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高中数学过圆锥曲线焦点弦端点切线的一个性质

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过圆锥曲线焦点弦端点切线的一个性质

经过圆的直径两端点的切线是平行直线，这是一个众所周知的结论，那么经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线是否也有很优美的结论呢？本人经过探索发现经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线确实有很好的性质，下面就对标准位置的圆锥曲线过焦点弦两端点切线性质作一研究。

我们先来研究抛物线的性质．

性质一：过抛物线焦点F的弦AB两端点的切线12,ll的交点P的轨迹是相应的准线,且APB是定值2．

证明：设抛物线的方程为22ypx（0p），过焦点(,0)2pF的焦点弦为AB，

设1122(,),(,)AxyBxy，则过,AB两点的切线12,ll的方程分别为

11()yypxx ①

22()yypxx ②

由①2y－②1y得 211221()()xyypyxyx.

因为22212121212,,,22yyxxyypyypp•.

所以2px.

又因为2121212,,ppkkyypyy•.

所以121kk•，即2APB.

当然证明2APB，也可以用抛物线的

光学性质来证显得更为简洁.

过A作AM∥x轴，过B作BN∥X轴．

由抛物线的光学性质知：

,CAMPABDBNPBA．

0180MABNBA．

00018021802180PABPBA．

即090PABPBA．

即2APB．

利用平几知识及抛物线定义容易得到PFAB.（证明略）

抛物线有上述性质，那么椭圆、双曲线是否也有类似的性质呢？经过探索后发现确实存在类似的性质．

性质二：过椭圆焦点F的弦AB（不与长轴重合）两端点,AB的切线12,ll的交点P的轨迹是焦点F相应的准线，且APB的取值范围为22(0,arctan]1ee．(e为椭圆的离心率)

性质三：若过双曲线焦点F的直线与双曲线交于,AB两点,过,AB两点的双曲线的切线12,ll的交点P的轨迹是焦点F相应的准线（除去该准线与渐近线的交点）,且当,ABA

B P

F N C

D M

在同一支上时APB的取值范围为222[arctan,arctan)1eaeb；当,AB在两支上时APB的范围是2(0,arctan)ab.(e为双曲线的离心率)

先证明性质二：

设椭圆22221(0)xyabab的右焦点为(,0)Fc，焦点弦AB（不与长轴重合）两端点的坐标为1122(,),(,)AxyBxy，则过,AB两点的切线12,ll的方程分别为：

222211bxxayyab ①

222222bxxayyab ②

由①②得222211221()()bxyxyxabyy （*）

由 11(,)FAxcy ，22(,)BFcxy．

∵,,AFB三点共线 ．

所以 211221()yxyxcyy 代入（*）

得2axc，即P点的轨迹是焦点F相应的准线．

下面证明APB的取值范围为22(0,arctan]1ee：

不失一般性设点A在x轴上方，点B在x轴下方,即12yy．

则APB即为12ll到的角.

∵12121lxbkay ，22222lxbkay．

12ll到的角APB的正切值为211222212221412412tan11llllxxbbkkayayAPBxxbkkayy

=2222122121444412121212()()abxyxyabcyyayybxxayybxx．

设AB所在直线为xmyc代入椭圆方程即得

222222()bmycayab 化简整理得 222224()20ybmabcmyb．

2122222bcmyybma ， 412222byybma．

444412121212()()ayybxxayybmycmyc

＝4424421212()()abmyybmcyybc

444242422222221[()(2)()]babmbcmbcmbcabmabm• 44826222426222221[2]abbmbcmabcbcmabm y

x F

B A

P

O

262262622222221(1)[]abmababmabmabm．

又21121212()()4yyyyyyyy

422442262242222222222441444()bcmbbcmbmabbmabmabma

242224222222212441abbamabmbmabma．

2222262222121tan(1)1abcabmacAPBabmbm．

21011m ∴ 222212tan(0,]1acacAPBbbm．

因为tany在(0,)2是增函数．

故APB 的取值范围是22(0,arctan]acb即22(0,arctan]1ee．

下面证明性质三：

设双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为(,0)Fc，过焦点(,0)Fc的直线与双曲线交于两点的坐标为1122(,),(,)AxyBxy，过,AB两点的切线分别为12,ll，其方程分别为：

