基本不等式知识点总结
向量不等式：
||||||||||||a b a b a b -±+≤≤
【注意】： a b 、
同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+； a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+.(这些和实数集中类似)
代数不等式：
,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.
绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤
(0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等
双向不等式：a b a b a b -±+≤≤
（左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.）
放缩不等式：
①00a b a m >>>>，，则b m b b m
a m a a m
-+<<-+. 【说明】：
b b m a a m
+<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b
a n
b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b
c R +
∈，
b d a
c <，则b b
d d
a a c c
+<<+； ③n N +∈
<
< ④,1n N n +∈>，211111
11n n n n n
-
<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x
e x +≥()x R ∈.
函数()(0)b
f x ax a b x
=+
>、图象及性质 (1)函数()0)(>+
=b a x
b
ax x f 、图象如图：
(2)函数()0)(>+
=b a x
b ax x f 、性质：
①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；
②单调递增区间：(,-∞
，)+∞；
单调递减区间：(0,
，[0).
基本不等式知识点总结
重要不等式
1、和积不等式：,a b R ∈⇒2
2
2a b ab +≥(当且仅当a b =时取到“=”)．
【变形】：①222()22
a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，22
2(
)22a b a b ab ++==） 【注意】：
(,)2a b a b R ++∈，2
(
)(,)2a b ab a b R +∈≤
2、均值不等式：
两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”
2
2“”112ab a b a b a b a b
+===++≤时取） *.若0x >，则1
2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;
若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则11122-2x x x x
x
x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
*.若0>ab ，则2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：
3333a b c abc ++≥（0a b c ++>等式即可成立，时取等或0=++==c b a c b a ）；
3a b c ++ ⇒3()3
a b c abc ++≤3333a b c ++≤
*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，
ab b a 222≥+同时除以ab 得
2≥+b a a b 或b
a
a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b
a -≥22
八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2
)2
(b a ab +≤； ③2)2(222b a b a +≤+
④)(22
2
b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b
a b a +≥+4
11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(
2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则2
22)11(2111b a b
a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“
b a =”。
最值定理
（积定和最小）
①,0,2x y x y xy >+≥由，若积()xy P =定值，则当x y =时和x y +有最小值2p ；
（和定积最大）
②,0,2x y x y xy >+≥由，若和()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值
2
14
s . 【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(2
2+-=+.
（1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小. （2）若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大.
③已知,,,R a x b y +
∈，若1ax by +=，则有则
的最小值为：
2
11
11()()2 ()by ax
ax by a b a b ab a b x y x y x y
+=++=+++++=+≥
④已知，若则和
的最小值为：
①
.
②
应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.
⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知54x <
，求函数1
()4245f x x x =-+-的最大值.
⑶调整分子：例3.求函数2710
()(1)1
x x f x x x ++=
≠-+的值域； ⑷变用公式：基本不等式2a b ab +≥有几个常用变形,2222
a b a b
++≥，222
()22
a b a b ++≥不易想到，应重视； 例4.求函数15
2152()22
y x x x =--<<的最大值；
⑸连用公式：例5.已知0a b >>，求2
16()
y a b a b =+-的最小值；
⑹对数变换：例6.已知1,12
x y >>，且xy e =，求ln (2)y
t x =的最大值；
⑺三角变换：例7.已知2
0y x π
<<
≤，且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值；
⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0a b >>，且21a b +=，求11
t a b
=
+的最小值.
