利用空间向量解立体几何完整版
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向量法解立体几何
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题： 一是位置关系， 它
主要包括线线垂直， 线面垂直，线线平行，线面平行； 二是度量问题，
它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角
2. 射影公式：向量 a在b上的射影为 a b
b
3.直线 Ax By C 0的法向量为 A,B ，方向向量为 B,A
4. 平面的法向量（略）
、用向量法解空间位置关系
1. 平行关系
线线平行 两线的方向向量平行
线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直
面面平行 两面的法向量平行
2. 垂直关系
线线垂直（共面与异面） 两线的方向向量垂直
线面垂直 线与面的法向量平行
面面垂直 两面的法向量垂直 1. 数量积： a b cos 等、基本工三、用向量法解空间距离
1. 点点距离
点 P x1, y1 , z1 与 Q x2,y2,z2 的
距离为 PQ (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2
2. 点线距离 求点 P x0,y0 到直线 l : Ax By C 0的距离： 方法：在直线上取一点 Q x,y ，
uuur 则向量 uPuQur 在法向量 n A,B 上的射影 PQ n = Ax0 By0 C n A2 B2
即为点 P到 l 的距离.
3. 点面距离
求点 P x0,y0 到平面 的距离：
方法：在平面 上去一点 Q x,y ，得向量 uPuQur ， 计算平面
的法向量 n ， 计算 uPuQur 在 上的射影，即为点 P到面 的距离 . 四、用向量法解空间角
1. 线线夹角(共面与异面)
线线夹角 两线的方向向量的夹角或夹角的补角
2. 线面夹角
求线面夹角的步骤：
① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角， 若为锐角角即可， 若 为钝角，则取其补角；
②再求其余角，即是线面的夹角 .
3. 面面夹角(二面角)
若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法 向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角
实例分析
一、运用法向量求空间角
向量法求空间两条异面直线 a, b所成角θ， 只要在两条异面直线
uuur uuur uuur uuur
AA '和BB ' ，则角< AA', BB ' >=θ或π -θ，因为
uuur uuur
是锐角，所以 cosθ= uAuuAr ' BuuBur' , 不需要用法向量
AA' BB'
1、运用法向量求直线和平面所成角
设平面α的法向量为 rn =（ x, y,
1） ，则直 线 AB 和平面α所成的角θ的正弦值为
uuur r sinθ= cos( -θ) = |cos< AB , n>| = 2
uuur r AB ?n uuur r AB ? n
2、运用法向量求二面角
设二面角的两个面的法向量为 n1 ,n2 ，则< n1, n2 >或π -<
n1, n2 >是所求 角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定
是所求，还是π -< nur1,unur2 >是所求角。 a, b 上各任取一个向量 二、运用法向量求空间距离
1、求两条异面直线间的距离 设异面直线 a、b 的公共法向量为 在
a、 b 上任取一点 A、B，则异面直线 d =AB·cos∠BAA＇=|ABr?n|
|n|
略证：如图， EF为 a、b 的公垂线段， a 为过 F 与 a
平行的直 线，
＇ // ＇ ＇
在 a、b 上任取一点 A、B，过 A作 AA EF，交 a 于
A ， uuuur r ＇ uuur r
则 AA?ˉ// n ，所以∠ BAA＇ =< uBuAur, nr >(或其补角)
uuur r
∴异面直线 a、 b的距离 d =AB·cos∠ BAA =|ABr?n| *
|n|
其中， rn的坐标可利用 a、b
上的任 r
及n的定义得
2、求点到面的距离
求 A点到平面α的距离，设平面α的法向量法为 nr (x,
y,1) ，在α uuur r
内任取一点 B，则 A点到平面α的距离为 d =| ABr?n |，nr 的坐标由 nr 与 |n|
平面α内的两个不共线向量的垂直关系， 得到方程组 (类似于前面所 述, 若方程组无解，则法向量与 XOY平面平行，此时可改设 nr (1,y,0) ， 下同)。
3、求直线到与直线平行的平面的距离
求直线 a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为 nr
(x,y,1)，在
直线 a 上任取一点 A，在平面α内任取一点 B，则直线 a
到平面α的 uuur uuur 或图中的 AE,BF ），
na rr nb n?a 0 rr n?b 0 r
解方程组可得 uuur r
距离 d = |ABr?n|
|n|
4、求两平行平面的距离
设两个平行设平面α、 β的公共法向量法为 rn (x,y,1) ，在平面α、 uuur r β内各任取一点 A、B，则平面α到平面β的距离 d = | ABr?n|
|n|
三、证明线面、面面的平行、垂直关系
设平面外的直线 a 和平面α、 β，两个面α、 β的法向量为 unr1,nuur2 ，
则
ur uur
a// a n1 a a//n1
ur uur ur uur
// n1 //n2 n1 n2
四、 应用举例：
例 1：如右下图 , 在长方体 ABCD—A1B1C1D1中, 已知 AB= 4,
AD =3,
AA1= 2. E 、F 分别是线段 AB、BC上的点，且 EB= FB=1.
