北师大版高中数学选修椭圆同步练习(2)

做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

椭圆A

Ⅰ 学习目标

1．理解椭圆的定义，掌握椭圆的两种标准方程．

2．掌握椭圆的几何性质，椭圆方程中的a，b，c，e的几何意义、相互关系、取值范围等对图形的影响．

Ⅱ 基础性训练

一、选择题

1．长半轴长为4，短半轴长为1，且焦点在x轴上的椭圆标准方程是( )

(A)1422yx (B)1422yx (C)11622yx (D)11622yx

2．椭圆1251622yx的焦点坐标是( )

(A)(0，3)，(0，－3) (B)(3，0)，(－3，0)

(C)(0，5)，(0，－5) (D)(4，0)，(－4，0)

3．若椭圆13610022yx上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为( )

(A)4 (B)194 (C)94 (D)14

4．已知F1、F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是( )

(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

5．如果方程x2＋ky2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )

(A)k＜1 (B)k＞1 (C)0＜k＜1 (D)k＞1，或k＜0

二、填空题

6．经过点M(3，－2)，N(－23，1)的椭圆的标准方程是____________．

7．设a、b、c分别表示离心率为21的椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a、b、c的大小关系是____________．

8．设P是椭圆14522yx上一点，若以点P和焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标为____________．

9．过椭圆4x2＋2y2＝1的一个焦点F1的弦AB与另一个焦点F2围成的△ABF2的周长是____________.

10．已知ABC的周长为20，B(－4，0)，C(4，0)，则点A的轨迹方程是____________．

三、解答题

11．设椭圆)0(1:2222babyaxC的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，314||,34||21PFPF，求椭圆C的方程．

12．已知椭圆164100:221yxC，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．

(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； 做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．

13．求出直线y＝x＋1与椭圆12422yx的公共点A，B的坐标，并求线段AB中点的坐标． 做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

椭圆B

Ⅰ 学习目标

1．能初步应用椭圆的定义、几何性质解决与椭圆有关的简单问题．

2．通过解决与椭圆的有关问题，进一步体会数形结合的思想、函数与方程的思想．

Ⅱ 基础性训练

一、选择题

1．椭圆)2(12522mmymx的焦点坐标是( )

(A)(±7，0) (B)(0，±7) (C))0,7( (D)(0，±7)

2．过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点的椭圆方程是( )

(A)1101522yx (B)110522yx (C)1151022yx (D)1202522yx

3．曲线192522yx与)9(192522kkykx有相同的( )

(A)短轴 (B)焦点 (C)长轴 (D)离心率

4．已知F(c，0)是椭圆)0(1:2222babyaxC的右焦点，设b＞c，则椭圆C的离心率e满足( )

(A)0＜e＜2 (B)0＜e＜22 (C)0＜e＜21 (D)22＜e＜1

5．已知两定点M(－1，0)，N(1，0)，直线l：y＝－2x＋3，在l上满足|PM|＋|PN|＝4的点P有( )

(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

二、填空题

6．若方程1162522mymx表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是______．

7．若椭圆)8(19822kykx的离心率21e，则k的值为______．

8．过椭圆)0(12222babyax的中心的直线l与椭圆相交于两点A、B，设F2为该椭圆的右焦点，则△ABF2面积的最大值是______．

9．椭圆192522yx上一点M到左焦点F1的距离为2，点N是MF1的中点，设O为坐标原点，则|ON|＝______．

10．P为椭圆16410022yx上一点，左右焦点分别为F1，F2，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为______． 做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

三、解答题

11．求直线y＝x＋1与椭圆1222yx的公共点A，B的坐标，并求|AB|.

