ）．

8

A. B. C. D.

15．（山东省临朐县沂山风景区2018届九年级上期末模拟）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分面积是（ ）

A. 5 B. 3 C. 365 D. 185

16．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为________．

A. 3或4 B. 52或10 C. 52或53 D. 25或53

17．（河南省濮阳市2018届九年级第一次模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E为AC，BC上两个动点，若将∠C沿DE折叠，点C的对应点'C恰好落在AB上，且'ADC恰为直角三角形，则此时CD的长为___________.

18．（河北省唐山市路南区2017年中考数学三模）如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则△EB′C的周长为________．