222211bxxayyab ①

222222bxxayyab ②

由①②得222211221()()bxyxyxabyy （*）

由11(,)FAxcy ， 22(,)BFcxy．

∵,,AFB三点共线 ，

所以 211221()yxyxcyy 代入（*）

得2axc（abyc）．即P点的轨迹是焦点F相应的准线（除去准线与渐近线的交点）．

下面证明APB的取值范围：

(1)当1122(,),(,)AxyBxy在同一支上时，不失一般性设点A在x轴上方，点B在x轴下方，即12yy,则APB即为2l到1l的角.如图所示．

∵12121lxbkay ， 22222lxbkay．

2l到1l的角APB的正切值为121222122212412412tan11llllxxbbkkayayAPBxxbkkayy

=2222122121444412121212()()abxyxyabcyyayybxxayybxx． A

P

B F

设AB所在直线为xmyc, 因为1122(,),(,)AxyBxy在同一支上,所以0amb ，将xmyc代入双曲线方程化简整理得

222224()20ybmabcmyb．

2122222bcmyybma ， 412222byybma．

444412121212()()ayybxxayybmycmyc

＝4424421212()()abmyybmcyybc

444242422222221[()2()]babmbcmbcmbcbmabma•

44826226222422221[2]abbmbcmbcmabcbma

262262262622222222221(1)(1)[]abmabmababmbmabmaabm．

又21121212()()4yyyyyyyy

422442262242222222222441444()bcmbbcmbmababmabmabm

242224222222212441abbamabmabmabm．

2222262222121tan(1)1abcabmacAPBabmbm．

0amb ，∴ 2222122tan[,)1acacaAPBbbbm．

因为tany在(,)2是增函数，

故APB 的取值范围是222[arctan,arctan)acabb即222[arctan,arctan)1eaeb．

(2)当1122(,),(,)AxyBxy不在在同一支上时，不失一般性设点A在右支、点B在左支，根据对称性先考虑0ABk的情况，则APB即为2l到1l的角，如图所示：

∵12121lxbkay ，22222lxbkay．

2l到1l的角APB的正切值为

121222122212412412tan11llllxxbbkkayayAPBxxbkkayy

=2222122121444412121212()()abxyxyabcyyayybxxayybxx. A P

B F

设AB所在直线为xmyc, 因为1122(,),(,)AxyBxy在两支上且0ABk，所以amb . 将xmyc代入双曲线方程化简整理得

222224()20ybmabcmyb

2122222bcmyybma , 412222byybma.

444412121212()()ayybxxayybmycmyc

＝4424421212()()abmyybmcyybc262222(1)abmabm

又21121212()()4yyyyyyyy

422442262242222222222441444()bcmbbcmbmababmabmbma

242224222222212441abbamabmbmabma.

2222262222121tan(1)1abcabmacAPBabmbm.

amb ,∴ 22212tan(0,)1acaAPBbbm.

因为tany在(0,)2是增函数， 故APB 的取值范围是2(0,arctan)ab．

根据对称性知当amb时上述结论也成立．

所以当1122(,),(,)AxyBxy在两支上时APB

的取值范围是2(0,arctan)ab．

通过上述证明我们还可以得到下面一个推论：

过圆锥曲线C的准线l上一点作C的两条切线,则两切点与准线l相应焦点共线．

证明略．都是“定义域”惹的祸

函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质时应首先考虑其定义域．在求解函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解．下面我们举例分析错从何起．

一、求函数解析式时

例1．已知xxxf2)1(，求函数)(xf的解析式 .

