v1.0可编辑可修改2019 高考立体几何题型与方法全归纳文科
配套练习
、四棱锥P ABCD中, PA⊥底面ABCD ,PA 2 3, BC CD 2 ,ACBACD.
1
3
( Ⅰ) 求证 : BD⊥平面 PAC ；
( Ⅱ) 若侧棱PC上的点F满足 PF 7FC , 求三棱锥P BDF 的体积。
【答案】
(Ⅰ证明因为，即 BCD 为等腰三角形，又 ACB ACD
,
故 BD AC
. ):BC=CD
因为 PA底面 ABCD ，所以 PA BD , 从而BD与平面 PAC 内两条相交直线PA, AC都垂直，故 BD ⊥平面PAC。
( Ⅱ) 解：S BCD 1
BC ? CD ? sin BCD12 2 sin
2
3. 223
由 PA
1
S BCD PA
1
3 23 2 .底面 ABCD 知V P BDC
3
3
由 PF7FC ,得三棱锥F BDC的高为1
PA ,
8
v1.0可编辑可修改
故： V F BDC1S
BCD
1
PA131 2 31
38384
V P BDF V P BCD V F
17 BCD2
4
4
2、如图，四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为矩形，PAD为等腰三角形，APD90 ，平面 PAD 平面 ABCD ，且AB1, AD 2， E, F 分别为PC和 BD 的中点．
P
E
D
C
F
A B
（Ⅰ）证明： EF P 平面PAD；
（Ⅱ）证明：平面PDC平面PAD；
（Ⅲ）求四棱锥 P ABCD 的体积．
P
E
D
C
O F
A B
【答案】
（Ⅰ）证明：如图，连结AC ．
∵四边形 ABCD 为矩形且F是BD的中点．∴F也是 AC 的中点．
又 E 是 PC 的中点，EF P AP
∵ EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF P平面PAD；
（Ⅱ）证明：∵平面PAD平面ABCD，CD AD ，平面 PAD I平面ABCD AD ，所以平面 CD平面PAD，又PA平面PAD，所以PA CD
又 PA PD ， PD, CD 是相交直线，所以PA面PCD
又 PA平面PAD，平面PDC平面PAD；
（Ⅲ）取 AD 中点为O．连结PO ,PAD 为等腰直角三角形，所以PO AD ，
因为面 PAD面ABCD且面PAD I面ABCD AD ，
所以， PO面ABCD，
即PO 为四棱锥 P ABCD 的高．
由 AD 2 得PO 1．又 AB1．
∴四棱锥 P ABCD 的体积V 1
PO AB AD2 33
考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.
3、如图，在四棱锥 P ABCD 中，PD平面 ABCD ，CD PA ，DB平分ADC ， E为 PC的中点，
DAC 45o，AC 2 .（Ⅰ）证明： PA ∥平面 BDE ；
（Ⅱ）若 PD 2, BD 2 2, 求四棱锥 E ABCD 的体积【答案】（Ⅰ）设 AC BD F ，连接 EF，
PD 平面 ABCD ， CD平面ABCD，PD CD
又CD PA， PD PA P， PD ， PA平面PAD
CD 平面 PAD ， AD平面PAD CD AD
∵DAC 45 , ∴ DA DC ,
∵DB 平分 ADC , F 为AC中点， E 为PC中点，
∴ EF 为CPA 的中位线 .
∵ EF ∥ PA, EF平面BDE，PA平面BDE
∴PA ∥平面 BDE .
( Ⅱ) 底面四边形 ABCD 的面积记为 S;
SS
ADC S
ABC1221232 2 ．
2222
点 E为线段 PC的中点，
V E ABCD1S1PD1212 2 ．
32323
考点： 1.线面平行的证明； 2. 空间几何体的体积计算 .
4、如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，其中PA PD AD 2，BAD 60 ，Q 为 AD 的中点．
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(1)求证： AD 平面 PQB ；
(2)若平面PAD平面ABCD ,且M为PC的中点，求四棱锥M ABCD 的体积．
【答案】
（ 1）Q PA PD ， Q 为中点，AD PQ
连DB ，在 ADB 中， AD AB ， BAD 60 ，
ABD 为等边三角形，Q为 AD 的中点，
AD BQ ,
PQ BQ Q , PQ平面PQB,BQ平面PQB,
AD平面 PQB .
（ 2）连接QC , 作MH QC 于 H .
P
M
C
D
H
Q
A B
v1.0 可编辑可修改
Q PQ
AD , PQ 平面 PAD , 平面 PAD 平面 ABCD AD , 平面 PAD 平面 ABCD ，
PQ 平面 ABCD ,
QC 平面 ABCD ,
PQ
QC
PQ / / MH .
MH 平面 ABCD ,
又 PM
1
2 PC , MH
1
PQ
1 3
2
3 .
2
2 2
2
在菱形 ABCD 中， BD
2 ,
S ABD
1 AB AD sin 600
=
1
2 2
3
= 3 ,
2
2 2
S
菱形ABCD
2S
ABD
2 3 .
V M ABCD
1
S
菱形
ABCD
MH
1
2 3
3 1 ． 3
3
2
5 、如图， E 是矩形 ABCD 中 AD 边上的点， F 为 CD 边的中点， AB AE
2
AD 4 ，现将 ABE 沿
3
BE 边折至 PBE 位置，且平面 PBE
平面 BCDE .
⑴ 求证：平面 PBE
平面 PEF ；
⑵ 求四棱锥
P
BEFC
的体积 .
P
A
E
D
E
D
F
F
B
CB
C