(1) 求二面角 C—DE—C1的正切值 ;
(2) 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值 .
解：(I )以 A 为原点， uur uuur uuur
AB, AD , AA1分别为 x
轴
建立空间直角坐标系，
则 D(0,3,0) 、D1(0,3,2) 、 E(3,0,0) 、
F(4,1,0) C1(4,3,2) uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
于是， DEr (3, 3,0), EC1 (1,3,2), FD1 ( 4,2,2) 设法向量
nr (x,y,2) 与平面 C1DE垂直，则有 r uuur
n DE 3x 3y 0
r uuur x y 1 y 轴 ,z 轴的正向 n EC1 x 3y 2z 0-1 ）， 2
n ( 1, 1,2),
uuur
Q 向量 AA1 (0, 0,2) 与平面 CDE 垂直 ,
r uuur
n与 AA1所成的角 为二面角 C DE C1的平面角 6 3 Q cos
tan
II
) cos r uuur
n? AA1 1 0 1 0 2 2
ur uuu1ur
|n| | AA1| 1 1 4 0 0 4
2
2 设 EC1与 FD1 所成角为β，则 uuur uuur EC1 ?FD1 uuuur uuur
| EC1 | |FD1 | 1 ( 4) 3 2 2 2
12 2 2 32 22 ( 4)2 22 22 21
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例 2：如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面
ABCD是菱 形，∠ DAB=600，PD⊥平面 ABCD，PD=AD，点 E 为 AB中点，点 F为 PD中点。 1）证明平面 PED⊥平面
PAB； 2）求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值 证明：（1）∵面 ABCD是菱形，∠
DAB=600， BD ∴△ ABD是等边三角形，又 E是 AB中点，连结 ∴∠ EDB=300，∠ BDC=600，∴∠
EDC=900， 如图建立坐标系 D-ECP，设 AD=AB=，1 则 PF=FD=1 ，ED= 3 ， 22
∴ P（ 0，0， 1），E（ 23 ，0， 0），B（ 3，
2， 12，0） -1 ）， 2
uuur 3
∴ PB=( 3 ， 1 uuur
12 ，-1 )，
uPuEur =
平面 PED的一个法向量为 uDuCur =（0， 1，0）
量为 n=(x, y, 1)23 ，0，
设平面 PAB的法向 2
3
0
- 12 )，
n?n1 rr n ? n1
例 3：在棱长为 4的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形
A1B1C1D1的中 心，点 P在棱CC1上，且CC1=4CP.
（Ⅰ）求直线 AP与平面 BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表r uuur n PB r uuur n PE 31
(x,y,1)?( 23,21, 1) 0
(x,y,1)? ,0, 1) 0 3x
2
3x
2 12 y 1
10
∴n=( 2 , 0,
1) uuur uuur
∵ DC · n=0 即 DC ⊥ n ∴平面 PED⊥平面
PAB 2）解：由（ 1）知：平面 PAB的法向量为 nr =（ 2 , 0,
3 1), 设平面
FAB的法向量为 n1=（x, y, -1） ，
1 uuur
由（1）知：F（0，0，12），uFuBur= 31
2 ，2 ， 12）， uur FE 23 ，0，
2
n1
n1 uuur FB uuur (x, y,
(x, y, 3 1 1
1)?( 23 ,12, 12)
1)?( 23 ,0, 12) 3
x
2
3
x 1
2y
10
2
∴ n 1=( - , 0, -1)
∴二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值 cosθ = |cos< n , n 1>|
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