错解：令1xt，则1tx，2)1(tx，

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对圆锥曲线定点弦三个性质的推广

对圆锥曲线定点弦三个性质的推广

教　教　案例点评　２０１３年６月　

对圆锥曲线定点弦三个性质的推广　

⑩湖南师范大学　昌国良　王煜　

文［１］中给出圆锥曲线的三个性质，整理如下：　

性质１：（文［１］性质１２）与圆锥曲线焦点弦　所过焦　

点同侧的顶点是Ｂ，另一顶点是Ａ．焦点弦端点，、　Ａ连线　

分别交相应准线于点　、Ⅳ，则Ⅳ、Ｂ、，三点共线，　、Ｂ、＿，三　

点共线（抛物线的另一顶点Ａ在无穷远处）．　

一２　．上　性质２：（文［１］性质１６）过椭圆　＋　＝１（ａ＞ｂ＞０）　旷　ｂ‘　

，　．２　’　、　（双曲线　一Ｙ，－，＝Ｉ，抛物线ｙ￣＝２ｐｘ（ｐ＞Ｏ）】长轴（实轴，对称　＼　旷　Ｄ一　／　轴）上任意一定点Ｎ（ｔ，０）的两条弦端点的直线的交点轨　

２　ｆ　几２　＼　迹一定是直线　＝　ｆ　＝　，ｘ＝－－Ｅ　１．　ｔ＼ｔ　／　性质３：（文［１］性质ｌ７）椭圆的焦点弦所在直线被椭　

圆及短轴直线所分向量比之和为定值；双曲线的焦点弦　

所在直线被双曲线及虚轴直线所分向量比之和为定值；　

抛物线的焦点弦所在直线被抛物线及顶点处切线所分向　

量比之和为定值．　

因为椭圆与双曲线有性质（文［１］性质２１）：中心Ｄ与　

点Ⅳ的连线交椭圆（双曲线）于点Ｄ，交切点弦ＡＢ于点　，　

则　・　＝　：且　点平分切点弦Ａ曰．故类比文［２　３对圆　

锥曲线性质的再推广，运用一组平行动弦Ｅ　由于过点Ⅳ　

平行于Ｅ　直线ｆ的斜率与平行动弦中点轨迹所在直线ｑ　

（过原点）斜率之积为干　，并且　・　讧　故将　类比　

焦点，直线ｑ类比长轴（实轴），直线ｚ类比准线，过原点的平　

行弦所在直线类比短轴（虚轴），将以上性质做如下推广：　

推广１．１：给定椭圆（双曲线）及平行动弦ＥＦ，设动弦　

中点轨迹所在直线ｑ（过原点）交椭圆（双曲线）于Ｄ、Ｈ两　

点；在直线ｑ上取Ｍ、Ⅳ两点，使　・　＝　：（１　Ｉ　Ｉ　ｌ　

＞ｏ，ｌ　ｌ≠０），过点Ⅳ作与直线Ｅ砰行的直线ｚ，过点　任　

意作直线交椭圆（双曲线）于Ａ、Ｂ两点，分别延长ＨＡ、ＨＢ　

浅谈圆锥曲线的性质及其应用

浅谈圆锥曲线的性质及其应用

MING RI FENG SHANG

2322文 教 研 究文|牛倩倩浅谈圆锥曲线的性质及其应用摘要：本篇论文简单叙述了圆锥曲线的由来与成长过程，通过对圆锥曲线进行某个程度进行分类，简单地对圆锥曲线的各个方面的性质进行了罗列和归纳，并且对于在生活中以及解题中的部分应用进行了罗列。关键词：圆锥曲线；圆锥曲线的性质；圆锥曲线的简单应用一、圆锥曲线的由来与成长圆锥曲线在古代早就有学者开始了研究， 2000余年前，希腊几何学者Menachmus以前用垂直于圆锥上面的某条母线的平面从不同方位拦截圆锥面，又因为圆锥面最顶端的角存在差别，那么就会出现三种不同形状的曲线，根据角度的不同进行定义。随后阿波罗尼通过搜集了以前研究人员的成果，有了自己的一些独特的研究成果，他认为只要改变截面与母线之间的倾斜角的大小，就可以使得同一个圆锥面截出这三种不同类型的曲线，给这三种常态二次曲线取下了名称，但是他并没有用焦点和准线之类的观点来准确的定义出圆锥曲线。到公元340年左右，巴卜发现抛物线的焦点和准线，但是他只研究了彼此之间的孤立性质。关于焦点。以后由于坐标的建立、代数的方法、射影的方法代替了初等的方法，圆锥曲线的理论才逐渐完备起来。二、圆锥曲线的分类和性质1）圆锥曲线的分类。