最新高考数学一轮复习92-93极限-数列的极限、数学归纳法汇总

学科：数学教学内容：数列、极限、数学归纳法(上)【考点梳理】一、考试内容1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。

2.等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。

3.数列的极限及其四则运算。

4.数学归纳法及其应用。

二、考试要求1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。

2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。

3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。

4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。

5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。

三、考点简析1.数列及相关知识关系表2.作用地位（1）数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函数。

对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。

等比数列可看作自然数n的“指数函数”。

因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。

（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。

另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法，同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定的作用。

（3）数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种数学思想。

学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。

极限知识要点1.⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立.⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立；②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立.2.⑴数列极限的表示方法：①a a n n =∞→lim ；②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限：①C C n =∞→lim （C 为常数）； ②),(01lim 是常数k N k n k n ∈=∞→； ③对于任意实常数，当1|| a 时，0lim =∞→nn a ；当1=a 时，若a=1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在；当1 a 时，n n a ∞→lim 不存在. ⑶数列极限的四则运算法则：如果b b a a b n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞→)(lim ；②b a b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim ；③)0(lim ≠=∞→b b a b a n n n ④Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim . 3.函数极限；⑴当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a .记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(. 注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否定义无关，因为0x x →并不要求0x x =.⑵函数极限的四则运算法则：如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00，那么 ①b a x g x f x x ±=±→))()((lim 0；②b a x g x f x x ⋅=⋅→))()((lim 0；③)0()()(lim 0≠=→b b a x g x f x x 特别地，如果C 是常数，那么)(lim ))((lim 00x f C x f C x x x x →→=⋅；n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 00→→=（+∈N n ） 注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限：①01lim =∞→xn ；②0lim =+∞→x x a （0＜a ＜1）；0l i m =-∞→x x a （a ＞1）； ③1sin lim 0=→x x x 1sin lim 0=⇒→x x x ；④e xx x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim （71828183.2=e ） 4.函数的连续性：⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点0x x =连续，那么函数)0)(()()(),()(),()(≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 在点0x x =处都连续.⑵函数f （x ）在点0x x =处连续必须满足三个条件：①函数f （x ）在点0x x =处有定义；②)(lim 0x f x x →存在；③函数f （x ）在点0x x =处的极限值等于该点的函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→. 5.零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()( b f a f ⋅.那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf .⑵介值定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）.⑶夹逼定理：设当δ ||00x x -时，有)(x g ≤)(x f ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00，则必有.)(lim 0A x f x x =→ 注：||0x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零.（ξ为最小整数）6．几个常用极限： ①1,0lim q q nn =+∞→；②)0(0!lim a n a n n =+∞→；③k a a n n k n ,1(0lim =+∞→为常数） ④0ln lim =+∞→n n n ；⑤k n n k n ,0(0)(ln lim εε=+∞→为常数）． 练习：1. 计算：112323lim -+∞→+-n n nn n =_________。

极限与数学归纳法教学目标（1）理解直观描述的数列极限的意义，掌握数列极限的四则运算法则，会求无穷等比数列各项的和。

（2）知道数学归纳法的基本原理，掌握数学归纳法的一般步骤，并会用于证明与正整数有关的简单命题和整除性问题。

知识梳理一、数列的极限：1.极限的概念和运算法则数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a ，那么就说数列{a n }以a 为极限. 数列极限的运算法则：如果Aa n n =∞→lim ，Bb n n =∞→lim .则① ()B A b a n n n +=+∞→lim .② ()AB b a n n n =∞→lim .③ ()0,0lim≠≠=∞→B b B Ab a n n n n .（注意：和与积中包含的数列个数必须是有限的，另外这些运算法则逆命题并不一定成立，例如，若已知()nnn b a ∞→lim存在，nn a ∞→lim ，nn b ∞→lim 不一定存在，可以进行这样的改编，让学生自行判断和举反例。

） 2.基本数列极限①为常数）；C C C n (lim =∞→ ②）；*(01limN n n n ∈=∞→ ③）；1|(|0lim <=∞→q q n n而对于nn qlim ∞→，当1=q 时，1lim =∞→nn q；当1||>q 或1-=q 时，nn qlim ∞→极限不存在。

3.无穷等比数列各项和当公比1||0<<q 时,无穷等比数列ΛΛn a a a a ,,,321的各项和为:）；1||0(11lim <<-==∞→q q a S S n n（可以让学生解释各项和怎么由前n 项和公式演变而来，注意适用范围及两者区别） 4.常见的数列极限可以归纳为两大类:第一类是两个关于自然数n 的多项式的商的极限:)0,0,,(.0;,*01110111lim ≠≠∈⎪⎩⎪⎨⎧>==++++++++----∞→l k l l l l k k k k n b a N l k k l k l b ab n b n b n b a n a n a n a 时，当时当ΛΛ当l k >时,上述极限不存在.第二类是关于n 的指数式的极限:⎩⎨⎧=<=∞→时，当时；当111||,0lim q q q nn 当1||>q 或1-=q 时,上述极限不存在（注意：求极限时，把常数项提到极限记号外面可以使运算变得很简洁。

第十二讲：数学归纳法与数列的极限知识小结：1,,,(1)(12,);()(2)(1,2,),1;()(3)(1)(2)*,.n n n k k n k n N ===≥=+∈、数学归纳法用于证明一些与正整数有关的命题即通过对有限个正整数证明命题成立推广到对一切正整数命题都成立的思想方法主要步骤为证明起始命题成立即或命题成立这是证明的基础假设时命题成立由假设条件推出当时命题成立这是递推的关键由、可知对于命题均成立注意数学归纳法的证明格式！数学归纳法的原理2(2),,1.3,.,,.n k n k ==+就像多米勒骨牌！、证题的关键在于用好归纳假设在一般的情况下，由假设时命题成立为出发点推出命题成立即可、数学归纳法在证明过程中要用到许多数学知识综合性较强有时在解决问题时需要先通过归纳得出结论再用数学归纳法证明那么要求能正确地归纳4.数列的极限：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列{}n a 中的项无限趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，或叫做数列{}n a 收敛于A ，记作lim n n a A →∞=。

注意点：1）只有无穷数列，当n 趋近于无穷大时，n a 无限趋近于某一常数；2）对于数列{}n a ，当n 无穷增大时，n a 无限趋近于某一定值时c ，是通过n a c -无限趋近于零来描述的。

这里n a c -无限趋近于零，是指不论取一个值多么小的正数（可以任意给定），总可以通过取n 充分大以后，使n a c -充分接近于零，如果这个任意小的正数用ε来表示，那么当n 充分大时，总有n a c ε-<。

3）极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限。

5.极限的运算性质性质：lim ,lim ,(1)lim()lim lim .(2)lim()lim lim .lim (3)lim (0,0).lim n n n x n n n n n n x n n n n n n x n n n n n nn x a A b B a b a b A B a b a b A B a a A B b b b B →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞==±=±=±⋅=⋅=⋅==≠≠1)如果则注意：我们只研究极限存在的运算。