). ()
2()3(lim
000=--+→h
h x f h x f h
).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A
3．设函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=--0
,0
0,0
x ,)(22
x e x e x f x x ，则积分⎰-1
1)(dx x f ＝（ ）. .2)( ,e
1
)( 0)( ,1)(D C B A -
4．可微函数在点处有是函数在点处取得极值的 （）。
充分条件，必要条件， 充分必要条件，既非充分又非必要条件。
5．设级数
∑∞
=1
n n
a
和级数
∑∞
=1
n n
b
都发散，则级数
∑∞
=+1
)(n n n
b a
是（ ）.
)(A 发散， )(B 条件收敛， )(C 绝对收敛，)( D 可能发散或者可能收敛.
三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共10个小题，每小题7分，共70分）
1．求函数x
x x y )1(2
+-=的导数.
2. 求函数122
3+-=x x y 在区间（－1，2）中的极大值，极小值.
3. 求函数x
e x x
f 2
)(=的3阶导数3
3dx f
d .
4．计算极限)
1sin()
1(lim 1--+-→x x e e x x .
5．计算积分⎰+dx e x
211
. 6．计算积分⎰-+1
2)2(dx e x x x .
7．函数方程
，其中变量是变量的函数，
求和
8．把函数1
1
+=
x y 展开成1-x 的幂级数，并求出它的收敛区间.
9．求微分方程x y x dx
dy
x
sin )(sin cos =+的通解.
10．直线1=x 把圆42
2=+y x 分成左，右两部分，求右面部分绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积.
四．综合题： （本题共2个小题，每小题10分，共20分）
1．设m n ,是整数，计算积分⎰
π
cos cos mxdx nx .
2．已知函数d cx bx ax x f +++=234)(2
3， 其中常数0,,,,=+++d c b a d c b a 满足， （1）证明函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根，
（2）当ac b 832
<时，证明函数)(x f 在（0，1）内只有一个根.
2005年高数（二）答案（A 卷）
一．填空题：(每空格5分，共40分)
1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，
2．
21， 3．（1）0y =， （2）2x = 4．1,0-==b a ，
5．（1）y x r 2-， （2）x
y
23.
三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,每小题7分，共70分）
1．解 ：令)1ln(ln 2
+-=x x x y ， （3分）
则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1
)
12([
222
'
+-+-++--= （7分） 2．解：)43(432
'-=-=x x x x y ，驻点为3
4,021==x x （2分）
（法一） 46'
'-=x y ，
04)0(''<-=y ， 1)0(=y （极大值）， （5分）
04)34(''>=y ， 27
5
)34(-=y （极小值）. （7分）
（5分）
当0=x 时，1=y （极大值），当34=x 时，275-=y （极小值） （7分）
3．解：（法一）利用莱布尼兹公式x
e x x dx
f d ]66[23
3++= （7分） （法二）x
e x x x
f )2()(2'+=， （3分） x e x x x f )24()(2''++=， x e x x x f
)66()(2)
3(++= （7分）
4．解：)
1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x ＝)1cos(1lim 1-+→x e x x ＝1+=e
5．解：⎰+dx e
x
211＝=+-+⎰dx e e e x x
x 22211 (3分) ++-=)1ln(2
1
2x e x C （7分）
6.解：⎰
-+1
2)2(dx e x x x ＝=+--+⎰dx e x e
x x x x 1
10
2
)12()2( （3分）
