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椭圆大题含答案

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椭圆大题——含答案

1 / 5 1.已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；

2.设椭圆E的方程为222210xyabab，点O为坐标原点，点A的坐标为0a，，点B的坐标为0b，，点M在线段AB上，满足2BMMA，直线OM的斜率为510.

（I）求E的离心率e；

（II）设点C的坐标为0b，，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求 E的方程.

3. 已知椭圆2222+=1(0)xyabab>>的左焦点为(,0)Fc,离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆422+4bxy=截得的线段的长为c，43|FM|=3.

(I)求直线FM的斜率；(II)求椭圆的方程；

椭圆大题——含答案

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4 .已知椭圆:22221xyab（0ab）的半焦距为c，原点到经过两点,0c，0,b的直线的距离为12c．

（I）求椭圆的离心率；

（II）如图，是圆:225212xy的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的

方程．

5．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．

椭圆大题——含答案

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答案

1. 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c=2，则c=，椭圆的离心率e==，则a=，

b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：；

（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3=0，△=（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4，x1+x2=﹣，x1x2=，∴|AB|==，

∴当m=0时，|AB|取最大值，最大值为；

2. 【答案】（I）255；（II）221459xy.

3. 【答案】(I) 33； (II) 22132xy ；

【解析】(I) 由已知有2213ca，又由222abc，可得223ac，222bc， 椭圆大题——含答案

4 / 5 设直线FM的斜率为(0)kk，则直线FM的方程为()ykxc，由已知有

2222221kccbk，解得33k.

(II)由(I)得椭圆方程为2222132xycc，直线FM的方程为()ykxc，两个方程联立，消去y，整理得

223250xcxc，解得53xc或xc，因为点M在第一象限，可得M的坐标为23,3cc，由222343()033FMccc，解得1c，所以椭圆方程为22132xy

4.【答案】（I）32；（II）221123xy．

试题解析：（I）过点,0c，0,b的直线方程为0bxcybc+-=， 则原点到直线的距离22bcbcdabc，

由12dc=，得2222abac==-，解得离心率32ca=.

(II)解法一：由（I）知，椭圆的方程为22244xyb+=. (1)

依题意，圆心2,1是线段的中点，且|AB|10=.

易知，不与x轴垂直，设其直线方程为(2)1ykx=++，代入(1)得

2222(14)8(21)4(21)40kxkkxkb+++++-=

设1122(,y),B(,y),Axx则221212228(21)4(21)4,.1414kkkbxxxxkk++-+=-=-++

由124xx+=-，得28(21)4,14kkk+-=-+解得12k=.从而21282xxb=-.

于是22212121215|AB|1||410(2)22xxxxxxb.

由|AB|10=，得210(2)10b-=，解得23b=.故椭圆的方程为221123xy+=.

解法二：由（I）知，椭圆的方程为22244xyb+=. (2) 椭圆大题——含答案

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5. 【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），

∴x1+x2=2，y1+y2=2m将A，B代入椭圆C：+=1中，可得，

两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，∴k==﹣=﹣

点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴．

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2

∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，∴x3=1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．

则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，

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完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)

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A组基础过关

1.选择题

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于多少？

A。2

B。2/3

C。1/2

D。1/3

解析：由题意得2a=2b，所以a=b，又a²=b²+c²，所以b=c，所以a=2c，e=c/a=1/2，答案为C。

2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是什么？

A。(x²/81)+(y²/72)=1

B。(x²/81)+(y²/9)=1

C。(x²/81)+(y²/45)=1 D。(x²/81)+(y²/36)=1

解析：依题意知2a=18，所以a=9，2c=3×2a，所以c=3，所以b=a-c=81-9=72，所以椭圆方程为(x²/81)+(y²/72)=1，答案为A。

3.椭圆x²+4y²=1的离心率是多少？

A。2/3

B。2

C。1/2

D。3

解析：先将x²+4y²=1化为标准方程，得(x/1)²+(y/(1/2))²=1，所以a=1，b=1/2，所以c=√(a²-b²)=√(3)/2，所以e=c/a=√(3)/2，答案为A。

2.解答题

1.设F₁、F₂分别是椭圆4x²+y²=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF₁⊥PF₂，则点P的横坐标为多少？ 解析：由题意知，点P即为圆x²+y²=3与椭圆4x²+y²=1在第一象限的交点，解方程组x²+y²=3和4x²+y²=1，得点P的横坐标为√(2/3)，答案为√(2/3)。

2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程是什么？

解析：依题意设椭圆G的方程为a²x²+b²y²=1(a>b>0)，因为椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以2a=12，所以a=6，又因为椭圆的离心率为2，所以c=a/2=3，所以b=√(a²-c²)=3√5，所以椭圆G的方程为36x²+45y²=1，答案为C。