如果平面里面的一个运动的点到一个固定点与一条固定的直线的间隙之比是一个常数，则这个点的运动迹象称为圆锥曲线，这个固定的点称为交点，相应的固定的直线称为准线，这个数叫做离心率。2）圆锥曲线的性质。①定理：圆锥曲线上任意一点Q到定点的间隙与到一条直线l的间隙之比等于。②曲线的焦点所在位置的判断。双曲线的焦点位置通常是取决于x2项的系数和y2项的系数,哪个项的系数为正，那么焦点就会出现在系数为正的未知数所对应的坐标轴上面;在椭圆中x2项和y2项中,两个分母比较大小，分母相对大的焦点点就会出现在未知量对应的坐标轴上面。3）椭圆的性质。定理1：对于椭圆，经过任意一个焦点任意的做一条直线为AD,同时在坐标轴上做出相对应的准线，准线会与焦点所在的坐标轴有公共点，记为M，那么就会得出结论。定理2：设与一条经过焦点的直线有共同的两个点，分别是A(x1,y1),B(x2,y2)两点，此时我们把｜AB｜称为焦点弦，相应地｜AB｜=。4）双曲线的性质。定理1：如果双曲线方程的两个焦点存在x坐标轴时，那么无限靠近该曲线的表达式就是；如果双曲线方程的两个焦点存在在 y坐标轴时，那么无限靠近曲线方程的表达式就是。定理2：等轴的双曲线的尺度方程为X2-Y2=C,其中C非零常数;无限靠近其方程得直线式子为y=±x，所对应离心率是。5）抛物线的性质。定理1：经过抛物线焦点所作出来的直线，被抛物线截取的线段中，就数垂直于抛物线焦点所在坐标轴的线段是最短。定理2：设AB是(a>0)的运动着的一条弦,AB的长度为 n,只有在的时侯，在AB的中点P与x轴的所有间隔中，距离为最小。三、圆锥曲线的应用1、在数学解题中的圆锥曲线1）利用定义来解析轨迹方程例1：现存在一定圆O：x2+y2=4，做出一条直线相切于该圆，直线记为l,相切的点记为N，存在一个椭圆的准线就是与定圆相切的直线，点F1(-1,0)和F2（1,0）也在这条曲线上，曲线的离心率为，求出该条曲线核心P的运动方程式.分析：过O、F2、F1作与直线l垂直的线，与直线l的焦点分别是N、Q、M：，由此，，发现它的运动迹象表达式为。2）对于焦点所形成的三角形求解例3在双曲线上存在一个动点，并且双曲线的长半轴a,短半轴b均为大于0的常数，∠F1PF2=θ，求这个F1PF2所形成的图形面积。3）对于高考题目中的证明题例4：一抛物线的表达式为：y2=2px，然后经过曲线的焦点F任意画一条直线，该直线与曲线有公共点，记为P1和P2，证明该曲线的准线会和 以P1P2中点为圆心，半径为P1P2长度的一半的圆有一个公共点.分析：直线P1P2的中间位置记为O，分别经过这三个点做出准线的垂直线，垂直的交点分别记为为Q1,Q2,Q0，通过图像并且根据题目已知的几何关系，简单的推测出以P1P2为直径的圆的半径是OQ0,也可以知道直线OQ0与l夹角为直角，可以看出抛物线的准线和定圆只有一个公共点。2、在平常的生活中存在圆锥曲线的情况圆锥曲线在科学技术上已被大范围例用。圆锥曲线的切线与法线的性质，被称为光学性质，是圆锥曲线在光学仪器、雷达、射远望眼镜等方面重要应用的根据。圆锥曲线在建筑上，如桥梁和隧道的修建也有广泛的应用，特别是在拱结构中显得更加突出。在材料力学中，对于有同样厚薄、物质均匀的薄板上的惯性矩的研究，惯性椭圆就起很大作用。圆锥曲线在航海、航空中也有应用，无线电导航中的时差定位法就是同焦点的双曲线系的应用。（作者单位：山西师范大学教育科学研究院）作者简介：牛倩倩（1992～），女，山西师范大学教育科学研究院学科数学专业硕士研究生。参考文献[1]杨旭.圆锥曲线的性质及推广应用[J].科技资讯,2013,25:236-239.

