2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第2章 5 简单复合函数的求导法则 Word版含解析

注意： 1、复合函数是y关于的x函数，自变量是x，而非中间变量u；
2、y＝f(u)叫作外层函数， u = (x)叫作内层函数.
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练习1
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y sin 2x；
y sin u, u 2x
(2) y 3x2 x 1； (3) y cos(sin x)； (4) y (a bxn )m； (5) y sin(1 1 ).
简单复合函数的 求导法则
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知识回顾
1、导数公式表
函数
y c(c是常数） y x (为实数）
y ax (a 0, a 1)
y ex
y log ax (a 0, a 1)
y ln x
y sin x y cosx
Title
y tan x
y cot x
导函数
y 0
S f (r) r 2
油膜半径r 随着时间 t的增加而扩大，其函数关
系为：
r (t) 2t 1
问：（1）油膜面积 S 关于时间 t 函数关系式
（2）该函数关系式有何特点
讲授新课：
1.复合函数的概念:
对于函数y f ((x)), 令u (x),
若y f (u)是中间变量u的函数，
u (x)是自变量x的函数，则称 y f ((x))是自变量x的复合函数.
y x 1
y ax ln a
y ex
y 1 x ln ay 1 xy cosxy sin x
y
1 c os2
x
y 1 sin2 x
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2.导数的四则运算法则：
设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则

1
x
(3)(ln2x)_x______(4_()1x2)__1 _x 2________
3.求下列复合函数的导数
(1 )yco 5xs (2)yco 5xs (3 y )ln 2x(x2)
(4 y )e 2x 3
(5)y 1 13x
答案： 1）y（ 5sin5x
(2y)5co4sxsinx
(3y)22x2xx2 (5y)3(13x)23
又 yu2u,uv1 v,vx3
y y u u v v x 2 u 1 v ( 3 ) 3 x 6 1 ln 3 x 1 ( )
（3） 函数ysin3(2x1)可以分解为
yu3,usinv和v2x1
又 y u 3 u 2,u v co v ,vxs 2
y y u u v v x 3 u 2 cv o 2 6 s s 2 ( 2 ix n 1 ) c2 x o 1 )
x
2.导数的四则运算法则：
f(x)g(x) f(x)g(x), f(x)g(x) f(x)g(x).
f(x)g(x) f(x)g(x)f(x)g(x),
f (x) g(x)
f (x)g(xg)2(xf)(x)g(x).
课前练习：
1.yx(x21xx12),求 y'；
y
'
2x2
1 x2
2.yxsinxcosx,求 y'； 22
yu 2u 6x 4 ; ux 3 ;
分析三个函数解析式以及导数 yu,ux, yx'
之间的关系: y' yx' yu ux
讲授新课：
2.复合函数的导数:
一般地，设函数u(x)在点x处有导数ux' '(x),

法则3

u vBiblioteka '
u 'v uv ' v2
(v 0)
复合函数的导数
函数 y u，2 u 3，x 2 y 构 (成3x间的2)2关系？ y (3x 2)2 可由 y 与u2 u 复3x合 2得到．
例1 指出下列函数的复合关系：
（1）y (2 x2 )3 （3）y cos x
4
（2）y sin x2 （4） y lnsin(3x 1)
解：（31）y

c(2os
x42由)3x由 y
yu3 ,cuos复u复2,合u合x而而2成成．x．
4
（4）y（2ln）syin(3s由ixn由x12) yyslinn复uu,,合uu而复sx成i合n2 v．而,v成 ．3x 1
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水
面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位：s）的函数为
y

h(t)

100 2t 1
求函数在t=3时的导数并解释它的实际意义。
解：函数 y h(t) 100 是由函数 f (x) 100 与
2t 1
x
x (t) 2t 1复合而成的，其中x是中间变量。
C' 0 (x n )' nxn1 (cosx)' sin x
(sin x)' cosx
2、法则1 [u(x) v(x)]' u ' (x) v' (x)
法则2 [u(x)v(x)] u '(x)v(x) u(x)v '(x) ,
[Cu(x)] Cu '(x)

课时跟踪训练(九) 简单复合函数的求导法则1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x＋1 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4 2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫2－1x 2的导数为( ) A ．2⎝⎛⎭⎫2－1x B ．2⎝⎛⎭⎫2－1x 2 C ．2⎝⎛⎭⎫2－1x ·1x 2 D ．2⎝⎛⎭⎫1x －2·1x 2 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x4．某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可近似地表示为y ＝f (t )＝10t ，则在时刻t ＝40 min 的降雨强度为( )A ．20 mmB ．400 mm C.12mm/min D.14 mm/min 5．若f (x )＝e x ＋e －x 2，则f ′(0)＝________. 6．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．7．设f (x )＝a e x ＋b ln x 2，且f ′(1)＝e ＋1，f ′(－1)＝1e－1，求实数a ，b 的值．8．求下列函数的导数．(1)y ＝(2x 2－x ＋1)4；(2)y ＝11－2x 2；(3)y ＝x ln(1－x )．答 案1．选A A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．选C y ′＝2⎝⎛⎭⎫2－1x ⎝⎛⎭⎫2－1x ′＝2⎝⎛⎭⎫2－1x ·1x 2. 3．选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．选D f ′(t )＝1210t ·10＝510t， ∴f ′(40)＝5400＝14. 5．解析：∵f ′(x )＝12(e x －e －x )，∴f ′(0)＝0. 答案：06．解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )． ①对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a ，则1x 0＋a ＝1， 即x 0＋a ＝1. ②②代入①可得x 0＝－1，所以a ＝2.答案：27．解：f ′(x )＝a e x ＋2b x， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a e ＋2b ＝e ＋1，a e －2b ＝1e －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝12. 8．解：(1)y ′＝4(2x 2－x ＋1)3(2x 2－x ＋1)′＝4(2x 2－x ＋1)3·(4x －1)．(2)法一：设y ＝u 12-，u ＝1－2x 2，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝3212u -⎛⎫- ⎪⎝⎭(－4x ) ＝－12(1－2x 2)32- (－4x ) ＝2x (1－2x 2)32- ＝2x (1－2x 2) 1－2x 2. 法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－2x 2′＝[(1－2x 2) 12-]′ ＝－12(1－2x 2) 32-·(1－2x 2)′ ＝2x (1－2x 2) 32-＝2x (1－2x 2) 1－2x 2 . (3)y ′＝x ′ln(1－x )＋x [ln(1－x )]′＝ln(1－x )＋x ·－11－x＝ln(1－x )－x 1－x.。