椭圆练习题答案

椭圆练习题答案

椭圆练习题答案

1. 题目：已知椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，求椭圆的焦点距离。

答案：椭圆的焦点距离为 \(2c\)，其中 \(c = \sqrt{a^2 -

b^2}\)。

2. 题目：若椭圆的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =

1\)，且 \(a = 5\)，\(b = 3\)，求椭圆的方程。

答案：椭圆的方程为 \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)。

3. 题目：椭圆上一点P(x,y)到焦点F的距离与到长轴端点的距离之比为常数e，求证P点的轨迹是椭圆。

答案：设椭圆的长轴端点为A和B，根据椭圆的定义，点P到焦点F的距离与到长轴端点的距离之比等于离心率e，即

\(\frac{|PF|}{|PA|} = e\)。根据椭圆的性质，可以证明P点的轨迹满足椭圆方程。

4. 题目：已知椭圆的离心率为 \(\frac{1}{2}\)，求椭圆的焦点距离与长轴长度的关系。

答案：已知离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)，则焦点距离 \(2c = a\)。

5. 题目：椭圆上一点P(x,y)与原点O(0,0)连线的斜率为

\(\frac{y}{x}\)，求点P的轨迹方程。

答案：设点P的坐标为 \((x, y)\)，则 \(\frac{y}{x} = k\)，即 \(y = kx\)。将 \(y = kx\) 代入椭圆方程 \(\frac{x^2}{a^2} +

\frac{y^2}{b^2} = 1\)，得到点P的轨迹方程。

6. 题目：椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的中心坐标。 答案：椭圆的中心坐标为原点 \((0, 0)\)。

7. 题目：已知椭圆的方程为 \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} =

1\)，求椭圆的面积。

椭圆专题习题含答案

椭圆专题习题含答案

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椭圆专题

⼀．椭圆的定义与性质1.设F 1（﹣4，0）、F 2（4，0）为定点，动点M 满⾜|MF 1|+|MF 2|=8，则动点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线

C ．圆

D ．线段

2.如果程表⽰焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值围是（ ） A ．3＜m ＜4

B ．

C ．

D ．

3.椭圆C ：4x 2+y 2=16的长轴长，短轴长，焦点坐标依次为（ ） A ． B ．

C ．

D ．

4.已知焦点在y 轴上的椭圆的焦距为，则a=（ ）

A ．8

B ．12

C ．16

D ．52

5.椭圆的焦距是2，则m 的值是（ ）

A ．9

B ．12或4

C ．9或7

D ．20

6.已知焦点在y 轴上的椭圆的离⼼率为，则实数m 等于（ ）

A ．3

B ．

C ．5

D ．

7.程

+

=1表⽰椭圆，则k 的取值围是 ．

⼆．椭圆的标准程（待定系数法）：定位（确定焦点的位置），定量（求出a,b ） 焦点在x 轴 焦点在y 轴 知椭圆过两点求椭圆程：设 、代点，解程组。

知焦点（焦距）和椭圆经过某⼀点求椭圆程：待定系数法、定义法。)0(122

22>>=+b a b y

a x )0(12222>>=+

b a b x a

y )0,0,(12

2>>≠=+n m n m ny mx

1.椭圆（a ＞b ＞0）的⼀个焦点为（3，0），点（﹣3，2）在椭圆上，

则该椭圆的程为（ ） A ． B ．C ．

D ．

2.已知椭圆C ：

=1（a ＞b ＞0）的离⼼率为，且椭圆C 的长轴长与焦距

之和为6，则椭圆C 的标准程为（ ） A ．=1 B ．

C ．

=1 D ．

3.求符合下列条件的椭圆的标准程： (1)过点的椭圆 (2)过点(-3,2)且与

有相同的焦点；(3)焦点在轴上，，且过点；(4)焦距为6，.

三．求离⼼率：直接法，程法21()(01)

c b

e e a a

==-<<

1.椭圆的离⼼率为（）

A. B. C.2 D.4

2.椭圆6x2＋y2＝6的离⼼率为（）

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试 卷

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第1页 / 共9页 让优秀成为一种习惯椭圆基础训练题

题目：1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x轴上，则此椭圆的标准

方程是（ ）

（A）＋＝1（B）＋＝1 （C）＋＝1 （D）＋＝1

5x2

3y2

25x2

9y2

3x2

5y2

9x2

25y2

答案：B

题目：2．椭圆＋＝1的两条准线间的距离是（ ）

5x2

4y2

（A） （B）10 （C）15 （D）

52

350

答案：B

题目：3．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）

（A）（B）（C）（D）

21

22

23

33

答案：B

题目：4．椭圆＋＝1上有一点P，它到右准线的距离是，那么P点到左准线的距离

25x2

9y2

49

是（ ）。

（A） （B） （C） （D）

59

516

441

541

答案：D

题目：5．已知椭圆x2

＋2y2

＝m，则下列与m无关的是（ ）

（A）焦点坐标 （B）准线方程 （C）焦距 （D）离心率

答案：D

题目：6．椭圆mx2

＋y2

＝1的离心率是，则它的长半轴的长是（ ）

23

（A）1 （B）1或2 （C）2 （D）或1

21

答案：B

题目：7．椭圆的中心为O，左焦点为F

1，P是椭圆上一点，已知△PF

1O为正三角形，则P

点到右准线的距离与长半轴的长之比是（ ）

（A）－1 （B）3－ （C） （D）1333

答案：C

题目：8．若椭圆=1的准线平行于y轴，则m的取值范围是 。

my

12m3x22

答案：－3

试 卷

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第2页 / 共9页 让优秀成为一种习惯题目：9．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标

准方程是 。

答案：＋y2=1

9x2

题目：10. 椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例