圆锥曲线统一性质(动态图示)

圆锥曲线统一性质(动态图示)

圆锥曲线动态结构135例 - 1 -

1

目 录

一、几个统一定义

1．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一

2．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二 圆锥曲线动态结构135例 众所周知圆锥曲线来源于圆锥，其定义简洁而明快，然而却有非常丰富的几何、代数性质，更让世人折服的是还有这么多统一的性质，本人通过几何画板的探索与归纳初步整理了135条性质，归类为四十六个统一性质，并附上相应的动画课件，列举如下： 圆锥曲线动态结构135例 - 2 -

2 二、与焦半径相关的问题

3．椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）

4．椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质

5．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质

6．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质

7．椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质

三、与焦点弦相关的问题

8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）

9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）

10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）

11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）

12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）

13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）

14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系

15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）

16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广

17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值

18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值

四、相交弦的蝴蝶特征

19．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一

20．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二

高考之【圆锥曲线篇】-秒杀技巧切线方程

高考之【圆锥曲线篇】-秒杀技巧切线方程

大招九 圆锥曲线的切线方程及其应用

现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆上一点的切线方程为；当在圆外时，过点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为。那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。

联想一：（1）过椭圆上一点切线方程为

；（2）当在椭圆的外部时，过引切线有两条，

过两切点的弦所在直线方程为：

证明：（1）的两边对求导，得，得，由点

斜式得切线方程为，即 。

（2）设过椭圆外一点引两条切线，切点分别为

、。由（1）可知过、两点的切线方程分别为：、

。又因是两条切线的交点，所以有、

。观察以上两个等式，发现、满足直线

，所以过两切点、两点的直线方程为。

评注：因在椭圆上的位置（在椭圆上或椭圆外）

的不同，同一方程表示直线的几何意义亦不同。

联想二：（1）过双曲线上一点切线方程为

；（2）当在双曲线的外部时，过

引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：。（证明同上） 联想三：（1）过圆锥曲线（A，C不全为零）上的点

的切线方程为k；（2）当在圆锥曲线（A，C不全为零）的外部时，过

引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： 证明：（1）两边对求导，得

得，由点斜式得切线方程为 化简得………………….① 因为………………………………………………… ②

由①－②×2可求得切线方程为： （2）同联想一（2）可证。结论亦成立。 根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点的切线方程为：把原方程中的用代换，用代换。若原方程中含有或的一次项，

把用代换，用代换，得到的方程即为过该点的切线方程。当点在曲线外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：

通过以上联想可得出以下几个推论： 推论1：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： 推论2：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。 推论3：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。 推论4：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。 在以上的研究中，我们成功的运用了联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现了知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得了事半功倍的效果。