12．设椭圆C：14922yx的左右焦点分别为1F，2F，点P为C上的动点，若1PF·

2PF0，求点P的横坐标的取值范围．

13．已知点P为椭圆x2＋2y2＝98上一个动点，A(0，5)，求|PA|的最大值和最小值．

Ⅲ 拓展性训练

14．我们把由半椭圆)0(12222xbyax与半椭圆)0(12222xcxby合成的曲线称作“果圆”，其中a2＝b2＋c2，a＞0，b＞c＞0．

如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段A1A2的中点．

(1)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；

(2)设P是“果圆”的半椭圆)0(12222xcxby上任意一点．求证：当|PM|取得最小值时，P在点B1，B2或A1处；

(3)若P是“果圆”上任意一点，求|PM|取得最小值时点P的横坐标． 做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

答案

椭圆A

一、选择题

1．C 2．A 3．D 4．D 5．B

二、填空题

6．151522yx 7．a＞b＞c 8．)1,215( 9．22 10．)0(1203622yyx

三、解答题

11．因为点P在椭圆C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，所以a＝3．

在RtPF1F2中，52||||||212221PFPFFF，

故椭圆的半焦距5c，从而b2＝a2－c2＝4，

所以，椭圆C的方程为14922yx.

12．(1)长半轴长10，短半轴长8，焦点坐标(6，0)、(－6，0)，离心率53e；

(2)椭圆164100:222xyC，

性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；

②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；

③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；

④离心率：53e．

13．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

把y＝x＋1代入椭圆方程12422yx，得3x2＋4x－2＝0，

解得3102,310221xx，

所以)3101,3102(),3101,3102(BA，

故AB中点)2,2(2121yyxx的坐标为)31,32(．

(注：本题可以用韦达定理给出中点横坐标，简化计算)

椭圆B

一、选择题

1．C 2．A 3．B 4．B 5．C

二、填空题

6．2529m 7．4或45 8．22bab 9．4 10．3364

三、解答题 做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

11．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将y＝x＋1代入椭圆方程：1222yx，

消去y，得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，342x，

因为点A、B在直线y＝x＋1上，所以y1＝1，312y，

所以，公共点A(0，1)，)31,34(B，

则234)311()340(||22AB．

12．由题意，)0,5(),0,5(21FF，设P(x，y)，

则),5(1yxPF，),5(2yxPF，

所以052221yxPFPF，

由14922yx，得94422xy，代入上式，得094122xx，

解得553553x.

13．设P(x，y)，则2510)5(||2222yyxyxPA，

因为点P为椭圆x2＋2y2＝98上一点，所以x2＝98－2y2，－7≤y≤7，

则148)5(2510298||222yyyyPA，

因为－7≤y≤7，

所以，当y＝－5时，372148||maxPA；当y＝7时，|PA|min＝2．

14．(1)∵),0(),,0(),0,(2222210cbFcbFcF，

∴12||,1)(||22222220cbFFbccbFFl，

于是47,432222cbac，

所求“果圆”方程为)0(134),0(1742222xxyxyx．

(2)∵M是线段A1A2的中点，又A1(－c，0)，A2(a，0)，∴)0,2(caM，

设P(x，y)，则12222cxby，即22222xcbby，

又222)2(||ycaxPM 做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

0,4)()()1(22222xcbcaxcaxcb，

0122cb∴|PM|2的最小值只能在x＝0或x＝－c处取到．

即当|PM|取得最小值时，P在点B1，B2或A1处．

(3)∵|A1M|＝|MA2|，且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆)0(12222xbyax和椭圆)0(12222xcxby上，所以，由(2)知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆

)0(12222xbyax上的情形即可．

222)2(||ycaxPM

22222222224)(4)(]2)([ccaacabccaaxac．

当axcaax222)(，即a≤2c时，|PM|2的最小值在222)(ccaax时取到，

此时P的横坐标是222)(ccaa．

当accaax222)(，即a＞2c时，由于|PM|2在x＜a时是递减的，|PM|2的最小值在x＝a时取到，此时P的横坐标是a．

综上所述，若a≤2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是222)(ccaa；若a＞2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是a或－c．